2010年北京西城区高考一模试题：数学（理）

北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科） 本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷1至2页，第II卷3至5页，共150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回第I卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．设集合，，则下列结论正确的是 A． B． C． D．2．函数的最小值和最小正周期分别是 A． B． C． D．3．设等差数列的前项和为，则等于 A．10 B．12 C．15 D．304．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 A． B． C． D．5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 A． B． C． D．6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为 A．12 B．16 C．24 D．327．已知平面区域，向区域内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为 A． B． C． D．8．如图，平面平面，=直线，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线，M，N分别是线段AB，CD的中点。

下列判断正确的是 A．当时，M，N两点不可能重合 B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与不可能相交 C．当AB与CD相交，直线AC平行于时，直线BD可以与相交 D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与平行第II卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．若，其中，i为虚数单位，则 10．已知，，、的夹角为60，则 11．将极坐标方程化成直角坐标方程为 12．如图，切于点，割线经过圆心，弦于点已知的半径为3，，则 13．已知双曲线的左顶点为，右焦点为 ，为双曲线右支上一点，则最小值为 14．设函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数 如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是 如果定义域为R的函数是奇函数，当时，，且为R上的4高调函数，那么实数的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15．(本小题满分12分) 已知为锐角，且 (I)求的值； (II)求的值 16．（本小题满分13） 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（I）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（II）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（III）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望17．（本小题满分14分） 在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90,，. （I）求证：平面； （II）求证：平面； （III）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45.18．（本小题满分14分） 椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为． （I）求椭圆的方程； （II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．19．（本小题满分14分） 已知函数，其中，其中（I）求函数的零点； （II）讨论在区间上的单调性； （III）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分） 对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”． 不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”． （I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”； （II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由； （III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”． 参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．3 10． 11． 12． 13．－214．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15．解：（I）………………………………2分 所以 所以…………………………………………………5分 （II） ………………8分因为，所以，又所以， ……………………………………10分又为锐角，所以，所以……………………………………12分16．解：设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知 （I）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则…………………………2分 …………………………………………3分 （II）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则………………………………………5分…6分 （III）X的可能取值为1，2，3，4 ………………………………7分 ………………………………8分………………………………9分……………………10分 …………………………11分所以，X的分布列为X1234P …………………………12分 …………………………13分17．解：（I）取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，所以EF//CD，且在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE//AF， ……………………………………………………2分BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE//平面PAD. ………………………………………………4分 （II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD. …………………………………………………………3分如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz.则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）. ……………………………………6分所以…………8分又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PBD.………………………9分 （III）平面PBD的法向量为……10分所以，……………………11分设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），，由n，n，得 所以，所以n= ……………………12分所以 ………………13分注意到，得 ………………14分18．解：（I）由已知 ………………3分又，解得所以椭圆C的方程为 ………………………………5分 （II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设联立，，消去y得，…………6分，令，解得 ………………………………………………7分设E、F两点的坐标分别为， （i）当∠EOF为直角时，则，…………………………8分因为∠EOF为直角，所以，即，………………9分所以，所以，解得 ………………11分 （ii）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，此时，，所以，即……①…………12分又…………②将①代入②，消去x1得解得或（舍去），……………………13分将代入①，得 所以，………………14分经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和19．解：（1）解，得所以函数的零点为－a.………………2分 （2）函数在区域（－∞，0）上有意义，，…………5分令因为 …………7分当x在定义域上变化时，的变化情况如下：（）+-所以在区间上是增函数， …………8分在区间是减函数. …………9分 （III）在区间上存在最小值 …………10分证明：由（I）知-a是函数的零点，因为所以 …………11分由知，当时， …………12分又函数在上是减函数，且所以函数在区间上的最小值为且 …………13分所以函数在区间上的最小值为计算得 …………14分20．解：（I）当时， …………1分 …………2分又 …………3分所以是完全平方数，数列具有“P性质” …………4分 （II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”， …………5分数列为3，2，1，5，4 …………6分数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………7分因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数 所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………8分 （III）设注意到令由于，所以又所以即 …………10分因为当时，数列具有“变换P性质”所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成使得都是平方数 …………11分另外，可以按相反顺序排列，即排列为使得 …………12分所以1，2，可以排列成满足都是平方数.即当时，数列A也具有“变换P性质”…………13分。