第8-2一维哈尔小波变换

8. 2 一维哈尔小波变换哈尔小波是小波系列中最简单的小波因此本节将从哈尔小波人手，首先介绍如何使 用哈尔小波分解一维函数，然后描述实际的基函数，最后介绍使用哈尔小波分解来压缩数据 的技术8. 2. 1哈尔基函数基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号例如，用基函数的加权和表示最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)o哈尔基函数在1909年提 出，它是由一组分段常值函数(piecewise-constant function)组成的函数集这个函数集定 义在半开区间［0,1)上，每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是“1”,其他地方为“0”, 现以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数如果一幅图像仅由2° = 1个像素组成，这幅图像在整个［0,1)区间中就是一个常值函 数用©Mz)表示这个常值函数，用V0表示由这个常值函数生成的矢量空间，即V% 弗（z）=1 0< jt< 10其他它的波形如图8-13所示图8-13网(工)的波形这个常值函数也叫做框函数(box function),它是构成矢量空间V0的基如果一幅图像由2】=2个像素组成，这幅图像在［0,1］区间中有两个等间隔的子区间: ［0,1/2)和［1/2,1),每一个区间中各有1个常值函数，分别用工)和♦；(］)表示。

用V1 表示由2个子区间中的常值函数生成的矢量空间，即1 0. 5 < z V 10其他V1：夕3 =1 0 < 1 V 0. 5 八廿心 ，"；愆)=0其他它们的波形如图8-14所示做）波形：0 1/2 1祝（X）0 1/2图8-14轼（工）和世（工）的波形I这2个常值函数就是构成矢量空间矿的基如果一幅图像由2，= 22 = 4个像素组成，这幅图像在［0,1）区间中被分成2，=22 = 4个 等间隔的子区间：［0, 1/4）, ［1/4, 1/2）, ［1/2, 3/4）和［3/4, 1）,它们的常值函数分别用 代Cz）,HCz）,代（z）和尊（z）表示，用『表示由4个子区间中的常值函数生成的矢量空 间，即尊（］）=1,0,V 1/4 其他骨（z）=1,0,1/4< jc< 1/2 其他3/4

3和代（*）的波形的基函数也叫做尺度函数（scaling function）,这种函数通常用符号号（z）表不哈尔基函 数定义为族（］）=o V •! < i其他(8-1)哈尔基尺度函数§9）定义为i = 0,1 »(2J — 1)(8-2)H（h） = 8（2,工—i）,其中,j为尺度因子，改变j使函数图形缩小或者放大;2’为平移参数，改变，使函数沿Z轴方 向平移空间矢量V，定义为(8-3)V，= sp｛夕! （x）｝ £ = 0,…，2, 一 1其中，sp表示线性生成（linear span） 0需要注意的是：有些文章使用负整数来定义尺度函数并且使用不同的符号规则因此 在阅读有关小波方面的文章时要注意作者使用的符号规则由于定义了基和矢量空间，就可以把由2,个像素组成的一维图像看成为矢量空间矿 中的一个矢量由于这些矢量都是在单位区间［0,1）上定义的函数，所以在卬矢量空间中 的每一个矢量也包含在W+】矢量空间中这说明矢量空间Vj是嵌套的，即V° U 矿 U …U V｝ u vi+1矢量空间vj的这个性质可写成8.2.2哈尔小波函小波函数通常用加）表示与相函数相对应的小波称为基本的小波函数（Haar wavelet functions）,并由下式定义；1 当 0*1〃寸（工）=< —t 当 （8-4）Io其他哈尔小波尺度函如 S定义为猊（了）二』（2如一z'）, i = 0, （2,一 1） （8-5）用小波函数构成的矢量空间用中表示W」二 sp｛矶Ge）｝ i = 0,l, ・・・，》一1 （8-6）其中,sp表示线性生成;j为尺度因孔改变j使函敬图形制'或者放知为平移参数，改变 携函数新轴方向平移"根据耕小波函数的定义，可以写出生成W。

胛和W等矢量空间的小波函数生成矢量空间V的哈尔小波为• 150 •'1 0 V 1/2报（］）=< —1 1/2<_zV1、0 其他它的波形如图8-16所示生成矢量空间W】的哈尔小波为'1 0 < x < 1/4见(])=< —1 1/4V1V1/2、0 其他1/2 < 工 < 3/4 3/4

哈尔基和哈尔小波分别使用下面两个式子进行规 范化：' 化（工）=2〃2族（2々一 3） （8-9）（x） = 2〃W（2，z — I） （8-10）其中，常数因子2〃2用来满足标准内积（inner product）等于1的条件如果小波函数不是在 [0, 1）区间中定义的函数，常数因子将改变8. 2.4哈尔基的结构使用哈尔基函数化（工）和哈尔小波函数州（工）生成的矢量空间V和W，具有下面的 性质：V>+! = v> @ Wj （8-11）其中，符号“①''表示直和这就是说，在矢量空间V*'中，根据所选择的内积，生成矢信空 间W，的所有函数与生成矢量空间矿的所有函数都是正交的，即子空间W，是子空间V，的 正交补（orthogonal complement） 0式（8-11）表明，在矢量空间V*】中，矢量空间中的小 波可用来表示一个函数在矢量空间V’中不能表示的部分因此，小波可定义为生成矢量空 间的一组线性无关的函数蛆（工）的集合这些基函数具有两个重要性质：（1） 生成矢量空间W｝的基函数0Kx）与生成矢量空间Vj的基函数0!（z）构成矢量空 间V心的一个基2） 生成矢量空间W，的每一个基函数与生成矢量空间V7的每一个基函数 。