信号与系统ch3ppt课件

第三章 连续信号的正交分解引言引言 1.LTI1.LTI连续时间系统的时域分析法连续时间系统的时域分析法 复杂信号分解若干个冲激函数复杂信号分解若干个冲激函数di(t)h i(t)di(t)h i(t)叠加叠加 总响应总响应信号分解信号分解:每个分量用同样形式的单元函数每个分量用同样形式的单元函数e(t)e(t)或或d(t)d(t)来表示来表示信号的时域表示法信号的时域表示法 2.2.单元函数的选择单元函数的选择 一组坐标轴一组坐标轴 构成构成 一个矢量空间一个矢量空间 一个函数集一个函数集 信号空间信号空间 常用正交坐标系常用正交坐标系,正交函数正交函数集集3.3.正交函数集正交函数集 定义定义:如有如有n n个函数个函数g1(t),g2(t),gn(t)g1(t),g2(t),gn(t)构成一个函构成一个函数集，当这些函数在区间数集，当这些函数在区间t1,t2t1,t2内满足以下内满足以下正交特性正交特性 ：第三章 连续信号的正交分解mlkmldttgtgmttml,0)()(21则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间t1,t2t1,t2内的正交函数集内的正交函数集于是信号于是信号 在区间在区间t1,t2t1,t2内可以用内可以用n n个互相正交的个互相正交的函数表示为：函数表示为：)(tfnrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(最佳近似系数：最佳近似系数：212121)()(1)()()(2ttrrttrttrrdttgtfkdttgdttgtfC求得由0)()(12112221dttgCtfttCCCttnjjjrrr第三章 连续信号的正交分解与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。

个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集完备的正交函数集有两种定义：完备的正交函数集有两种定义：A.如果用正交的函数集如果用正交的函数集 在区间在区间t1,t2内近似表示内近似表示 ，若令若令 ，则称该函数集为完备的正交函数，则称该函数集为完备的正交函数集)(tgr)(tf)(0lim,2此时nn此时此时 )()()()(2211tgCtgCtgCtfrrB.B.如果在正交函数集如果在正交函数集 之外，不存在之外，不存在函数函数 ,(),()满足等式满足等式:则这个函数集称为完备的则这个函数集称为完备的正交函数集正交函数集)(,),(),(21tgtgtgn)(tx21)(02ttdttx),2,1(0)()(21nrdttgtxttr第三章 连续信号的正交分解如三角函数集如三角函数集 ),(,),2(,),(,),2(,1tnSintSintSintnCostCostCos，在区间在区间t0,t0+Tt0,t0+T）()()内为完备的正交函数集内为完备的正交函数集2T符合一定条件的任一信号可用三角函数集表示符合一定条件的任一信号可用三角函数集表示 ，如，如 信号是频率的函数信号在频域中的表示 (频域分析)4.4.信号也可以表示为复频率信号也可以表示为复频率(s=a(s=ajw)jw)的函数复频的函数复频域分析）域分析）)5(51)3(31)(4)(tSintSintSintf第三章 连续信号的正交分解一、信号表示为傅里叶级数一、信号表示为傅里叶级数二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱三、傅里叶变换与非周期信号的频谱三、傅里叶变换与非周期信号的频谱四、傅立叶变换的基本性质四、傅立叶变换的基本性质五、常用信号的频谱函数傅里叶变换）五、常用信号的频谱函数傅里叶变换）六、帕色伐尔定理与能量频谱六、帕色伐尔定理与能量频谱第三章 连续信号的正交分解一、信号表示为傅里叶级数一、信号表示为傅里叶级数（一傅里叶级数的三角形式（一傅里叶级数的三角形式周期函数周期函数 在区间在区间t1,t1+Tt1,t1+T内可表示为：内可表示为：)(tf)()(2)(110tnSinbtSinbtnCosatCosaatfnnTttTttTttndttnCostfTdttnCosdttnCostfa111111)()(2)()()(2TttTttTttndttnSintfTdttnSindttnSintfb111111)()(2)()()(2)()(11)(2111111200tfdttfTdtdttfCaTttTttTttTttdttfTa110)(2（也可以令（也可以令 中中n n0 0得到）得到）na（直流分量）（直流分量）第三章 连续信号的正交分解tSinbtCosa11和合成一角频率为合成一角频率为 的正弦分量的正弦分量T2基波频率基波频率 ，n n 次谐波频率次谐波频率 n)()()(nnnntnCosAtnSinbtnCosa令令10)(2)(nnntnCosAatf那那么么nnnnnnSinAbCosAannnnnnabarctgbaA22其中其中偶函数nnnnAAaa奇函数nnnnbb可见可见:(即在一定区间内，任一即在一定区间内，任一 可以用一直流分量和一可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示）系列谐波分量之和来表示）)(tf第三章 连续信号的正交分解第三章 连续信号的正交分解第三章 连续信号的正交分解(二二)傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 尤拉公式：尤拉公式：)(21)(21jjjjeejSineeCosjSinCosejSinCosejj即即 指数项指数项 余弦波余弦波10)()(2)(nnntnSinbtnCosaatf)(2)(2210tjntjnnntjntjnneejbeeaa)(21)(21210tjnnntjnnnnejbaejbaa于是于是第三章 连续信号的正交分解njnnnnnnAeAjSinCosAjban2121)(21)(21令njnnnnnnAeAjSinCosAjban2121)(21)(2100aA ntjnnnntjnntjnnneCeAeAeAAtftjn21212)(10上式说明：上式说明：可用函数集可用函数集 来表示来表示 （n=0,n=0,）)(tftjne,2,1TtttjnTtttjntjnTtttjnndtetfTdteedtetfC111111)(1)()(*TtttjnndtetfTA11)(2第三章 连续信号的正交分解 讨论：讨论：1 1意义：意义：tjeCeCCtftj2210)(tjtjeCeC221（）并不代表负频率，各正、负指数项组成一个余弦）并不代表负频率，各正、负指数项组成一个余弦或正弦波或正弦波 n2 2求求 之法：用指数级数比用三角级数更方便，只之法：用指数级数比用三角级数更方便，只需求出需求出)(tf)(tfAn3 3求频谱求频谱 第第n n次谐波分量的复数振幅次谐波分量的复数振幅包括振幅和相位）包括振幅和相位）nA求 (三三)信号的对称条件及其与谐波含量信号的对称条件及其与谐波含量的关系的关系1 1偶函数偶函数关于纵轴对称关于纵轴对称假设假设 那么那么 为为t t 的偶函数的偶函数)()(tftf)(tf第三章 连续信号的正交分解此时此时000)(2)()()(dttfdttfdttfdttf或)(tfT 0 T tT 0 T t0)()(2)()(4)()(220TnTTndttnSintfTbdttnCostfTdttnCostfTa而即偶函数只含有余弦分量，直流分量可能有或无即偶函数只含有余弦分量，直流分量可能有或无 2 2奇函数奇函数关于原点对称关于原点对称假设假设 那么那么 为为t t 的奇的奇函数函数 )()(tftf)(tf此时此时 0)()()(00dttfdttfdttf或)(tf T/2 0 T/2 t第三章 连续信号的正交分解00)()(2adttnCostfTaTn20)()(4)()(2TTndttnSintfTdttnSintfTb而而即奇函数只含有正弦分量即奇函数只含有正弦分量 注意：函数的奇偶性由坐标轴的对称关系决定，故注意：函数的奇偶性由坐标轴的对称关系决定，故当移动坐标轴时，奇偶关系会改变当移动坐标轴时，奇偶关系会改变 3 3偶谐函数偶谐函数半周期重叠半周期重叠 （只含偶次谐波）（只含偶次谐波）假设假设 则称则称 为偶谐函为偶谐函数数 )()2(tfTtf)(tf T/2 0 T/2 t)(tf如如 既是偶函数，又是偶谐函数既是偶函数，又是偶谐函数,)(tf那那么么 0,0531nbaaa)4(151)2(3142)(tCostCosAAtf第三章 连续信号的正交分解4 4奇谐函数奇谐函数半周期镜像对称上、下对称）半周期镜像对称上、下对称）满足满足 只含奇次谐波只含奇次谐波 )()2(tfTtf f1(t)f1(t)T/2 0 T/2 T/2 0 T/2 t tf2(t)f2(t)T T t T T t 如如f2(t)f2(t)既是奇函数，又是奇谐函数既是奇函数，又是奇谐函数 那么那么 0,04200bbbaan5.5.任一函数都可分解成一个奇函数与一任一函数都可分解成一个奇函数与一个偶函数之和个偶函数之和 )()()()()(tftftftftfevod偶奇求求)()(tftfevod和)()()()()(tftftftftfevodevod2)()(2)()()(tftftftftftfevod）第三章 连续信号的正交分解f(t)f(t)1f(-t)f(-t)-T/2 T/2 -T/2 T/2 t tfod(t)fod(t)-1/2-1/2 fev(t)=1/2 fev(t)=1/2 第三章 连续信号的正交分解(四四)傅里叶级数的时间位移性质傅里叶级数的时间位移性质 内容：内容：之复系数为之复系数为 )(tf)2(nnAC延迟延迟 0)(:00tjnneCttft则复系数为证明：证明：ntjnneCtf)(ntjnnnttjnneeCeCttftjn00)(0)(说明：在时间上延迟说明：在时间上延迟t0t0对应于谐波分量的相位滞后对应于谐波分量的相位滞后了了 ！0tn例例)3(9142)(2tCostCosAAtfa求求 的表达式的表达式 ）tfb(第三章 连续信号的正交分解fa(t)fa(t)fb(t)fb(t)A T/2 0 T/2 T/2 0 T/2 t t-T 0 T/2 T 2T t-T 0 T/2 T 2T t解：解：)2()(TtftfabnTntnT2,20()33(91)(422tCostCosAA)3(91)(422tCostCosAA第三章 连续信号的正交分解作业：3.7、3.9、3.10第三章 连续信号的正交分解二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱)()(2)(110tnSinbtSinbtnCosatCosaatfnn 振幅频谱图-信号各频率分量的振幅随角频率变化的图形tf(t)0T)5(51)3(31)(4)(tSintSintSintfAn01 3 5 7=nA1A3A5A7谱线第三章 连续信号的正交分解（一）（一）周期信号的频谱周期信号的频谱 例例 求周期性矩形脉冲的展开式和频谱求周期性矩形脉冲的展开式和频谱 脉冲宽度脉冲宽度 T T脉冲周期脉冲周期 A A脉冲幅度脉冲幅度-T -/2/2 T t-T -/2/2 T t f(t)A解：（解：（1 1求求f(t)f(t)的展开式的展开式 【方法一】用三角形式表示【方法一】用三角形式表示因为因为 f(-t)=f(t)(f(-t)=f(t)(偶函数偶函数)，所以所以bn=0bn=024)(4)()(42020nSinTnAdttnACosTdttnCostfTaTn)(2)2(2222TnSaTAnSaTAnnSinTA第三章 连续信号的正交分解xSinxxSa)(抽样函数抽样函数 nnTTaimlTAAdtTdttfTa02222022)(2)()(2)(1tnCosTnSaTATAtfn【方法二】用指数形式表示【方法二】用指数形式表示 22222)(2dtAeTdtetfTAtjnTTtjnn)2(224nSaTAnSinTnAnjneA实数nnnnAAnSaTAA,0)2(2第三章 连续信号的正交分解nnAAnSanSa)2()2()(21)(1tjntjnnneeATAtf)()2(21tnCosnSaTATAn故(2)(2)求频谱求频谱 令令n=1,2,n=1,2,按频率高低依次排列即得频谱图按频率高低依次排列即得频谱图 tjnnneAtf21)(112121ntjnntjnnneAeATA)2(2nSaTAAn第三章 连续信号的正交分解Sinx/x=Sa(x)Sinx/x=Sa(x)0 2 3 x An 0 2/4/0 2/4/=n=n T=6:T=6:n=0 n=n=0n=0 n=n=0零点位置：零点位置：x=n/2=m x=n/2=m n=m2/n=m2/即=nm2/时，An0 零点 又又 2/2/（T/T/）,(=2/T)(=2/T)An /T An /T设设 T=6 T=6，那么，那么 A0 A0(2/6)A,2/=6,(2/6)A,2/=6,即每个包络内有即每个包络内有5 5根谱线根谱线 相位谱：相位谱：图图 nnnnAA,0 n 0 2/4/0 2/4/=n=n 20A第三章 连续信号的正交分解其它方法：其它方法：振幅向量为实数振幅向量为实数 此时，此时，AnAn为负值，并不表示振幅为负，只表示为负值，并不表示振幅为负，只表示 n又如按又如按 (指数级数）指数级数）ntjnntjnnneCeAtf21)(指数频谱图：指数频谱图：Cn Cn-2/0 2/4/=n-2/0 2/4/=n(关于纵轴对称，但并不表示有负频率，它只表示一对关于纵轴对称，但并不表示有负频率，它只表示一对相应的正、负指数项合起来构成一个正弦分量相应的正、负指数项合起来构成一个正弦分量)A0 An=(2A/T)Sa(n/2)A0 An=(2A/T)Sa(n/2)0 2/4/=n 0 2/4/=n T=6:20A第三章 连续信号的正交分解(二二)周期性矩形脉冲频谱的特点周期性矩形脉冲频谱的特点 1 1离散性离散性 2 2谐波性谐波性 3 3收敛性收敛性 讨论：讨论：T T、对信号频谱结构的影响对信号频谱结构的影响 24)2(2nSinTnAnSaTAAn 一定）（一定时，T）高了（但谱线疏密不变振幅为零的谐波次数提的收敛速度也变慢了且各谐波振幅渐趋减小2nA 线变密谱线间间隔减小，即谱一定）一定时，)2(2(TATnT T无限趋大时，谱线间隔无限趋小，振幅也无限趋小，无限趋大时，谱线间隔无限趋小，振幅也无限趋小，周期脉冲周期脉冲 非周期性单脉冲非周期性单脉冲 非周期信号可看作非周期信号可看作 的周期信号问题的周期信号问题 0，T周期矩形脉冲的频谱的所有特点也是一切周期性信号的共同特点周期矩形脉冲的频谱的所有特点也是一切周期性信号的共同特点 Cn0 2/4/=n 0 2/4/=n 第三章 连续信号的正交分解(三三)信号的频带宽度频宽）信号的频带宽度频宽）对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这段频率范围是信号所占有的频带宽分量的频率间的这段频率范围是信号所占有的频带宽度，简称频宽。

度，简称频宽定义两种）：定义两种）：从从0 0到频谱包络线第一个零点间的频段到频谱包络线第一个零点间的频段 从从0 0到振幅降为包络线最大值到振幅降为包络线最大值1/10 1/10 间频段间频段 讨论：讨论：脉宽脉宽与频宽成反比与频宽成反比 00，频谱均匀分布于时，信号频宽加大振幅收敛速度变慢说明：时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带说明：时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带第三章 连续信号的正交分解作业：3.5第三章 连续信号的正交分解三、傅里叶变换与非周期信号的频谱三、傅里叶变换与非周期信号的频谱 周期信号：周期信号：ntjnnTTtjnneAtfdtetfTA)2(21)()1()(222无穷小（间隔）时，TT2nA同时同时 无穷小无穷小 （一）频谱函数频谱密度函数和傅立叶变换式式1 1乘以乘以T/2:T/2:fAATAnnn2222)(TTtjndtetf),0(时当T第三章 连续信号的正交分解 定义：nnTATAFjF0lim2lim)()(量纲：量纲：)(jF单位频带的振幅单位频带的振幅 频谱密度函数频谱密度函数 付氏变换复数）则连续变量无穷小），时，当()()()()(jtjejFdtetfjFndT（无穷小量）频率分量的相位，而实际振幅各频率分量的相对值)()()()(djFAjF)(jF偶函数，偶函数，)(奇函数奇函数 （二非周期信号的表达式（二非周期信号的表达式傅立叶反变换傅立叶反变换 tjnTTtjnntjnnnedtetfTeAtf)(22121)(22第三章 连续信号的正交分解dTndT22,时，当当tjtjedtetfdtf)(2)(dejFtj)(21傅立叶反变换傅立叶反变换 简记为：简记为：)()()()()()(1jFtfjFFtftfFjF或（三）（三）非周期信号的频谱非周期信号的频谱deejFdejFtftjjtj)(21)(21)(dejFtj)()(21dtSinjFjdtCosjF)()(21)()(21dtCosjF)()(10第三章 连续信号的正交分解非周期信号也可分解为许多不同频率的正弦分量非周期信号也可分解为许多不同频率的正弦分量 但因但因 信号包含,0,T一切频率分量，00)(djFA）（同时所以频谱不能直接用振幅作出，而必须用它的密度函所以频谱不能直接用振幅作出，而必须用它的密度函数来作出。

数来作出令)()()(jejFjF曲线）（相位谱：曲线幅度谱：)(jF)(,2,2jFAnTnTn周期信号的周期信号的 和非周期信号的和非周期信号的 可相互转换可相互转换 nA)(jF第三章 连续信号的正交分解（四非周期矩形脉冲的频谱分析（四非周期矩形脉冲的频谱分析 A A矩形之面矩形之面积积 f(t)f(t)A-/2 0/2 t-/2 0/2 t【方法一】直接用定义式求【方法一】直接用定义式求 dtetfjFtj)()()(2222jjtjeejAdtAe)2(22SaASinA【方法二】直接用转换关系求【方法二】直接用转换关系求 )2(2nSaTAAn)()()2()2(22)(jejFSaASaTATjF)2()(SaAjF0)(,0)(,0)(jFjF第三章 连续信号的正交分解频谱图：频谱图：F(j)F(j)A A 0 0 426 周期脉冲频谱包络线的形状和非周期单脉冲的频谱周期脉冲频谱包络线的形状和非周期单脉冲的频谱函数形状完全相同，所以，单脉冲信号的频谱也具有以函数形状完全相同，所以，单脉冲信号的频谱也具有以下特点：下特点：单脉冲信号的频谱也具有收敛性，即信号的大部分能量单脉冲信号的频谱也具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；都集中在低频段；当脉冲持续时间减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽当脉冲持续时间减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比。

与频宽成反比第三章 连续信号的正交分解四、傅里叶变换的基本性质四、傅里叶变换的基本性质（一（一）线性性质）线性性质假设假设 ，)(11jFtf）)()(22jFtf)()()()(22112211jFajFatfatfa（二）（二）时移性质时移性质 假假设设 )()(jFtf 那那么么 0)()(0tjejFttf含义：含义：信号在时域中延时和在频域中移相对应如正信号在时域中延时和在频域中移相对应如正弦波在时间轴上的起点不同则相角随之变化弦波在时间轴上的起点不同则相角随之变化例例1求求 的频谱函数的频谱函数 )(tf)(jF)(tf)(tfa A A A A 0 t -/2 0 t -/2/2 t/2 t解：解：)()(jFtf)2()()(SaAjFtfaa2)()(jaejFjF第三章 连续信号的正交分解2)2(jeSaA)()(jejF)()2()(jFSaAjFa2)()(a)(a 0 2468)(2)()(jaejFjF例例2)()()(21tftftf)(tf f1(t)A -0 t f2(t)()()(21jFjFjF)(2(22jjeeSaA（三）（三）移频性质移频性质 假假设设 )()(jFtf那那么么 )()(ctjjjFetfc说明：信号在时域中与因子说明：信号在时域中与因子 相乘，等效于频域中相乘，等效于频域中频率的转移频率的转移 tjce第三章 连续信号的正交分解而而 )()(21)(cccjjFjjFtCostf调幅过程调幅过程 例例3 3 求求 )()(tftCostfca幅度调制信号的频谱函数幅度调制信号的频谱函数 解：解：tCostftfca)()()(21tjtjacceetf)(21)(21)(cacajjFjjFjF)(tfaA A-/2 0/2 t-/2 0/2 t 2)(22)(2ccSaASaA)(jFa A A/2 A/2)(jF-c 0 c )(tft t 第三章 连续信号的正交分解解：解：1)(1tf)(1jF先求直流信号先求直流信号 的频谱的频谱)cos()()cos(1)(010ttfttf)cos()(0ttf例例4 求余弦信号求余弦信号 的频谱的频谱)(jF那那么么)(21)(21)(0101jjFjjFjF 当单个矩形脉冲幅度当单个矩形脉冲幅度A=1)的持续时间无限趋大时的持续时间无限趋大时就变成了直流信号，即就变成了直流信号，即)(lim)(1tftfa)(lim)(1jFjFa)2(limSa而而)(lim)(kSakk若令若令2k那那么么)(2)(lim2)(1kSakjFk第三章 连续信号的正交分解)(21即即直流信号的频谱是位于直流信号的频谱是位于 处的冲激处的冲激0于是于是)()()(00jF 可见，周期余弦信号的频谱函数完全集中于可见，周期余弦信号的频谱函数完全集中于 点，是位于点，是位于 点的冲激函数，频谱中不包含任何点的冲激函数，频谱中不包含任何其它成分。

其它成分00（四）（四）尺度展缩尺度展缩(变换性质变换性质 假假设设 )()(jFtf那么那么 )(1)(ajFaatf含义：在时域内含义：在时域内,信号信号 沿时间轴压缩至原来的沿时间轴压缩至原来的 ,对应于频域中，它的频谱函数展宽对应于频域中，它的频谱函数展宽 倍即信号的脉倍即信号的脉宽与频宽成反比宽与频宽成反比)(tfa1a第三章 连续信号的正交分解证明：（证明：（1 1）0a)(11)()()(ajFatdaetfdteatfatfFatjatttj令令令 (2)0ataatttt)(1)1()(1)()()(ajFat daetft daetfatfFatjatj令令 1a 那么)()(jFtf)(tf 1-/2 0 -/2 0 /2 t/2 t)(jF )2(tf/4 /4 t/2/2 第三章 连续信号的正交分解(五五)奇偶性质奇偶性质 假如假如 是是t t的实函数，且设的实函数，且设 )(tf)()()()()()(jXRejFjFtfj 则有(1)()(,)()()()(),()(jFjFXXRR(2)()()(*jFjFtf(3)(3)()(,0)(),()()()(,0)(),()(jXjFRtftfRjFXtftf则如则如例例5 5 求单边指数信号的频谱求单边指数信号的频谱 )0)()(tetft1 1 0 t解解:dtetfjFtj)()(0dteetjt第三章 连续信号的正交分解dtetj)(0)()(1jejFj221)(jFarctg)(01)(jF 0）（0 )(jF例例6 6 求双边指数信号求双边指数信号 的频谱的频谱 f(t)1tete 0 t)()(tetft解：解：dtetfjFtj)()(00dteedteetjttjt22211jj)(jF00)(arctg 2/0 )(jF当当f(t)f(t)是偶函数时，其频谱必然是实数，且也为偶函数！是偶函数时，其频谱必然是实数，且也为偶函数！第三章 连续信号的正交分解例例7 7 求单位符号函数求单位符号函数Sgn(t)Sgn(t)的频谱的频谱 fa(t)=Sgn(t)fa(t)=Sgn(t)1-1 0 t解解:观察观察f1(t)f1(t)1 f1(t)tete-1-1)(lim)(10tftfa)(lim)(10jFjFa于是于是(1)(1)求求F1F1jj）dtetfjFtj)()(1100)(dteedteetjttjt22211jjj 0 t第三章 连续信号的正交分解(2)(2)求求FaFajj）2)(lim)(10jjFjFa2)(jFa0,20,2）（当当f(t)f(t)为奇函数时，其频谱一定是虚数，且也为奇函数！为奇函数时，其频谱一定是虚数，且也为奇函数！/2/2-/2-/2 0 )(jF 如果将信号如果将信号f(t)f(t)看作是由余弦看作是由余弦“分量所组成，其分量所组成，其频谱图是单边的即频谱图是单边的即00）;如果将信号看作是由虚指数函数所组成，由于它如果将信号看作是由虚指数函数所组成，由于它是对是对从从到到积分，因而，频谱图应为双边谱积分，因而，频谱图应为双边谱.第三章 连续信号的正交分解(六六)对称性质互易性质）对称性质互易性质）)()(jFtf若)(2)(fjtF则)(2)()(fjtFtf是偶函数，则若含义：信号的波形与信号的频谱的图形有着互相置换的含义：信号的波形与信号的频谱的图形有着互相置换的关系。

关系如单位冲激信号如单位冲激信号 的频谱为：的频谱为：)(t1)()()(dttdtetjFtj即即1)(t从而从而 )(21)(21或说明：单位冲激信号具有无限宽的频带说明：单位冲激信号具有无限宽的频带第三章 连续信号的正交分解)()(ttf 0 t F(j)1 0 21)(21)(jtFtfa 0 t 0 t 21)()(jFa 0 又如求取样函数又如求取样函数 )()(jFtfaaGtf)(-0 t-0 t 22)2()(SajF1 0 0 24)()(21)(tSajtFtfmmam0 tmm2)(jFa1-0 -0 mm注意：这种对称关系只适用于偶函数注意：这种对称关系只适用于偶函数第三章 连续信号的正交分解(七七)时间微分特性时间微分特性 假设假设 )()(jFtf 那么)()()(jFjdttdftf)()()(jFjdttfdnnn含义：信号对时间取导数，相当于在频域中用因子含义：信号对时间取导数，相当于在频域中用因子 去乘它的频谱函数去乘它的频谱函数)(j如正弦稳态分析中如正弦稳态分析中 ccccUCjIdttduCi)(例例8 8 求非周期镜像脉冲求非周期镜像脉冲 的频谱函数的频谱函数 )(tf)(tf1-1解：解：)()()()(jFjjFtftf第三章 连续信号的正交分解ttf)(0 t 0 t 00)()()(dtetdtetjFtjtj22)2(Sa)2(4)2()()(222SinjSajjFjjF(八八)时间积分性质时间积分性质 假假设设 )()(jFtf 那么)()0()(1)(FjFjdft证明：证明：(1)(1)jt1)()(2)(2)(3)(3)dtfdft)()()(jejt1)()(第三章 连续信号的正交分解dtedtfdfFtjt)()()(3）由（ddtetftj)()(djefdefjj)()()(2）由（defjdefjj)(1)()()(1)0()(jFjF设设 0)0(F那么那么 )(1)(jFjdft)(tdfF含义：信号对时间积分，相当于在频域中用因子含义：信号对时间积分，相当于在频域中用因子 去去除它的频谱函数。

除它的频谱函数)(j第三章 连续信号的正交分解注意积分性质的应用条件注意积分性质的应用条件!设设 ()()dg tf tdt 那么()()()()ttdgfddg tgd1()2()()(0)()()0)gg tgFF jj 时，又又0()(0)()()()()j tdg tFf t edtf t dtdtggdt 故一般可表示为故一般可表示为:1()()()()()g tggF jj 1()(0)(0)()g tFF jgj t当时,f()d积分性质的应用条件是原函数在负无穷远处的函数值等于零积分性质的应用条件是原函数在负无穷远处的函数值等于零!第三章 连续信号的正交分解例例9 9 求三角形脉冲求三角形脉冲 的频谱函数的频谱函数)(tf)(jF解：解：1)(t（频带无限宽）（频带无限宽）)()0()(1)()()(111FjFjjFdftft)(tf 0 t 0 t 1)()(1tftf-0 -0 t t-1/-1/)()(2tftf-0 t(2/)(2/)()0()(1)()()(22121FjFjjFdftft)2(4 1)(22)(1)(22SinCoseejFjj2212)2()2(41)(00SajSinjjFF）（221)2()(1)(0)0(SajFjjFF()0f 1()0f 第三章 连续信号的正交分解例例10312()()()(),dg tdg tdgtf tdtdtdt1()0,g ()(),2f tSa(0)1F11()()(0)()G jF jFj()2()Saj 21(),2g 2221()()()()()GjggF jj 21(),2g ()2Saj31(),2g 31()2()()2GjSaj 33(),2g 第三章 连续信号的正交分解312()()()()dgtdg tdgtf tdtdtdt()()2f tSa2()0g t dt因为因为 ,所以所以2()2()SaGjj121()()2g tg t32()()1g tg t而而,故故12()12()()2()()2SaGjGjj 32()2()()2()2()SaGjGjj （九频域的微分与积分性质（九频域的微分与积分性质 假设假设 )()(jFtf 运用积分性质从导函数的频谱求原函数的频谱时,原函数若不含直流分量,则其频谱就不含冲激函数,否则,其频谱等于导函数的频谱除以因子 后再加上直流分量的频谱.)(j第三章 连续信号的正交分解那那么么 djdFtjtf)()(djFttfjtf)()()()0(（十卷积定理（十卷积定理 1时域卷积定理)()()()(2121jFjFtftf证明：证明：dtedtfftftfFtj)()()()(2121（变换积分次序）（变换积分次序）ddtetfftj)()(21dejFfj)()(21)()(21jFjF第三章 连续信号的正交分解例例11 11 求三角形脉冲求三角形脉冲 的频谱函数的频谱函数 )(tf)(jF 1 f1(t)1 f2(t)1 f1(t)1 f2(t)*=0 0 =0 -/2 /2 t-/2/2 t222121)2()()()()()(SajFjFtftfFjF f f(t)(t)-0 t-0 t)2()()(21SajFjF2 2频域卷积定理频域卷积定理 )()(21)()(2121jFjFtftf第三章 连续信号的正交分解作业：3.11、3.12、3.14(1)(2)、3.15(1)(2)(3)、3.17(a)(c)(c)、3.20、3.21 第三章 连续信号的正交分解五、常用信号的频谱函数五、常用信号的频谱函数 （一单位阶跃信号的频谱函数（一单位阶跃信号的频谱函数 )()()(jFttf)(21jtSgn2)(1/2 +0 t 0 t -1/2)(2121)()()(21tSgntftftf)(tf)(1tf)(2tf1)(1)()(jjjF21)(1)()(0jejjF 时，、第三章 连续信号的正交分解)(2)(11)(0jjejFejjF时，0,20,2)(,1)(jF注意：阶跃信号与直流信号所含分量不同，因此它们是注意：阶跃信号与直流信号所含分量不同，因此它们是两种信号，其频谱函数也就不同。

两种信号，其频谱函数也就不同二虚指数信号的频谱（二虚指数信号的频谱 )()(jFetftjc直接求：直接求：?)(dtedteeeFtjtjtjtjccc为此考虑：为此考虑：)()(11ctjjjFetfctjtjcceetftf1)()(1第三章 连续信号的正交分解)(2)(1)(11jFtf)(2)()(1ccjjFjF（三）（三）指数变幅正弦信号的频谱指数变幅正弦信号的频谱 )()()()(jFttSinetfct)()(21)(teejetftjtjtcctjttjtccejteejte2)(2)(jtet1)()(1)(121)(ccjjjjF2222224)()(ccjF2222)(carctg（移频特性）（移频特性）（移频特性）（移频特性）第三章 连续信号的正交分解（四）（四）周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换频谱密度函数频谱密度函数 周期信号：周期信号：ntjnneAtf21)(22)(2TTtjnndtetfTA频谱函数：频谱函数：21)()(ntjnneAFtfFjFntjnneFA21nnnnnAnA)()(221说明：说明：周期信号的频谱函数由无穷多个冲激函数组周期信号的频谱函数由无穷多个冲激函数组成，各个冲激位于各次谐波频率处；成，各个冲激位于各次谐波频率处；各个冲激的强度为各次谐波复振幅各个冲激的强度为各次谐波复振幅 的的 倍。

倍nA第三章 连续信号的正交分解求周期信号的频谱密度函数求周期信号的频谱密度函数 之方法：之方法：)(jF由由 )()(jFAtfn如均匀冲激序列如均匀冲激序列nTnTtt)()(TdtetTATTtjnn2)(222其复数振幅其复数振幅其频谱密度为其频谱密度为nTnT)(2)(-T 0 T t)(tT0 )(234nn)(第三章 连续信号的正交分解六、帕色伐尔定理与能量频谱六、帕色伐尔定理与能量频谱 （一）（一）信号的能量信号的能量W W和平均功率和平均功率P P 1.1.信号的能量：信号的能量：信号信号 在在 电阻上消耗的能量电阻上消耗的能量 )(tf1dttfdtudtiW222)(2信号的平均功率：信号信号 在在 电阻上消耗的平均功率电阻上消耗的平均功率)(tf12222)()(1limtfdttfTPTTT3 3能量信号能量有限信号）能量信号能量有限信号）能量为有限值W有限值，P=0）4.4.功率信号功率信号 平均功率为有限值平均功率为有限值P P有限值，有限值，W=W=）第三章 连续信号的正交分解（二）（二）帕色伐尔定理帕色伐尔定理 由电路理论知：非正弦周期信号电流或电压的有效值由电路理论知：非正弦周期信号电流或电压的有效值等于该电流或电压中所含各项谐波分量有效值的平方等于该电流或电压中所含各项谐波分量有效值的平方和的平方根，即和的平方根，即 22120nIIII其功率其功率)1()(22RtiIP写成一般形式：写成一般形式：212202222)2(21)2()(1)(nnnnTTAAAdttfTtf122021202221)2(nnmnnmIIIIiI 说明：说明：对周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域对周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得信号功率相等，且频域中的信号功率表示中求得信号功率相等，且频域中的信号功率表示为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为该谐波的方均值。

该谐波的方均值第三章 连续信号的正交分解帕色伐尔定理：帕色伐尔定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和各分量功率之和三非周期信号的能量和能谱能量密度频谱函数）三非周期信号的能量和能谱能量密度频谱函数）1.1.非周期信号的能量非周期信号的能量dttfW2)(dejFtftj)(21)(dtdejFtfWtj)(21)(ddtetfjFtj)()(21djFjF)()(21第三章 连续信号的正交分解djFW2)(2102)(1djF)2(fdffjF2)2(说明：说明：对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等域中求得的信号能量相等雷利定理雷利定理 2.2.非周期信号的能谱非周期信号的能谱 非周期信号非周期信号 0nA其各频率分量的能量趋于无穷小其各频率分量的能量趋于无穷小 能量密度频谱能谱定义：能量密度频谱能谱定义：单位角频率中的能量，以单位角频率中的能量，以 表示表示 )(GddWG)(0dGdW)(第三章 连续信号的正交分解0)(dGWdG)(1的定义域为)(1G 与与 的关系：的关系：)(G)(jFdjFdjFW022)(1)(21dG)(10)(dG21)(21)(jFG2)(1)(jFG例例 )(tf A-/2 0/2 t-/2 0/2 t)(jFA A 0 0 )(1G(A)2/(2)(A)2/(2)0 0 )(G(A)2/(A)2/0 第三章 连续信号的正交分解3.3.非周期信号的脉冲宽度和频带宽度非周期信号的脉冲宽度和频带宽度脉冲宽度脉冲宽度 定义：脉冲中集中了定义：脉冲中集中了9090信号能量的那信号能量的那段时间段时间SB频带宽度频带宽度 )(2tf 0 t)()(12GjF 0 BS 频带宽度频带宽度 定义：集中定义：集中9090信号能量的频带为占有频信号能量的频带为占有频带带sBWdttfdjFSB202)()(1%900Wdttfdttf2222)()(00%90sB第三章 连续信号的正交分解本章小结本章小结一、周期信号的频谱及其特点一、周期信号的频谱及其特点ntjnnTTtjnndteAtfdtetfTA)2(21)()1()(222 离散性、谐波性、收敛性二、非周期信号的频谱密度函数二、非周期信号的频谱密度函数dejFtftj)(21)(dtetfjFtj)()(dtCosjF)()(10三、傅氏变换的性质三、傅氏变换的性质第三章 连续信号的正交分解四、帕色伐尔定理与能量频谱四、帕色伐尔定理与能量频谱dttfW2)(212202222)2(21)2()(1)(nnnnTTAAAdttfTtfPdjF2)(21dG)(121)(21)(jFG五、频带宽度五、频带宽度第三章 连续信号的正交分解作业：3.23、3.24。