2022年高三上学期第四次月考（期中）数学（理）试题 Word版含答案
2022年高三上学期第四次月考（期中）数学（理）试题 Word版含答案一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1、设集合A＝{x|}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（ B ） A． B． C．[0，＋∞） D．{（－2，4），（2，4）}2、“0 设是首项为，公差为的等差数列，若所有正三角形顶点在第一象限，且均落在抛物线上，则的值为 1 .16、 已知函数R, ，若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 则= 解: 由, 得, 化为.令, 则.令, 得.当时, ; 当时, .∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.∴当时, 函数取得最大值, 其值为. 而函数,当时, 函数取得最小值, 其值为. ∴ 当,即时, 方程只有一个根. 三、解答题（共6题，共80分需在答题卡对应位置写出必要的解题步骤和推演过程）17、在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，若=(,）, ,且.（Ⅰ）求角A的度数；（Ⅱ）当，且△ABC的面积时，求边的值和△ABC的面积解】：（I）由于，所以 . 所以或1（舍去）， 即角A的度数为 .....................................6分 （II）由及余弦定理得：， ∴ 又由正弦定理得， 所以的面积。 .....................................12分ABCDP18、（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，且，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值解析】：（Ⅰ）证明：取的中点，连接． ∵，四边形为菱形，且， ∴和为两个全等的等边三角形， 则 ∴平面，又平面， ∴； .....................................6分（Ⅱ）解：在中，由已知得，，， 则，∴， 即，又，∴平面； 以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，ABCDPEzyx 建立如图所示空间直角坐标系， 则E（0,0,0）， C（－2, ,0），D（－1,0,0），P（0,0, ）， 则＝（1,0, ），＝（－1, ,0）， 由题意可设平面的一个法向量为； 设平面的一个法向量为， 由已知得：令y＝1，则，z＝－1， ∴； 则，所以， 由题意知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． .....................................12分19、已知数列为等差数列，，其前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立.（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在，使得成立，若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由. 【解】（1）法1：设数列的公差为，数列的公比为。 因为 令分别得，，，又 所以即 得或 经检验符合题意，不合题意，舍去 所以. ....................................6分 法2：因为 ① 对任意的恒成立 则（） ② ①②得 又，也符合上式，所以 由于为等差数列，令，则， 因为等比数列，则（为常数） 即恒成立 所以，又，所以， 故 ． .....................................6分 （2）假设存在满足条件，因为 则 ， 化简得， 由 得为奇数， 所以为奇数，故 得 ， 故 故 ， .....................................12分20、（本小题满分13分）如图，、为椭圆的左、右焦点，、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，．若在椭圆上，则点称为点的一个“好点”．直线与椭圆交于、两点， 、两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．【解析】（Ⅰ）由题意得，故，． ， 故，即，所以， 故：． .....................................4分 （Ⅱ）设、，则、． ①当直线的斜率不存在时，即，， 由以为直径的圆经过坐标原点可得， 即，解得， 又点在椭圆上，所以，解得， 所以． .....................................6分 ②当直线的斜率存在时，设其方程为． 由，消得， 由根与系数的关系可得， 由以为直径的圆经过坐标原点可得，即， 即． 故 整理得，即． 所以． 而 故 而点到直线的距离， 所以 ． 综合①②可知的面积为定值1． .....................................12分21.（本小题满分12分）已知函数在处的切线与直线垂直，函数．(1)求实数的值；(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，若，求的最小值．【解析】（1）∵，∴. ∵与直线垂直，∴， ∴ ......................................2分 （2） 由题知在上有解， 设，则， 所以只需 故b的取值范围是. .....................................6分 （3）， 所以令 所以设 ，所以在单调递减， ， 故所求的最小值是 .....................................12分22、（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED．（1）证明：CD∥AB；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．解析：证明：（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD． 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA， 故∠ECD＝∠EBA．所以CD∥AB． （2）由（1）知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 从而∠FED＝∠GEC． 连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE． 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA， 所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F四点共圆．23、（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线的参数方程是，直线的参数方程为，（1）求曲线与直线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值。 解析：（1）由得， 得，曲线的普通方程为：； 由得代入得， 所以直线的普通方程为． (2) 圆心到直线的距离为， 所以由勾股定理得， 解之得，或．24、（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》已知、、c为正数，（1）若直线2x－(b－3)y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．解：（1）由已知，有： 即： 、为正数， 当且仅当时取等号，此时： 故 当时，的最小值是25．（2） 、、c为正数， 。
