北师大版数学必修四：《平面向量应用举例》导学案(含解析)

第8课时　平面向量应用举例1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.2.会用向量知识解决一些物理问题.向量概念有明确的物理背景和几何背景,物理背景是力、速度、加速度等,几何背景是有向线段,可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此,利用向量可以解决一些物理和几何问题,在平面几何中,平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形,而在物理中,受力分析则是其中最基础的知识,那么在本节的学习中,借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用.问题1:利用向量法解决几何问题的一般步骤如何?向量法解决几何问题的“三步曲”.(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,把平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.问题2:向量法可以解决几何中的哪些问题?平面几何中的距离(线段长度)、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得.　　问题3:向量在物理中的应用,其步骤如何?(1)建模:把物理问题转化为　　　　问题; (2)解模:解答得到的数学问题;(3)回答:利用解得的数学答案解释　　　　现象. 问题4:如何应用向量知识解决力学问题和速度问题?应用向量知识解决力学问题,首先要对物体进行正确的　　　　分析,画出受力分析图形,在此基础上转化为向量问题; 应用向量知识解决速度问题,首先要对物体运动的速度进行合理的合成与　　　　,结合运动学原理,转化为数学问题. 1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若++=0,则点O是三角形ABC的(　　).A.重心　　 B.垂心　　 C.内心　　 D.外心2.如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10 N,则每根绳子的拉力大小是(　　).A.5 N B.5 NC.10 N D.10 N3.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=　　　　　. 4.求证:平行四边形对角线互相平分.利用向量证明线段垂直在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点,E是AB上的点,且AE=2BE,求证:AD⊥CE.利用向量证明长度相等如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量法证明PA=EF.向量在物理中的应用如图所示,重力为300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PFCE是矩形,求证:PA⊥EF.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.1.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有(　　).A.a⊥b　　 B.a∥b　　 C.|a|=|b|　　　 D.|a|≠|b|2.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形的形状为(　　).A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形3.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　. 4.一轮船欲横渡某条江,到达起始点的正对面岸边,已知江水流速为3 km/h,船的静水速度为6 km/h.(1)求轮船的航行方向;(2)若江面宽 2 km,求轮船到达对岸所需要的时间.(2010年·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.　　考题变式(我来改编):    答案第8课时　平面向量应用举例知识体系梳理问题3:(1)数学　(3)物理问题4:受力　分解基础学习交流1.A　设AB的中点为D,由已知得=-(+)=-2,即||=2||,故点O是三角形ABC的重心. 2.D　如图,两力相等,夹角为120°,以两力所在向量为边作平行四边形ABCD,则可得它是有一内角为60°的菱形,合力与灯具的重量大小相等、方向相反,故每根绳子的拉力为10 N.3.5　∵F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),∴|F1+F2|==5.4.解:在平行四边形ABCD中,M为对角线AC与BD的交点.设=x,=y(x,y∈R),∵=+,∴=x+x.又=+=+y=+y(-)=(1-y)+y.∵与不共线,由平面向量基本定理知,解得∴=,=.故点M为AC、BD的中点,即平行四边形对角线互相平分.重点难点探究探究一:【解析】(法一)(基向量的方法)·=(+)·(+)=(-)·(+-)=(-)·(+)=-·-.∵BC⊥CA,∴·=0,又BC=CA,∴||=||,∴·=(||2-||2)=0,∴⊥,即AD⊥CE.(法二)(坐标的方法)以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设||=||=a,∴A(a,0),B(0,a),E(,),D(0,),∴=(,),=(-a,).∴·=-+×=-+=0,∴⊥,即AD⊥CE.【小结】使用向量方法证明平面几何问题时,就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达,如证明两条线段垂直,就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零,证明两条直线平行可以使用共线向量定理等.在使用向量知识时,既可以使用基向量的方法,也可以使用坐标的方法.　　探究二:【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<),则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∴||==,||==,∴||=||,∴PA=EF.【小结】用向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,并利用向量的数量积和公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入向量的模的公式即可.　探究三:【解析】如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,所以||=||cos 30°=300×=150(N),||=||sin 30°=300×=150(N),||=||=150(N).即与铅垂线成30°的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°的绳子的拉力是150 N. 【小结】力是向量,几个分力形成的合力符合向量加法的平行四边形法则,在解决与力有关的问题时要注意力的合成与分解.思维拓展应用应用一:(法一)(基向量的方法)设=a,=b,根据已知|a|=|b|且a·b=0.设=λa,则=λ=λ(a+b),=λb,所以=-=λa-(a+λb)=(λ-1)a-λb,=-=λ(a+b)-b=λa+(λ-1)b.所以·=[λa+(λ-1)b]·[(λ-1)a-λb]=(λ2-λ)a2-(λ2-λ)b2=0.所以PA⊥EF.(法二)(坐标的方法)以点D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<),则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),于是=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∵·=(-λ)·(λ-1)+(1-λ)·(-λ)=-λ·(λ-1+1-λ)=-λ×0=0.∴PA⊥EF.　　应用二:设=a,=b,则=a+b.由与共线,因此存在实数m,使得=m(a+b).又由与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).由=+=+ n,得m(a+b)=a+n(b-a).整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量a、b不共线,所以有解得所以=.同理=.于是=.所以AR=RT=TC.　　应用三:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=-99,W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3.(2)W=F·=(F1+F2)·=(9,-1)·(-13,-15)=-102.基础智能检测1.A　f(x)=(x a+b)·(a-x b)=-a·b x2+(|a|2-|b|2)x+a·b,若函数f(x)的图象是一条直线,即其二次项系数为0,∴a·b=0,∴a⊥b.2.B　∵+=0,∴=,∴四边形ABCD为平行四边形,∵·=0,∴⊥,∴对角线垂直,∴四边形为菱形.3.　　作DF⊥AB,设AB=AC=1⇒BC=DE=,∵∠DEB=60°,∴BD=.由∠DBF=45°解得DF=BF=×=,故x=1+,y=.4.解:(1)设江水、船在静水中的速度向量分别为、,如图,以OA、OB为边作平行四边形,则由平行四边形法则知船的横渡江的速度向量为.∵⊥,∴sin∠BOC===,∴∠BOC=30°,∴∠AOB=120°,即轮船的航行方向与江水流速的方向成120°角.(2)由(1)知轮船速度向量为,且||=||cos ∠BOC=6×cos 30°=3,则所求轮船到达对岸所需的时间t== h.全新视角拓展(1)|BC|==4.线段BC的中点坐标为E(0,1).∴2|AE|=2=2.以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长为4,2.(2)=(-2,-1),=(3,5).∵(-t)·=·-t,易求·=-11,=5,由(-t)·=0,得t=-.。