三线摆测量转动惯量

实验名称 : 用三线摆测刚体的转动惯量实验目的:1、学会用三线摆测定物体圆环的转动惯量；2、学会用累积放大法测量周期运动的周期；3、学习运用表格法处理原始数据，进一步学习和巩固完整地表示测量结果4、学会定量的分析误差和讨论实验结果实验一 测量系统转动惯量装置如下图:R ,r为大小圆盘的半径,h为三线摆在摆动中相对于平衡位置上升的距离，a为摆动的角度 由能量守恒势能 Epghd a 1 dh( )2 + m ( )2dt 21E = Ik 2 0 则有机械能守恒1 d a 1—I ( )2 + — m2 0 dt 2 0 dt 0但是由于 转动动能远大于上下运动动能 所以忽略转动动能远大于上下运动动能 进而有1I (2 0 dt动能0 dtdh( )2 + m0 dtgh =常量)2 + m gh = 常 量0由于 lsin 2——L 2 JL 2丿摆角 a 很小时，故有d 2a m gRr=— o adt 2 I H0此为简谐振动方程，有频率方程m gRrw 2 = o IH0由周期T=0w解得 Im gRr ( T■0实验二 测量圆环的转动惯量加上未知转动惯量的圆环后测出此时系统转动惯量为(m + m ) gRr-0 1-4兀2 hi-IN1丿与未加圆环之前的系统转动惯量相差，得到圆环的转动惯量t gRrI = [(m + m )01实验三 验证平行轴定理有公式I = I + md2ac放上两个铁块，先将两个铁块放在中心，然后调整两铁块的间隔，测量不同距离时的转动惯量。

记录，作 线性回归验证平行轴定理实验记录实验仪器及规格游标卡尺 1 0.02mm 游标卡尺 2 0.02mm 秒表钢尺 量程 60cm 最小分度 0.1cm 最大允差 0.1mm气泡水平计三线摆铁块200g/个实验一下圆盘质量 m 0 = 357.8 g下圆盘半径 R由已知的悬线在下圆盘的节点构成的等边三角形边长a=173.36mm,可知R =3a = 100.09 m m上圆盘直径d 测量仪器游标卡尺精度0.02mm测量次数123上圆盘直径cm9.9809.9789.980测量次数12345上下圆盘的距离cm50.7050.8550.60周期T0每N = 50= 计时一次0测量次数12345T /S01'14''461'14''391'14''611'14''48数据处理1 上圆盘直径 dd =9.979cm标准差b = 0.001 cmA类不确定度为Uat0.95b 二 4.30 x 二 0.002 cmP> 0.95B类不确定度为U bk0.95A 0.002b = 1.96 x 二 0.002 cmCP> 0.95误差合成P> 0.95P > 0.95d = （9.979 土 0.003 ） cm测量结果2 上下圆盘的距离 HH =50.72cm标准差b = 0.12 cmA类不确定度为Ut0.95b = 4.30 x = 0.30 cmP> 0.95B类不确定度为U bk0.95A 0.01b = 1.96 x = 0.01 cmC3P> 0.95误差合成 U H2 + U 2 = 0.30 cma bP> 0.95H =（50.72 土 0.30 ） cm测量结果P > 0.953时间测量T =74.48s标准差b = 0.09 sA类不确定度为Ua = t0.95b 0.09=3.18 x = 0.14 snP> 0.95B类不确定度为U bk0.95A 0.2b = 1.96 x = 0.13 sC3P> 0.95误差合成 U T2 + U 2 = 0.19 sa bP> 0.95T =(74.48 土 0.19 ) sP> 0.95测量结果4 下圆盘半径 R由已知的悬线在下圆盘的节点构成的等边二角形边长a=173.36mm,可知R = a = 100.09 mm3由数值小数点尾数，推测此数据是由精度为0.02mm的游标卡尺测定的•所以估计误差为b = + 0.002 cmR = (10.009 土 0.002) cm所以定5关于下盘的质量估计由已知的下盘质量m0 = 357.8 g推测此数据是由天平测量得到的•天平的最大允差为0.2g.m = (357.8 土 0.2) g所以定 06 结果的处理m gRrI = -0 (t \―2 m gRd=―0 (T、0 4 冗 2 hN8冗2 HNJ 0丿J 0丿=1.940 x 10 -3 kg .m2误差处理采用误差均分法先对公式取对数In I = In m + In g + In R + In d + 2 ln T 一 In 8 兀 2 一 In H 一 2 ln N0 0 0 0 求全微分AI A m AR A d A T AH―o = o + + + 2 I m R d T H00求平方和 0= 0+I 10 ；(m 0丿J R丿代入数据(AI 丫 ( A m 丫 ( A R ¥++2一+J d丿JTrJ H丿(A d ¥ ( A T ¥ ( A H ¥得 A I = 0.012 x 10 一 3 kg .m 2 0最终结果 I = (1.940 土 0.012) x 10 - 3 kg .m 2 丄=0.6 5%0I0实验二先理论计算圆环的转动惯量圆环质量 m1=398.20g圆环外径 D' 测量仪器 游标卡尺 精度 0.02mm测量次数1234圆环外径D' cm18.94019.00818.99019.002圆环内径 d' 测量仪器 游标卡尺 精度 0.02mm测量次数1234内径d' cm16.95216.97216.98616.9841I = m (d '2 + D '2)8实验测量周期T由gD r8兀2 H[(m o1每N = 50计时一次1测量次数12345T /S01'24''111'24''261'24''27/ T ) 2+ m ) -l 1NI N i丿得到圆环转动惯量数据处理外径 D ' D = 18.985 cm内径d' d' = 16.9 7c3m计算圆环理论转动惯量1I = m (d '2 + D '2) = 3.2264 x 10 -3 kg .m2理 论 8时间测量T 1=84.21s标准差b = 0.09 sA 类不确定度为=t0.95V'n3.180.09亍= 0.14 sP > 0.95B类不确定度为U 误差合成UT =A 0.2b = 1.96 x —3= 0.19 s0.13 sP > 0.95P> 0.95T = （84.21 土 0.19 ） s测量结果 1最终结果P> 0.95测量gRd8兀2 H[(m厂T ) 2+ m ) -1-1NI N1丿-m(T―0-〔N' 03.301x10-3kg.m2误差I — I=3.2264 x 10 -3 — 3.301 x 10 -3理论 测量I3.2264 x 10 -3理论=2.31%实验三两个物块的质量 m' = 20 0个每N = 50个周期计时一次3物块间距0 cm2 cm4 cm6 cm8 cm时间 T152''3754''471'00''191'08''811'19''25时间 T252''5054''391'00''101'08''661'19''49时间 T352''3054''401'00''151'08''601'19''37时间品均值s52.3954.4260.1466768.7566779.37转动惯量kg .m20.00203350.0021940.0026800.0035030.004667B—Lin ear Fit of Datal Br /J 0.0050 11/kgm0.0045 -0.0040 -0.0035 -0.0030 -0.0025 -0.0020 -做出I -d2图像X[2008/10/14 13:11 "/Graphl" (2454753)]Linear Regression for Data1_B: 丫 = A + B * XParameter Value ErrorA 0.00203 4.51093E-6B 0.41161 0.00134-0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007d2 / m2可见，I d 2,可知I = I + md 2成立.，即验证了平行轴定理. a0讨论试验 1摆角较大的结果讨论初始摆角 90°每N = 50个周期计时一次4测量次数123T /S01'21''391'21''501'21''45平均值T 5 = 81.45 sT = (74.48 土 0.19 ) s比较试验一中的数据 0有 5 0这是因为在近似计算Sin (9 ) 时有角度限制下表在 10 °以内角度值9 °0246810弧度值rad00.0349070.0698130.104720.139626340.174532925Sin (9)00.0348990.0697560.1045280.1391731010.173648178超出 10°角度值9 °0.3490660.6981321.0471975511.3962631.570796弧度值rad2040608090Sin (9)0.342020.6427880.8660254040.9848081可见在10°内Sin (9 ) ^9大致成立.但是，超出10°后，Sin (9 )与9的弧度值差距越来越大.所以，在计算周 期时,只能在小角度内近似计算.当到达角度时就要采用更精确得计算方式和近似公式.在考虑了下圆盘厚度的情况下•计算公式变为I =08兀 2(H + h /2)讨论试验 2测量次数123平均值圆盘厚度h cm0.3940.3960.4000.397在考虑原盘厚度的情况下的测量m gRd 0/ T ) 20-I = 1.933 x 10 -3 kg .m2 0代入数据后得到与为计算盘厚度时的数值10 =（1-940 士 °-012）x 10 -3 kg 2比较I — I —[ 0I1.940 — 1.933= q 3.6 x 10 -31.9330所以盘的厚度的影响可以忽略.思考题1 摆角大小对试验有无影响 ?若有影响能否修正 ?答：有影响。

讨论试验 1 已经讨论了可以做一个对应修正表来进行修正2 三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅减小，他的周期如何变化？观察试验，说出理论依据 答：周期增大因为假设空气的阻力与角速度成正比.则有19 ” = - M 9 - k 9'由试验观察,知道,不可能为过阻尼或临界阻尼振动,所以考虑为欠阻尼振动.解得9 = A e -WCos （① t + 0 ）0 f 0其中卩=2- , , . = g「-卩2 =汁）2 T 2，A0，0 0为待定常数.可以发现,角频率变小,所以周期变大.3 加上待测物体后，三线摆周期是否一定比空盘周期大？为什么？ 答：不一定041 冗 2 HgRr4 冗 2 H .—,与成正比.因为有公式0可以知道m gRr0T =（74.48 士 0.19 ） s从实验数据看:空盘的周期T = （84.21 士 0.19 ） s放上圆环的周期 1T = 52.39s放上物块于正中的周期 2明显看出T2 < T < T，所以周期不仅仅与质量有关.4 分析复摆法与扭摆法测转动惯量时产生误差的原因是什么？ 答：扭摆法产生误差的原因是钢丝的扭转产生误差以及空气阻力；复摆法产生误差的原因是大角度的摆动 周期测量的不准，空气的阻尼。