《二次函数中考》word版.doc

25.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1） 求此抛物线的函数表达式；（2） 求证：∠BEF=∠AOE；（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.25.解：（1） 如答图①， ∵A （-2， 0） B （0， 2）∴OA=OB=2 ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2， 即C （0， 2）又∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点 则可得解得：∴抛物线的表达式为y=-x2-x+2（2） ∵OA=OB ∠AOB=90 ∴∠BAO=∠ABO=45又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45+∠AOE∠BEO=∠OEF+∠BEF=45+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE（3） 当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45在△EOF中， ∠EOF=180-∠OEF-∠OFE=180-45-45=90又∵∠AOB＝90则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立.②如答图②， 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45在△EOF中，∠EFO=180-∠OEF-∠EOF=180-45-45=90∴∠AOF+∠EFO=90+90=180∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=2＝1 ∴ E(-1， 1)③如答图③， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H 在△AOE和△BEF中，∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2∵EH⊥OB ∴∠EHB=90∴∠AOB=∠EHB ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45 ∴EH=BH=BEcos45=2=∴OH=OB-BH=2- 2∴ E(-， 2-)综上所述， 当△EOF为等腰三角形时， 所求E点坐标为E(-1， 1)或E(-， 2- 2)（4） P(0， 2)或P （-1， 2 ）26.如图15，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-,0)、B(,0)、C(0,3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。

设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）26、(1) (2) ;;;(3)如图，做EF⊥l于点F，由题意易证明△PMD ≌△EMD，△CME ≌△DNE ∴PM=EM=EN=2DN，由题意DF=1，EF=，NF=1-DN 在Rt△EFN中 ∴解得 ∴ ∴26．如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．　解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+4；（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形，又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90﹣∠OAB=45，即△ADG为等腰直角三角形，∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，∴D（2，6）；（3）存在．由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），将D（2，6）代入，得a=﹣，所以，抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），由（2）可知，∠B=45，则∠CFE=∠BFP=45，C（2，2），设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，①当∠ECF=∠BPF=90时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，将E（x，x）代入抛物线y=﹣x（x﹣4）中，得x=﹣x（x﹣4），解得x=0或，即P（，0），②当∠CEF=∠BPF=90时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=﹣x（x﹣4）中，得2=﹣x（x﹣4），解得x=或，即P（，0），所以，P（，0）或（，0）．26.如图，抛物线交y轴于点C，直线 l为抛物线的对称轴，点P在第 三象限且为抛物线的顶点.P到x轴的距离为，到y轴的距离为1.点C关于直线 l的对称点为A，连接AC交直线 l于B. （1）求抛物线的表达式； （2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F,连接BD交y轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.第26题图26.解：（1）∵抛物线交y轴于点C∴ C（0，-3）则 OC=3 ……………1分∵P到x轴的距离为，P到y轴的距离是1 且在第三象限∴P（-1，-） ……………2分∵C关于直线l的对称点为A∴A（-2，-3） ……………3分将点A（-2，-3），P（-1，-）代入有解得 ………………………5分∴抛物线的表达式为 ………………………6分（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90∵∠DEG=∠BEC∴△DEG∽△BEC∵DE:BE=4:1∴ 则DG=4 ………………………7分将x=4代入，得y=5则 D（4,5） ………………………8分∵过点D（4,5）∴ 则 m=2 ………………………9分∴所求直线的表达式为 ………………………10分（3）存在 M1 M2 M3 M4………………………14分26.已知抛物线 与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且．（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.求：①s与t之间的函数关系式； ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.yABCDEFOxyxOBAPC 图1图2第26题图GD1E1F1O1HABCDEFOxy26.解:（1）∵ A（-1,0）, ∴C（0,-3） ………1′∵抛物线经过A（-1,0）, C（0,-3） ∴∴ ∴y=x2－2x－3 …………………3′（2）直线BC的函数表达式为y=x－3 …………………5′（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），根据题意得： -2=m-3，∴m=1 …………………6′①当0＜t≤1时 S1=2t …………………7′ 当1＜t≤2时S2= － =2t－ =－ …………………9′②当t =2秒时，S有最大值，最大值为 ……………10′（4）M 1（－，） M2（，） M3（，） M4（， ）………………14′ 22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（2） 解：（1）由抛物线过点，，则　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 ………………………2分 解这个方程组，得 ．　　　　　　∴二次函数的关系表达式为． ………………………１分 （2）设点P坐标为，则． 连接，作轴于M，轴于N． ，，． 当时，，所以．　　 ………………………１分　　　　　　 ………………………2分 ∵＜0， ∴函数有最大值． ………………………1分 当时，有最大值． 此时 存在点，使的面积最大． ……………………1分 （3）点．　　　　 ……………………4分 （4）点． ……………………4分 （5）点 ……………………4分26．（14分）（2012•营口）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60，与直线y=﹣x交于点N．在直线DN上是否存在点M，使��∠MON=75．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=﹣x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．　解答：（1） ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4）．（2）由旋转得∠EDF=60，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60，DE=4，∴EF=DEtan60=4．∴OF=OE+EF=1+4．∴F点的坐标为（，0）．设过点D、F的直线解析式是y=κx+b，把D（﹣1，4），F（，0）代入求得 ．分两种情况：①当点M在射线ND上时，∵∠MON=75，∠BON=45，∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30．∴∠MOC=60．∴直线OM的解析式为y=x．∴点M的坐标为方程组．的解，解方程组得，．∴点M的坐标为（，）．②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75理由：∵∠MON=75，∠FON=45，∴∠FOM=∠MON﹣∠FON=30．∵∠DFE=30，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，综上所述，存在点M，且点M的坐标为（，）．（3）有两种情况①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90．如图2，∵∠OBP=∠AOB=90，∴PB∥OA．所以点P、B的纵坐标相同都是3．因为点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，把y=3代入抛物线的解析式中得x1=0（舍去），x2=﹣2．由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，都等于﹣2．把x=﹣2代入y=﹣x得y=2．所以Q点的坐标为（﹣2，2）．②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90．如图3，∵D（﹣1，4），B（0，3），∴DB∥OQ．∵PB∥OQ，点P在抛物线上，∴点P、D重合．∴∠EDF=∠EFD=45．∴EF=ED=4．∴OF=OE+EF=5．作QH⊥x轴于H，∵∠QOF=∠QFO=45，∴OQ=FQ．∴OH=OF=．∴Q点的横坐标﹣．∵Q点在y=﹣x上，∴把x=﹣代入y=﹣x得y=．∴Q点的坐标为（﹣，）．综上，符合条件的点Q有两个，坐标分别为：（﹣2，2），（﹣，）．26．（14分）（2012•铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．解答：解：（1）∴m=3∴设抛物线的解析式为．（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴，若S△ADP=S△ADC，∵，，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，1），∴OC=1，∴，即或，解得：．∴点P的坐标为 ．（3）∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1．∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=，∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．26．（14分）（2012•朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，则：OC==4，∴C（4，0）．（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x﹣4），代入点A的坐标，得：a（0+1）（0﹣4）=2，a=﹣∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，对称轴 x=．（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：4k+2=0，k=﹣∴直线AC：y=﹣x+2；过点P作PQ⊥x轴，交直线AC于Q，设P（m，﹣m2+m+2）、Q（m，﹣m+2），则：PQ=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m；S=PQ•OC=（﹣m2+2m）4=﹣m2+4m；∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．（4）依题意，设M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：MP2=b2﹣6b+、MC2=b2+、PC2=13；当MP=MC时，b2﹣6b+=b2+，解得 b=；当MP=PC时，b2﹣6b+=13，解得 b=；当MC=PC时，b2+=13，解得 b=；综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （，）、（，）、（，）、（，）、（，﹣）．。