高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3如何面对双曲线问题中的陷阱素材北师大版选修2-1

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3如何面对双曲线问题中的陷阱素材北师大版选修2-1如何面对双曲线问题中的陷阱双曲线是高中数学中的一种比较重要的圆锥曲线，在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易搞混或用错，不仅初学者容易落入双曲线的“陷阱”，即使高三复习时有的学生也会误入歧途，因此，有必要对双曲线中的陷阱加以剖析，以完善学生的认知结构，培养良好的数学素养，提高解题的正确率．下面摘取一些常见的错误展示出来，希望同学们在学习时要引起重视.1.想多了也错例１. 双曲线上有一点Ｐ到左准线的距离为，则Ｐ到右焦点的距离为　　　　. 　错解：设Ｆ１、Ｆ２分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为，易求得a=3，c=5，从而离心率，再由第二定义，易求∣ＰＦ１∣＝ed1＝，于是又由第一定义∣ＰＦ２∣-∣ＰＦ1∣=2a=6，得∣ＰＦ２∣=６±　剖析：以上出现两解的原因是考虑到Ｐ可能在不同的两支上.而事实上Ｐ若在右支上，则其到∣Ｆ１∣的最短距离应为右顶点Ａ２到Ｆ１的距离A2F1＝a+c=8，而<8，故点Ｐ只能在左支，于是∣ＰＦ２∣=.正解：在上述剖析的基础上,Ｐ到右焦点的距离为.点评: 一般地，若∣ＰＦ１∣≥a+c，则Ｐ可能在两支上，若∣ＰＦ１∣

错解1 故所求的双曲线方程为错解2 由焦点知故所求的双曲线方程为剖析： 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件由于判断错误，而造成解法错误随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法正解1 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得 正解2 依题意，设双曲线的中心为则 解得 所以 故所求双曲线方程为 点评: 造成判断错误的原因很多，数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误4.对双曲线的定义和性质认识不深刻或理解有偏差例4. 若一个动点到两个定点的距离的差的绝对值为定值，试讨论点P的轨迹方程．错解：由双曲线定义可知：轨迹是以为焦点的双曲线，其中，，∴方程为．剖析：利用双曲线定义求轨迹方程时，一定要注意这个条件，若和大小不定，必须讨论．正解：由已知得，（1）当时，轨迹是线段的垂直平分线，方程为；（2）当0＜a＜2时，轨迹是以为焦点的双曲线，其中，，∴方程为；（3）当时，轨迹为两条射线或．5、误用分母的大小确定焦点的位置例5.　已知双曲线，求它的焦点坐标．错解：将双曲线方程化为标准方程，∴．∴双曲线的焦点坐标为．剖析：双曲线的焦点在x轴或y轴上，不是以分母的大小确定的，而是按二次项系数的符号确定的．判断时，需将原方程化为标准形式，即方程右边是“1”，方程左边是“”和“”项的差：若“”的系数为正，则焦点在y轴上；若“”的系数为正，则焦点在x轴上．正解：将双曲线方程化为，可知焦点在y轴上，∴，，．∴焦点坐标为．6.忽视隐含例6. 已知双曲线，过     Ｐ（１，１）能否作一条直线Ｌ与双曲线交于Ａ、Ｂ两点，且Ｐ为ＡＢ中点.错解：（１）过点Ｐ且与x轴垂直的直线显然不符合要求. （２）设过Ｐ的直线方程为y-1=k（x-1），代入并整理得：　　 解这得：k=2，故直线方程为：y=2x-1，即直线是存在的.　 剖析与正解： 本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.　 点评：使用一元二次方程的根与系数关系必需要注意检验根的判别式Δ≥0是否成立.7.性质不熟练例7. 设双曲线的渐近线为：错解：由双曲线的渐近线为：，可得：从而剖析与正解：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：　　8。