五年级上册奥数第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用 通用版例题

五年级上册奥数第五讲 奇数与 偶数及奇偶性的应用 _ 通用版 （例题含答案）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识整数可以分成奇数和偶数两大类 .能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整 数）表示特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数性质 1：偶数±偶数 =偶数，奇数±奇数 =偶数性质 2：偶数±奇数 =奇数性质 3：偶数个奇数相加得偶数性质 4：奇数个奇数相加得奇数性质 5：偶数×奇数 =偶数，奇数×奇数 =奇数二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题 . 例 1 1+2+3+ …+1993 的和是奇数？还是偶数？分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶 数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判 断和的奇偶性 .此题可以有两种解法解法 1：∵1+2+3+…+1993又∵997 和 1993 是奇数，奇数×奇数=奇数，∴原式的和是奇数解法 2：∵1993÷2=996 …1，∴1～1993 的自然数中，有 996 个偶数，有 997 个奇数。

∵996 个偶数之和一定是偶数，第 2 页又∵奇数个奇数之和是奇数，∴997 个奇数之和是奇数因为，偶数 +奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数例 2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，这 个数是多少？解法 1：∵相邻两个奇数相差 2，∴150 是这个要求数的 2 倍∴这个数是 150÷2=75 解法 2：设这个数为 x，设相邻的两个奇数为 2a+1，2a-1 （a≥1）. 则有（2a+1）x-（2a-1）x=150 ，2ax+x-2ax+x=150 ，2x=150 ，x=75∴这个要求的数是 75例 3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回 赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？ 分析 此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇 偶性上，因此与总人数无关解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次 .那么 贺年卡的总张数应能被 2 整除，所以贺年卡的总张数应是偶数送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数 另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数 =所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数 =偶 数-偶数=偶数。

他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数 所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数第 3 页例 4 已知 a、b、c 中有一个是 5，一个是 6，一个是 7.求证 a-1，b-2 ， c-3 的乘积一定是偶数证明：∵a、b、c 中有两个奇数、一个偶数，∴a、c 中至少有一个是奇数，∴a-1，c-3 中至少有一个是偶数又∵偶数×整数 =偶数，∴（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数例 5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数 .试证新数 与原数之和不能等于 999则有 a+a′=b+b′=c+c ′=9，因为 9 不会是进位后得到的又因为 a′、b′、c′是 a、b、c 调换顺序得到的，所以 a+b+c=a ′+b′+c′因此，又有（ a+a′）+（b+b′）+（c+c′）=9+9+9 ，即 2（a+b+c）=3×9可见：等式左边是偶数，等式的右边（ 3×≠奇数 .因此，等式不成 立.所以，此假设“原数与新数之和为 999”是错误的，命题得证 “反证法”例 6 用代表整数的字母 a、b、c、d 写成等式组： a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=2019a×b×c×d-d=2019试说明：符合条件的整数 a、b、c、d 是否存在。

解：由原题等式组可知：a（bcd-1 ）=1991，b（acd-1 ）=1993，c（abd-1 ）=2019，d（abc-1 ）=2019∵1991、1993、2019、2019 均为奇数，且只有奇数×奇数=奇数，∴a、b、c、d 分别为奇数第 4 页∴a×b×c×d=奇数∴a、b、c、d 的乘积分别减去 a、b、c、d 后，一定为偶数 .这与原 题等式组矛盾∴不存在满足题设等式组的整数 a、b、c、d例 7 桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”.请说 明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转” .要使 9 只杯子 口全朝下，必须经过 9 个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇 数.但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次“翻转”“翻转”， 都不能使 9 只杯子全部口朝下例 8 假设 n 盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否 把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法证明：当 n 为奇数时，不能按规定将所有的灯关上因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。

由于 n 是奇数，所以 n 个奇数的和 =奇数，因此要把所有的灯（n 盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇 数但因为规定每次拉动 n-1 个开关，且 n-1 是偶数，故按规定拉动开关的总次数一定是偶数∵奇数≠偶数，∴当 n 为奇数时，不能按规定将所有灯都关上当 n 为偶数时，能按规定将所有灯关上 .关灯的办法如下：设灯的编号为 1，2，3，4，…，n.做如下操作：第一次， 1 号灯不动，拉动其余开关；第二次， 2 号灯不动，拉动其余开关；第三次， 3 号灯不动，拉动其余开关；第 n 次，n 号灯不动，拉动其余开关 .这时所有的灯都关上了第 5 页例 9 在圆周上有 1987 个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或 两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有 1987 次染红，1987 次染蓝. 求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都 是两次染同色 .设第一次染 m 个珠子为红色，第二次必然还仅染这 m 个珠 子为红色 .则染红色次数为 2m 次∵2m≠1987（偶数≠奇数）∴假设不成立∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色例 10 如下图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的 小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们 之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌 的树之间相距 a 米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距 b 米， 那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离 c=a+b（米）（如下图）， 如果 a、b 中有一个是偶数，题目已得证；如果 a、b 都是奇数，因为奇 数+奇数=偶数，所以 c 必为偶数，那么题目也得证。

例 11 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共 40 道，评分标准是：答 对一题给 3 分，答错一题倒扣 1 分.某题不答给 1 分，请说明该校六年级 参赛学生得分总和一定是偶数解：对每个学生来说，40 道题都答对共得 120 分，是个偶数.如果答 错一道，相当于从 120 分中扣 4 分.不论答错多少道，扣分的总数应是 4 的倍数，即扣偶数分.从 120 里减去偶数.差仍是偶数 .同样，如果有某题 不答，应从 120 里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是 2 的倍数，也是偶数.所以从 120 里减去偶数，差仍是偶数 .因此，每个学 生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数 . 例 12 某学校一年级一班共有 25 名同学，教室座位恰好排成 5 行，每行 5 个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位 .问： 让这 25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？第 6 页分析 为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析 . 我们把每一个黑、白格看作是一个座位 .从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同 学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上 .因此，要使每人换为邻座 位，必须黑、白格数相等。

解：从上图可知：黑色座位有 13 个，白色座位有 12 个，13≠12， 因此，不可能使每个座位的人换为邻座位例 12 的解法，采用了黑白两色间隔染（着）色的办法.因为整数按奇偶 分类只有两类，所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我 们较直观地理解和处理问题 .让我们再看一道例题，再体会一下奇偶性与 染色的关系例 13 在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中 国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回 到原处，问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？解：在中国象棋中，“马”走“日”字，如果将棋盘上的各点按黑 白二色间隔着色（如图），可以看出，“马”走任何一步都是从黑色点 走到白色点，或从白色点走到黑色点 .因此，“马”从一色点跳到另一同 色点，必定要跳偶数步 .因此，不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上，而且不论“马”跳 多少次，要跳回原处，必定要跳偶数步例 14 线段 AB 有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色 .在这个 AB 线段中间插入 n 个交点，或染红色，或染蓝色，得到 n＋1 条小线段（不 重叠的线段） .试证：两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。

证明：当在 AB 中插入第一点时，无论红或蓝色，两端色不同的线段 仍是一条插入第二点时有三种情况：①插入点在两端不同色的线段中，则两端不同色线段条数不变 ②插入点在两端同色的线段中，且插入点颜色与线段端点颜色相同，则两端不同色线段条数不变第 7 页③插入点在两端同色的线段中，但插入点颜色与线段端点颜色不同， 则两端不同色线段条数增加两条因此插入第二个点时端点不同色的线段数比插入第一个点时端点不 同色的线段数（ =1）多 0 或 2，因此是奇数（1 或 3）同样，每增加一个点，端点不同色的线段增加偶数（ 0 或 2）条.因 此，无论 n 是什么数，端点不同色的线段总是奇数条第 8 页习题五1.有 100 个自然数，它们的和是偶数 .在这 100 个自然数中，奇数的 个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？2.有一串数，最前面的四个数依次是 1、9、8、7.从第五个数起，每 一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字 .问：在这一串数中，会依 次出现 1、9、8、8 这四个数吗？3.求证：四个连续奇数的和一定是 8 的倍数4.把任意 6 个整数分别填入右图中的 6 个小方格内，试说明一定有 一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。

5.如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在 24 小时以内，全 世界通话次数是奇数的那些人的总数为 ____A）必为奇数，（B）必为偶数，（C）可能是奇数，也可能是偶数6.一次宴会上，客人们相互握手 .问握手次数是奇数的那些人的总人 数是奇数还是偶数7.有 12 张卡片，其中有 3 张上面写着 1，有 3 张上面写着 3，有 3 张上面写着 5，有 3 张上面写着 7.你能否从中选出五张，使它们上面的 数字和为 20？为什么？8.有 10 只杯子全部口朝下放在盘子里 .你能否每次翻动 4 只杯子， 经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？9.电影厅每排有 19 个座位，共 23 排，要求每一观众都仅和它邻近 （即前、后、左、右）一人交换位置 .问：这种交换方法是否可行？10.由 14 个大小相同的方格组成下列图形，请证明：不论怎样剪法， 总不能把它剪成 7 个由两个相邻方格组成的长方形 .第 9 页。