单辉祖工力12弯曲变形

第 十 二 章弯 曲 变 形单辉祖：材料力学2第 12 章 弯曲变形 本章主要研究：弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计单辉祖：材料力学3第 12 章 弯曲变形 1 引言 2 梁变形基本方程 3 计算梁位移的积分法4 计算梁位移的叠加法5 简单静不定梁 6 梁的刚度条件与合理设计单辉祖：材料力学41 引 言 弯曲变形特点弯曲变形特点 挠度与转角挠度与转角单辉祖：材料力学5 弯曲弯曲变形特点变形特点 挠曲轴是一条连续、光滑曲线挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴挠曲轴 变弯后的梁轴，称为变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴单辉祖：材料力学6 挠度与转角挠度与转角转角转角挠度挠度挠度与转角的关系挠度与转角的关系（小变形小变形）xwddtan 挠度挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移横截面形心在垂直于梁轴方向的位移)(xww 挠曲轴方程挠曲轴方程转角转角横截面的角位移横截面的角位移)(x 转角方程转角方程 （忽略剪力影响忽略剪力影响）xwdd （rad）单辉祖：材料力学72 梁变形基本方程 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程单辉祖：材料力学8 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程EIxMx)()(1 3/2 21)(1wwx EIxMww)(13/2 2 EIM 1（纯弯纯弯）（推广到非纯弯推广到非纯弯）w弯矩引起的挠度弯矩引起的挠度 s smax s sp挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程单辉祖：材料力学9 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程小变形时小变形时：12 b 时时0 0 11 wx处，处，在在0 22 wlx处，处，在在2121 wwaxx 处，处，在在处，处，在在 21axx 位移边界条件：位移边界条件：位移连续条件：位移连续条件：021 DD)(62221lbEIlFbCC 2211d/dd/d xwxw 2.确定积分常数确定积分常数发生在发生在AC段段1113116DxCxEIlFbw 22232322)(66DxCaxEIFxEIlFbw 0dd11 xw单辉祖：材料力学16例例 3-2 建立挠曲轴建立挠曲轴 微分方程微分方程，写出边界条件，写出边界条件，EI=常数常数2qaFAy 23qaFBy 121122ddxEIqaxw 2222222ddxEIqxw 解：解：1.建立挠曲轴近似微分方程建立挠曲轴近似微分方程AB段段:CB段段:2.边界条件与连续条件边界条件与连续条件0 0 11 wx处，处，在在0 11 wax处，处，在在2121 wwaxx 处，处，在在处，处，在在 21axx 位移边界条件：位移边界条件：位移连续条件：位移连续条件：2211dddd xwxw 单辉祖：材料力学17F=qa例例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状F=qa单辉祖：材料力学184 计算梁位移的叠加法 叠加法叠加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 例题例题单辉祖：材料力学19当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和 叠加法叠加法方法方法q,AF,AAwww 分解载荷分解载荷分别计算位移分别计算位移求位移之和求位移之和)(8343 EIqlEIFl)(33 EIFlwF,A)(84 EIqlwq,A?Aw单辉祖：材料力学20理论依据理论依据)()()(xMxMxMqF )(dd22xMxwEI)()(xwxwwqF 故：)(dd22xMxwEIF)(xwwF )(dd22xMxwEIq)(xwwq 上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形小变形,比例极限内比例极限内）（小变形小变形）叠加法适用条件叠加法适用条件：小变形小变形，比例极限内，比例极限内单辉祖：材料力学21 逐段分析求和法逐段分析求和法 分解梁分解梁 分别计算各梁段分别计算各梁段的变形在需求位移的变形在需求位移处引起的位移处引起的位移awB 1EIlFaaEIlFaw3321 EIFaw332 21www )()(32 alEIFa 求位移之和（代数或矢量和）求位移之和（代数或矢量和）在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体单辉祖：材料力学22 例例 题题例例 4-1 q(x)=q0cos(p px/2l)，利用叠加法求利用叠加法求 wB=?解：解：)3(6)d(d2xlEIxxxqwB xlxEIxlxqd2cos6)-(320 p p xlxxlxEIqwlBd 2)cos-(360 20 p p EIlq4340324)-(2p pp p()()单辉祖：材料力学23例例 4-22 qaFFByAy?ABw FBFBBwwwBy,23623223aaEIaFEIaqa 48134EIqa qABAaw,165244813333EIqaEIqaEIqa ()()解：解：单辉祖：材料力学24例例 4-3解：解：21wwwC awwBB 1FaBFBBwww,2322236523EIFaEIaFaEIFa?CwFaBFBB,22222232EIFaEIaFaEIFa 23137EIFaw 1323EIFaw 13132323337EIFaEIFaEIFawC ()()()单辉祖：材料力学25例例 4-421wwCy awwBB 1)(332 EIFaw)(333t23 EIFaGIlFaEIFlCy 解：解：)(t aGIFalEIFl33 单辉祖：材料力学265 简单静不定梁 静不定度与静不定度与多余约束多余约束 简单静不定梁简单静不定梁分析方法分析方法 例题例题单辉祖：材料力学27 静不定度与静不定度与多余约束多余约束多余约束多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度静不定度 未知未知支反力（力偶）数支反力（力偶）数有效平衡方程数有效平衡方程数静不定度静不定度多余约束数多余约束数4-3=1 度度 静不定静不定5-3=2 度度 静不定静不定单辉祖：材料力学28 简单静不定梁分析方法简单静不定梁分析方法选选 FBy 为为多余力多余力EIlFEIFlwByB348533 0 Bw变形协调条件变形协调条件物理方程物理方程0348533 EIlFEIFlBy补充方程补充方程165FFBy 163 0,/FlMMAA 得得平衡方程平衡方程一度静不定一度静不定1611 0,/FFFyAy 得得算例算例综合考虑三方面综合考虑三方面求梁的支反力求梁的支反力单辉祖：材料力学29 判断梁的静不定度判断梁的静不定度 用多余力用多余力 代替多余约代替多余约束的作用，得束的作用，得受力与原静受力与原静不定梁相同的静定梁不定梁相同的静定梁相相当系统当系统 计算相当系统在多余约计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程协调条件建立补充方程 由补充方程确定多余力由补充方程确定多余力,由平衡方程求其余支反力由平衡方程求其余支反力相当系统相当系统 通过相当系统计算内力、位移与应力等通过相当系统计算内力、位移与应力等依据综合考虑三方面依据综合考虑三方面关键确定多余支反力关键确定多余支反力分析方法与步骤分析方法与步骤相当系统相当系统单辉祖：材料力学30 例例 题题例例 5-1 求支反力求支反力BAM,AM,AF,AA BAM,BM,BF,BB EIlMEIlMEIlblFabBA636)(EIlMEIlMEIlalFabBA366)(0 0 解：解：1.问题分析问题分析2.解静不定解静不定0 0 BA,2222 lbFaM,lFabMBA 3232)2()2(lblFaF,lalFbFByAy 水平反力忽略不水平反力忽略不计计,2多余未知力多余未知力单辉祖：材料力学31例例 5-2 悬臂梁悬臂梁 AB，用短梁，用短梁 DG 加固，试分析加固效果加固，试分析加固效果EIlFFwC48)2(53R 解：解：1.静不定分析静不定分析GCww EIlFEIlFwG243/2)(3R3R 45RFF EIlFEIlFF2448)2(53R3R 单辉祖：材料力学32EIFlEIlFEIFlwB6413485333R3 45RFF 2.加固效果分析（刚度）加固效果分析（刚度）2maxFaM 减少减少 50%减少减少39.9%EIFlwB33,未未加加固固FaM未未加加固固,max3.加固效果分析（强度）加固效果分析（强度）单辉祖：材料力学33例例 5-3 直径为直径为d 的的圆截面梁圆截面梁,支座支座 B 下沉下沉 d d，s smax=?解：解：,B0 EIFlEIlMBB2-2 EIlFEIlMwByBB3-232 236 12lEIM,lEIFBByd dd d zWMmaxmax s sIdlEI/262maxd ds s d d-Bw23ldEd d d d 0 单辉祖：材料力学346 梁的刚度条件与合理设计 梁的刚度条件梁的刚度条件 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计 例题例题单辉祖：材料力学35 梁的刚度条件梁的刚度条件 d dmaxw max最大位移控制指定截面的位移控制 许用用挠挠度度 d d 许用用转转角角 500750 lld d桥式起式起重机梁：梁：100005100003 lld d一般用一般用途轴：轴：例如滑动轴承处例如滑动轴承处 d dw rad 001.0 单辉祖：材料力学36 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计 横截面形状的合理选择横截面形状的合理选择 材料的合理选择材料的合理选择使用较小的截面面积使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩，获得较大惯性矩 I 的截面形的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是影响梁刚度的力学性能是 E，为提高刚度，宜选用，为提高刚度，宜选用E 较高的材料较高的材料GPa 220)(200 E钢钢与与合合金金钢钢：注意：注意：各种钢材（或各种铝合金）的各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同基本相同GPa 72)(70 E金金：合合铝铝单辉祖：材料力学37 梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致挠度显著改变跨度微小改变，将导致挠度显著改变3max l d dEIFl33max d dEIFl483max d dFlM max4maxFlM lM max 例如例如 l 缩短缩短 20，d dmax 将将减少减少 48.8%单辉祖：材料力学38 合理安排约束与合理安排约束与加载方式加载方式%758max1max2.,d dd dmax1,d dmax2,d dmax1,d dmax2,d d%5.26max,1max,2 d dd dq=F/l增加约束，制作成静不定梁增加约束，制作成静不定梁单辉祖：材料力学39 例题例题例例 6-1 已知已知 F=35 kN，l =4 m，s s =160 MPa，d d =l/500，E=200 GPa，试选择工字钢型号试选择工字钢型号。

解：解：4maxFlM maxs sMWz 34m 10192 .WzzEIFl483max d dzEIFll482max d dEFlIz485002 45-34-m 103.40 m 103.09 No22a zzIW，选选 4s sFl 500l 45m 10922 .单辉祖：材料力学40谢谢！。