直线与圆方程的应用v2.0

与圆有关的最值问题1、如果实数满足等式，（1）求的最大值和最小值;（2）求的最大值与最小值；（3）求的最大值与最小值.【分析】如图示：,考虑代数式的几何意义:⑴即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即取得最大值与最小值；⑵即过圆上点，且斜率为的直线在轴上截距；⑶即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与轴的右交点时，点到原点的距离最大.【解答】（1）设为圆上一点.的几何意义为直线的斜率，设，则直线的方程为.当直线与圆相切时，斜率取最大值与最小值.∵圆心到直线的距离，∴当，即时，直线与圆相切.∴的最大值为，最小值为.（2）令，即，求的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值与最小值.当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线的距离∴当，即时，直线与圆相切.∴的最大值为，最小值为.（3）要的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值.当点位于圆与轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与轴的右交点时，点到原点的距离最大；∵左交点坐标为，右交点坐标为∴的最大值与最小值分别为，∴的最大值与最小值分别为，.【评注】涉及圆有关的最值问题，可借助图形特征，利用数形结合求解，一般地，形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如形式的最值问题，可转化为直线截距的问题。

2、已知圆：，直线：．(1)求证：直线恒过定点．(2)判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时的值以及最短长度．【分析】(1) 把曲线系方程化为的形式，要过定点，当且仅当，解之得定点的坐标.(2)如图下图示，显然过D点的最长弦就是直径；根据相交弦定理，有，由基本不等式，有，“=”当且仅当时成立，即当D为AE中点时，弦AE最短，此时.【解答】如图示：，(1)直线的方程经整理得 由于的任意性，于是有 解此方程组，得．即直线恒过定点．(2)当直线l过圆心时，此时弦最长，最长弦为直径；下面证明当时，过D点的弦最短：根据相交弦定理，有，由基本不等式，有，等号当且仅当时成立，故当时，过D点的弦最短由，，可知直线的斜率为，所以当直线被圆截得弦最短时，直线的斜率为2，于是有，解得．此时直线的方程为，即．又．所以，最短弦长为直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是4.与直线有关的最值问题1、已知两定点，，动点P在直线上，当＋ 取最小值时，这个最小值为（ ）.A． B． C． D．【分析】先求出点关于直线的对称点，连接和B交直线于点P，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时＋取值最小，最小值为.根据两点间的距离公式即可求得最小值。

解答】如图示：，设点关于直线的对称点为，则解得即即＋的最小值为.2、已知点、，点是轴上的点，求当最小时的点的坐标．【分析】先求出点B关于轴的对称点，连接点A和点交x轴于P点，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时取值最小，最小值为，点的坐标即为与轴交点解答】如图示：，点B关于轴的对称点为，：与轴交点为 即为所求.直线与圆方程的实际应用1、一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 处，受影响的范围是半径长的圆形区域．已知港口位于台风正北处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【分析】如图示，根据题意可知，若点O到直线l的距离小于30km，那么轮船会受到台风的影响；若点O到直线的距离大于30km，那么轮船不受台风的影响根据点到直线的距离可知，点O到直线的距离为，故轮船不受台风影响解答】如图示：，轮船航线所在直线的方程为，即.圆心到直线的距离，这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向2、△ABC中，斜边为，以的中点为圆心，作半径为的圆，分别交于两点，求证：为定值．【分析】建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题.写出、、、的坐标及设，从而得出、、的坐标，最后代入即可得证。

解答】如图示：，以为原点，分别以直线为轴，建立直角坐标系于是有，，，．设，由已知，点在圆上．（定值）． 。