241平面向量数量积的物理背景及其含义（1）

数 乘 向 量 运 算 律1. ( ) ( )a a 2.( )a a a 3. ( )a b a b 两 个 向 量 的 夹 角 的 范 围 ： (0 180 ) 我 们 学 过 功 的 概 念 ， 即 一 个 物体 在 力 F的 作 用 下 产 生 位 移 s（ 如 图 ）F由 此 引 入 向 量 “ 数 量 积 ” 的 概 念 功 是标 量 | | |cosW F S S 一 、 向 量 数 量 积 的 定 义 ： aO Ab B 1B1 | |cosOB b b a 在 方 向上 的 投 影 | | |cosa b a b 叫 与 数 量 积a b 即 a b 记 作（ 也 叫 内 积 ）( ) ,ab a b 两 种 错 写 | |a 求 向 量 数 量 积 的 步 骤 ：1.求 两 个 向 量 的 模 （ 长 度 ）2.求 两 个 向 量 夹 角 及 cos3.向 量 的 数 量 积 （ 内 积 ） ab0 0a 规 定 : 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？| | |cosa b a b Oa b BA O a b BAa bA BO 1B 1A大 于 零 等 于 零 小 于 零( 0, 0)a b 1 .a b a ba b 例 已 知 |=5,|=4,与的 夹 角 =120 求 1 5 4 ( ) 102a b a b 解 : | cos =5 4 cos120 C B60。

58 A2. , 5, 8, 6ABC a b C BC CA 已 知 中 0 求1. .p q p q p q 已 知 | |=8,|=6, 与 的 夹 角 =60 求答 ： 241C 答 ： -20课 内 练 习 ： (1) 0a b a b (2) | | |;a b a b a b 当 与 同 向 时 ， | | |;a b a b a b (4)当 与 反 向 时 ，2(3) | |a a a aaa |或 2a(5)cos | | |a ba b (6) | | | | |a b a b ( 0, 0a b ) | | |cosa b a b cos18 0cos 0cos 0cos9 0 |cos | 1 O A B ab1A 1B 在 上 投 影ab 在 上 投 影a b 的 长 度 a a 的 长 度 a a 练 习 一 2 2 1. 0 00 00, 0, 00, , 05. 0 , 0a b a ba b a ba a b ba b a ba a b b c a ca b a c b c a a a a 若 = ,则 对 任 一 向 量 ,有2.若 ,则 对 任 一 非 零 向 量 ,有3.若 则4.若 则 中 至 少 有 一 个 为若 , 则6.若 则 ,当 且 仅 当 时 成 立 .7.对 任 意 向 量 有 1. | | 8, 3;a ea e a e 已 知 为 单 位 向 量 ,当 它 们 的 夹 角 为 时 ,求 在 方 向 上 的 投 影 及2. 90a b a b a b 已 知 |=2,|=3,与 夹 角 为 则1, 3,a b a b a b 3.若 、 共 线 ,则 4 03或34. 3, 4, 6,m n m n m n 已 知 则 与 夹 角 为 60 二 、 平 面 向 量 的 数 量 积 的 运 算 律 ：其 中 ， cba 、 是 任 意 三 个 向 量 ， R ( ) ( )a b c a b c (1)a b b a (2)( ) ( ) ( )a b a b a b (3)( )a b c a c b c (3)( )a b c a c b c a Ab B 1A 1Bc C 1CO 例 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.(ab)a(ab)ba22abb2.aabaabbb证明：（1）(ab)2(ab)(ab) （1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.例 2：求证：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2. 解: 22 632 bbaababa 02 2cos6 4 cos60 1236, 16a b a ba b 且 2 336 12 6 16 72a b a b 602 ) ( 3 ).a b a ba b a b 例 3已 知 与 的 夹 角 为 = ,求 ( . | | 3,| | 4,a b ka kb a kb 例 4已 知 当 且 仅 当 为 何 值 时 ，向 量 与 互 相 垂 直 ？ 0 bkabka bkabka 互 相 垂 直与解: 222 bkabkabka 又 2222 169 kbka 43k )( ,2 432,1|1 cbacaba cba k bakbababa 求 证 ：是 非 零 向 量 ， 且、 设 的 值 。

互 相 垂 直 ， 求 也与且、 若 K=6 A BCO3、 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 a b(1). , .OC a OB b 选 取 基 底 :(2). ,AC a b BC a b 用 基 底 表 示 所 需 向 量 :(3)用 内 积 证 明 结 论 :( ) ( ) 0AC BC a b a b A D A52 B5 3 5 1、 向 量 的 数 量 积 的 定 义4 、 必 须 掌 握 的 五 条 重 要 性 质小 结 2、 向 量 的 数 量 积 的 几 何 意 义3、 向 量 的 数 量 积 的 运 算 律 。