高中数学322向量法在空间平行关系中的应用同步检测新人教A版选修21

此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除资料共分享，我们负责传递知识3.2 一、选择题1．l，m是两条直线，方向向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则(　　)A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2[答案]　D[解析]　由向量平行的充要条件可得．2．设M(3，－1,4)，A(4,3，－1)若＝，则点B应为(　　)A．(－1，－4,5) B．(7,2,3)C．(1,4，－5) D．(－7，－2，－3)[答案]　B[解析]　∵＝＝－，∴＝＋＝(7,2,3)．故选B.3．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β(　　)A．平行 B．垂直C．相交 D．不确定[答案]　A[解析]　由v1∥v2故可判断α∥β.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　)A．2 B．－4C．4 D．－2[答案]　C[解析]　∵α∥β，∴＝＝，∴k＝4，故选C.二、填空题5．若＝λ＋u(λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．[答案]　AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE6．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,1)，C(3，λ，λ)，若⊥，则λ等于________．[答案]　三、解答题7．如图，已知P是正方形ABCD平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA＝BNND＝58.求证：直线MN∥平面PBC.[证明]　＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝－(－)＋＋(＋)＝－＋＝－，∴与、共面，∴∥平面BCP，∵MN⊄平面BCP，∴MN∥平面BCP.8．用向量证明两个平面平行的性质定理．[证明]　如图α∥β，γ与α、β分别相交于直线a、b.设a、b的方向向量为a、b，设平面α的法向量为n，∵α∥β，∴n⊥β，由条件知，n·a＝0，n·b＝0，若a、b不共线，则n⊥γ，这样γ∥α矛盾，∴a、b共线，∴a∥b.9．已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，它们不在同一平面上，点M、N分别为对角线BD、AE上的点，且AN＝AE，BM＝BD.证明：直线MN∥平面CDE.[证明]　＝－＝－(＋)＝(＋)－－＝＋－－(－)＝＋－＋＋＝－，∴与、共面，∵MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE.10．在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，F为PC的中点，点E在PD上，且＝2，求证：BF∥平面AEC.[解析]　∵＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－，∴、、共面．又BF⊄平面AEC，从而BF∥平面AEC.11．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别为棱PA、PB、PC的中点，求证平面DEF∥平面ABC.[证明]　证法一：如图．设＝a，＝b，＝c，则由条件知，＝2a，＝2b，＝2c，设平面DEF的法向量为n，则n·＝0，n·＝0，∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0，∴n·＝n·(－)＝n·(2b－2a)＝0，n·＝n·(－)＝n·(2c－2a)＝0，∴n⊥，n⊥，∴n是平面ABC的法向量，∴平面DEF∥平面ABC.证法二：设＝a，＝b，＝c，则＝2a，＝2b，＝2c，∴＝b－a，＝c－a，＝2b－2a，＝2c－2a，对于平面ABC内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x，y)，使e＝x＋y＝x(2b－2a)＋y(2c－2a)＝2x(b－a)＋2y(c－a)＝2x＋2y，∴e与、共面，即e∥平面DEF，∴l⊄平面DEF，∴l∥平面DEF.由l的任意性知，平面ABC∥平面DEF.12．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG∥平面HMN.[证明]　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．∴＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG、平面HMN的法向量，由⇒，令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．由⇒.令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．∴m＝n，即平面EFG∥平面HMN.。