江西省南昌三中高三第七次考试理科数学试题及答案
江西省南昌三中2014届高三第七次考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．集合，则＝（ ）A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5}2．若函数，则该函数在上是（ ）A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值3．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．设则下列不等式成立的是( ) A． B． C． D．5．“数列为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．6．已知函数内是减函数，则（ ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－17．M是正方体的棱的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.其中真命题是（ ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 8．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝209．已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )A．3 B． C．2 D．10．设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。
若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分.11．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：.则它们相交所得弦长等于 .(2)（不等式选做题）已知函数f (x)＝|x－2|－|x－5|，则不等式f (x)≥x2－8x＋15的解集为 ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分12．复数z=(i为复数的虚数单位)的模等于 ．13．掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小于正面次数的概率是 ．14．语句：S=0i=1DoS=S+ii=i+2Loop while S≤200n=i－2Output n 则正整数n= .15．在平面直角坐标系中，设点，其中O为坐标原点，对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P为直线上任意一点，则[OP]的最小值为1； ③设P为直线上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“”. 其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且= 6 , 与的夹角为.(1) 求的范围;(2)求函数= 的最大值.17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为（元）.（1）求的分布列；（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，当E、F分别在线段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直. （1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论； （2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60？19．（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足：（正常数），.（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，数列的前n项和为, 求证：．20．（本小题满分13分）已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点. （1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求ABC重心G的轨迹方程；（2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求cos的值及PF1F2的面积.21．（本小题满分14分）已知函数(常数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）. 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．集合，则＝（ D ）A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5}2．若函数，则该函数在上是（ A ）A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值3．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象( B )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．设则下列不等式成立的是( D ) A． B． C． D．5．“数列为递增数列”的一个充分不必要条件是（ D ）A． B． C． D．6．已知函数内是减函数，则（ B ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－17．M是正方体的棱的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.其中真命题是（ C ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 8．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( A )A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝209．已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为 ( C )A．3 B． C．2 D．10．设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ A ） A． B． C． D．二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。
若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分.11．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：.则它们相交所得弦长等于 3 .(2)（不等式选做题）已知函数f (x)＝|x－2|－|x－5|，则不等式f (x)≥x2－8x＋15的解集为 {x|5－≤x≤6} ． f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分12．复数z=(i为复数的虚数单位)的模等于 ．13．掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小于正面次数的概率是 ．14．语句：S=0i=1DoS=S+ii=i+2Loop while S≤200n=i－2Output n 则正整数n= 29 .15．在平面直角坐标系中，设点，其中O为坐标原点，对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P为直线上任意一点，则[OP]的最小值为1； ③设P为直线上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“”. 其中正确的结论有 ①③ （填上你认为正确的所有结论的序号）.三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且= 6 , 与的夹角为.(1) 求的范围;(2)求函数= 的最大值.解：（1）∵∴S=3. ∴。
2）上递增，∴.17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为（元）.（1）求的分布列；（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.解：（1）的所有可能取值为2450,1450,450，－550 , ，分布列为 24501450450－550P （2） ＝1850（元）） …（9分）设小李不出资50元增加1张奖券,消费的实际支出为（元）则,∴∴, 故小王出资50元增加1张奖券划算.…（12分）18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，当E、F分别在线段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直. （1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论； （2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60？解：（1）、是异面直线， （1分） （反证法）假设、共面为． ,,,,． ,又． 这与为梯形矛盾．故假设不成立．即、是异面直线． …6分 （2）延长CD,FE相交于N，由已知设则△NDE中，， ，平面平面, 平面．过E作于H，连结AH， 则．是二面角的平面角， 则． ,,, 此时在△EFC中，．又平面, 是直线与平面所成的角, ． 即当直线与平面所成角的正切值为时，二面角的大小为。
19．（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足：（正常数），.（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，数列的前n项和为, 求证：．解：（1）, ∴ ……….1分当时， 两式相减得：， , 即是等比数列．∴；…4分（2）由（1）知, ,，若为等比数列，则有 而 ，, ……6分故，解得， ……………………7分再将代入得成立，所以． …………8分（3）证明：由（2）知，所以… 10分所以………12分20．（本小题满分13分）已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点. （1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求ABC重心G的轨迹方程；（2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求cos的值及PF1F2的面积.解：（1）设重心G(x,y)，则 整理得将(*)式代入y2=4x中，得(y+1)2= ∴重心G的轨迹方程为(y+1)2=.…6分(2) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2(1,0)，∴b2=8，椭圆方程为.设P(x1,y1) 由得，∴x1=，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1.设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则︱PF2︱=︱PN︱.又︱PN︱=x1+1=,∴.过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα=在Rt△PP1F2中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=。
∵x1=,∴∣PP1∣=,∴.…13分21．（本小题满分14分）已知函数(常数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.解:（1）当 时，，. .…3分又，∴曲线在点处的切线方程为．…4分 （3），所以.因为，，于是当时，，当时，.所以在上是增函数，在上是减函数. …7分所以 …8分讨论函数的零点情况如下．①，即时，函数无零点，在上也无零点；…9分②当，即时，函数在内有唯一零点，而 ，∴在内有一个零点；……10分③当，即时，由于， ，当时，即时，，，由单调性可知，函数 在内有唯一零点、在内有唯一零点满足，在内有两个零点； …11分当时，即时，，而且，由单调性可知，无论还是，在内有唯一的一个零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点；…14分（注：这一类的讨论中，若没有类似“来说明唯一零点在内”的这一步，则扣去这2分）综上所述，有：当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.17。
