2023届广东省深圳市卓识教育深圳实验部高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(本大题共10小题;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1.已知,,且,,,那么的最大值为()A. B.C.1 D.22.素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式(是素数),法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式(是素数)的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于(参考数据:)()A. B.C. D.3. “”是“”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图,,下列等式中成立的是( )A. B.C. D.5.已知正数、满足,则的最小值为A. B.C. D.6.设集合,,则()A B.C. D.7.设,则函数的零点所在的区间为( )A. B.C. D.8.已知集合A={1,2,3},集合B ={x|x2=x},则A∪B= ( )A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}9.方程的解所在区间是( )A. B.C. D.10.如图是正方体或四面体,分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是()A. B.C. D.二、填空题(本大题共5小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11.已知函数,则__________.12.已知实数,执行如图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为________13.一个扇形周长为8,则扇形面积最大时,圆心角的弧度数是__________.14.函数的单调增区间为________15.函数(且)的图象恒过定点_________三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.已知函数.(1)若函数的定义域和值域均为,求实数的值;(2)若在区间上是减函数,且对任意的,总有,求实数的取值范围.(可能用到的不等关系参考:若,且,则有)17.设函数(1)若不等式解集,求、的值;(2)若,在上恒成立,求实数的取值范围18.计算下列各式的值:(1);(2);(3).19.已知函数满足,且.(1)求的解析式;(2)求在上的值域.20.(1)已知,,求;(2)已知,,求、的值;(3)已知,,且,求的值.21.已知函数.(1)求的值;你能发现与有什么关系?写出你的发现并加以证明:(2)试判断在区间上的单调性,并用单调性的定义证明.参考答案一、选择题(本大题共10小题;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1、C【解析】根据题意,由基本不等式的性质可得,即可得答案.【详解】根据题意,,,,则,当且仅当时等号成立,即的最大值为1.故选:2、C【解析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,因此有.故选C【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.3、B【解析】利用充分条件,必要条件的定义即得.【详解】由可推出,由,即或,推不出,故“”是“”的充分不必要条件.故选:B.4、B【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的进行化简,化简为然后化简并代入即可得出答案【详解】因为,所以,所以,即,故选B【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理,考查向量减法的三角形法则,考查数形结合思想与化归思想,是简单题5、B【解析】由得,再将代数式与相乘,利用基本不等式可求出的最小值【详解】,所以,,则,所以,,当且仅当,即当时,等号成立,因此,的最小值为,故选【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,对代数式进行合理配凑,是解决本题的关键,属于中等题6、C【解析】利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合,,所以,故选:C7、B【解析】根据的单调性,结合零点存在性定理,即可得出结论.【详解】在单调递增,且,根据零点存在性定理,得存在唯一的零点在区间上.故选:B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间,结合零点存在性定理的应用,属于基础题.8、C【解析】求出集合B={0,1},然后根据并集的定义求出A∪B【详解】解:∵集合A={1,2,3},集合B={x|x2=x}={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}故选C【点睛】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题9、C【解析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.【详解】∵,∴,,,,∴,∵函数的图象是连续的,∴函数的零点所在的区间是.故选C【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.10、D【解析】A,B,C选项都有,所以四点共面,D选项四点不共面.故选:D.二、填空题(本大题共5小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11、2【解析】先求出,然后再求的值.【详解】由题意可得,所以,故答案为:12、【解析】设实数x∈[1,9],经过第一次循环得到x=2x+1,n=2,经过第二循环得到x=2(2x+1)+1,n=3,经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4此时输出x,输出的值为8x+7,令8x+7⩾55,得x⩾6,由几何概型得到输出的x不小于55的概率为.故答案为.13、2【解析】设扇形的半径为,则弧长为,结合面积公式计算面积取得最大值时的取值,再用圆心角公式即可得弧度数【详解】设扇形的半径为,则弧长为,,所以当时取得最大值为4,此时,圆心角为(弧度)故答案为:214、.【解析】结合定义域由复合函数的单调性可解得结果.【详解】由得定义域为,令,则在单调递减,又在单调递减,所以的单调递增区间是.故答案为:.15、【解析】令对数的真数为,即可求出定点的横坐标,再代入求值即可;【详解】解:因为函数(且),令,解得,所以,即函数恒过点;故答案为:三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16、(1)2;(2).【解析】(1)确定函数的对称轴,从而可得函数的单调性,利用的定义域和值域均是,建立方程,即可求实数的值;(2)由函数的单调性得出在单调递减,在单调递增,从而求出在上的最大值和最小值,进而求出实数的取值范围.【小问1详解】易知的对称轴为直线,故在上为减函数,∴在上单调递减,即,,代入解得或(舍去).故实数的值为2.【小问2详解】∵在是减函数,∴.∴在上单调递减,在上单调递增,又函数的对称轴为直线,∴,,又,∴.∵对任意的,总有,∴,即,解得,又,∴,即实数的取值范围为.17、(1),;(2).【解析】(1)分析可知的两根是、,利用韦达定理可求得实数、的值;(2)分析可知不等式在上恒成立,可得出,由此可解得实数的取值范围.【详解】由已知可知,方程的两根是、且,所以,解得;(2),可得,,因为在上恒成立,则在上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.18、 (1) (2)3 (3)1【解析】(1)根据实数指数幂的运算法则化简即可;(2)根据对数的运算法则和性质化简求值;(3)利用诱导公式化简求值即可.试题解析:(1)原式=-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.(3)原式=19、(1)(2)【解析】(1)利用换元法令,求得的表达式,代入即可求得参数,即可得的解析式;(2)根据函数单调性,即可求得在上的值域.【详解】(1)令,则,则.因为,所以,解得.故的解析式为.(2)由(1)知,在上为增函数.因为,,所以在上的值域为.【点睛】本题考查了换元法求二次函数的解析式,根据函数单调性求函数的值域,属于基础题.20、(1);(2),;(3).【解析】(1)利用两角差的正切公式即可求解;(2)利用二倍角公式即可求解;(3) 利用和差角公式即可求解.【详解】(1)因为,,所以,即.(2)因为,可得,所以,,因此,,.(3)由,则,,得.因为,所以.由,则,,得,由以及,得.因为,又,所以.21、(1),,与的关系:,证明见解析(2)在上单调递减,证明见解析【解析】(1)通过函数解析式计算出,通过计算证明.(2)通过来证得在区间上单调递减.【小问1详解】,.证明:..【小问2详解】在区间上递减.证明如下:且.在上单调递减.。