初三圆知识点_专项复习
《圆》重要章节知识点复习 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）；3、 角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、 到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线；5、 到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线二、点与圆的位置关系1、点在圆内Þd 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个 即可推出其它 3 个结论，即：① AB 是直径 ②AB ^CD③CE =DE④ 弧 BC =弧 BD⑤ 弧 AC =弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等CDO即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CDAOBCED∴弧 AC =弧 BD六、圆心角定理B圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对E的弧相等，弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论FO中，D只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论， ÐAOB =ÐDOE ；② AB =DE ；即：①ACB③ OC =OF ；④ 弧 BA =弧 BD七、圆周角定理C1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵ ÐAOB 和 ÐACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角ÐAOB =2ÐACB∴2、圆周角定理的推论：B OADB OCA推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙ O 中，∵ ÐC 、 ÐD 都是所对的圆周角∴ÐC =ÐD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧 是半圆，所对的弦是直径。 C即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径或∵ÐC =90°BOA∴ÐC =90°∴AB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形C即：在△ABC中，∵OC =OA =OBBOA∴△ABC是直角三角形或ÐC =90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角即：在⊙ O 中，CD∵四边形ABCD是内接四边形∴ÐC +ÐBAD =180° ÐB +ÐD =180°BÐDAE =ÐCAE（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可O即：∵MN ^OA且MN过半径OA外端M A N∴ MN 是⊙ O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角即：∵PA、PB是的两条切线B∴PA =PBOPPO 平分 ÐBPAAD十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等B OPCA即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ，C∴PA ×PB =PC ×PDBO EA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条D线段的比例中项 即：在⊙O中，∵直径AB ^CD， ∴CE2=AE ×BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切ADEPOCB线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线∴PA2 =PC ×PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）A即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线O1O2∴PC ×PB =PD ×PEB十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共 弦。 如图： O O 垂直平分 AB 1 2即：∵⊙ O 、⊙ O 相交于 A 、 B 两点1 2ACO2BO1∴O O1 2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：Rt DO O C 1 2中， AB2 =CO 21= O O1 22 -CO 22；C（2）外公切线长： CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 O十四、圆内正多边形的计算BDA（1）正三角形在 ⊙ O 中 △ ABC 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 Rt DBOD 中 进 行 ：BCOOD : BD : OB =1: 3 : 2；AED（2）正四边形OBA同理，四边形的有关计算在 Rt DOAE （3）正六边形中进行， OE : AE : OA =1:1: 2 ：同理，六边形的有关计算在Rt DOAB中进行， AB : OB : OA =1: 3 : 2 .十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式A1、扇形：（1）弧长公式：l =npR180；O S l（2）扇形面积公式： S =npR 2 1 = lR360 2Bn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：ADD1（1）圆柱侧面展开图母线长S =S +2 S 表 侧底= 2prh +2pr2BC底面圆周长C1（2）圆柱的体积： V =pr 2 hB1（2）圆锥侧面展开图O（1）S表=S +S侧底= pRr +pr2R1（2）圆锥的体积： V = p3r 2hACrB中考真题1（陕西）．如图，在 RT△ABC 中∠ABC=90°，斜边 AC 的垂直平分线交 BC 与 D 点，交 AC 与 E 点，连接 BE（1） 若 BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？（2） 当 AB=1,BC=2 是求△DEC 外界圆的半径2(安徽)．如图所示，在圆⊙O 内有折线 OABC，其中 OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°， 则 BC 的长为（）A．19 B．16 C．18 D．203（福州）.（满分 11 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 与点 E，点 P 在⊙O 上，∠1= ∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若 BC=3，sinP=35，求⊙O 的直径。
