双缝干涉条纹间距公式的推导

双缝干涉条纹间距公式的推导相干光经双缝后再次在屏上相遇互相叠加，形成了稳定的明暗相间的干涉条纹，理论和实软 都证明：在两狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距 跟光的波长成正比，现简要推导如下：如图，o是s1s2的中垂线与屏的交点；d是s1、s2的距离：I是缝与屏的距离；X是 p点到点的距离；r1、瘗是屏上P点到sk S2的距离；设s 1 > S2到P点的路程差为春= r2—r1,由图可知所以=U - f ' ( 2 )"(I) - ( 2 )可襟 nr；- ( x+ — ) (x- — ) Wdx"2 2即•( r： i ri)( HL c )=2dx3由于L »d L＞于■因此当6等于光波波长久的整数倍时,两列波在P点同相加 强,出现壳条级#即 kA = —x (略0 I ±1 > ±2 • ±3 ,…)时则 x= k— A ( k=0 j ±1 > ±2 > ±3 ■…) 日d5 111所以乙饕二芯^—xk = ( k+l )—人一k—A =—人vd d d即 ix ^~X (4)3当s等于光波半波长4的奇数倍时，两列波在F点良 2相漉弱,出现暗条纹：J即(2k+i = —x ( k=0 t±1 j±2 r±3i— 2 1ni 1 AKlJ xX2k+l ) — 1 一 ( k=Oj±l >±2 <±3 r - ) d 2… 1反 1所以△ it 二 Me ~x 虹(2k^3 ) —，一 —( 2k+1 ) 一，d 2 dA 1——人□2 d即一 A ( 5 )dd根据（4）、（5）两式W知：相邻两条明纹（或暗纹）向距离均为Ax=1/dA，而I、d 和A都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的°［应用］相干光经双缝产生干涉现象，当发生如下变化时，干涉条纹如何变化？ （1）I屏幕移近;（2）缝距变小；（3）波长变玲［分析］由公式Ax = 1/dA可知，相邻两条明纹（或喑纹）间距离△乂与I、人成正比， 与d成反比。

1）若屏幕移近，则I变小，因此条纹间距变小，条纹变得密集2）若缝距d变小，则变大，条纹变得稀疏口（3）若波长人变长,则怂变大因此若入射光为白光，则中央明纹（白色）的两侧, 出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光’另外在研究干涉现象时’一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从 光的能最角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线，双缝干涉条纹间距公式的推导如图建立直角坐标系，其xd d轴上横坐标为-y的点与5的点为两波源这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离(d J (d 3差为波长整数倍n人(零除外)的双曲线簇其中一",为所有双曲线的公共焦点 k 2 J 2 J这个双曲线簇的方程为：用直线y = i去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点将y = i代入双曲线簇的方程，有：解得：x =欣「4 +V d 2 — n 2 人 2上式中，d的数量级为10-4m，人为10-7m故d2 — n2人2 = d2，x的表达式简化为：_ _ 1 2 5其中1的数量级为100 m，d的数量级为10—4 m故d - I4，x的表达式简化为：12 nX1x = n人、'——= 1X可见，交点横坐标成-等差数列，公差为万，这说明：（1） 条纹是等间距的；1人（2） 相邻两条纹的间距为"。

d/至此，证明了条纹间距公式：AX = d入氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的？海军航空工程学院 磊 梁吉峰 选自《物理教师》2008年第11期在氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹(或者暗纹)中心间距为：浸=1人次，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而 言，其波长A为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1 我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同问题到底出在哪里呢？图】首先我们来看现行的教科书上对于氏双缝干涉的解释，如图2设定双缝S］、S2的间距为d，双缝所在平面与光屏P平行双缝与屏之间的垂直距离为L，我们在屏上任取一点P］，设定点P］与双缝S］、S2的距离分别为l和r2, O 为双缝S］、S2的中点，双缝S］、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0，设P1与P0的距离为乂，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d，在这种情况下由双缝S］、S2 发出的光到达屏上P］点的光程差△「为S2M=r2—r1~dsin0, (1)其中0也是0耳与OP 1所成的角。

因为d<

下面我们通过表1来比较sinO与tanO的数值表1O1°2°3°4°5°6°7°sin O0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tan O0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880.1051040.122784O8°9°10°11°sin O0.1391730.1564340.1736480.190808tan 00.1405400.1583840.1763260.194380从表1中我们可以看出当0=6二S严 ^0.6%因此当0 26°时，相对误差就超过了 0.6%，因此我们通常说sin0=tan0成立的条件是0 W5°，当 sin 00〉5°时，sin0^tan0就不再成立而在氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是x<

jL + X 2 2Lkk因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x=± .， 亍，屏上表现为明条纹，其中k=0，1，2，…， d 2 - k 2 人 2L(k +x=，屏上表现为暗条纹，其中k=0，1，2，・・・则相邻的明条纹中心问距为△x明 Xk+1明 Xk明L(k +1 认，:d 2 -(k + 1)2 人2Llkk\d2 -k 2 人 2邻暗条纹中心间距为△ x =x,暗 、k+ 1暗 Xk暗1 .L(k +1 + 方)人- 1"""丁d 2 - (k + 1 + 尹人2L(k +X c 3.0x108考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数例1 :用氦氖激光器（频率为4.74x1014Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数解：因为△r=dsinO=kX，所以dsin6 vdsinO 4.74x1014x2x10-3xsin5° ° ck=——= : = o 幻 2.8。