圆心角弦弦心距之间的关系

3.2 圆 的 对 称 性 (3) 一 、 复 习 引 入 ：1、 什 么 是 轴 对 称 、 中 心 对 称 图 形 ？1、 圆 心 角 ， 弦 心 距 的 概 念顶 点 在 圆 心 的 角 叫 圆 心 角 .圆 心 到 弦 的 距 离 叫 弦 心 距 . O B A 2、 圆 的 旋 转 不 变 性 ： 圆 是 一 个 中 心 对 称 图形 ， 圆 心 是 它 的 对 称 中 心 圆 绕 着 圆 心 旋 转 任意 一 个 角 度 都 能 和 原 来 的 圆 重 合 D二 、 新 课 学 习 ： 练 习 ： 判 别 下 列 各 图 中 的 角 是 不 是 圆 心 角 ， 并 说 明 理 由 OO O O 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 关 系(1)定 理 ： 在 同 圆 中 ， 相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弦 相 等 ， 所 对 的 弧 相 等 ， 所 对 的 弦 心 距 相等 思 考 定 理 的 条 件 和 结 论 分 别 是 什 么 ？ 并 回 答 ：条 件 ： 结 论 ：在 等 圆 或 同 圆 中圆 心 角 相 等 圆 心 角 所 对 弧 相 等圆 心 角 所 对 弦 相 等圆 心 角 所 对 的 弦 心 距 相 等演 示猜 想 ： 把 圆 心 角 相 等 与 三 个 结 论 的 任 何 一 个 交 换 位 置 ， 有 怎 样 的 结 果 ？ (2) 推 论 ：在 同 圆 或 等 圆 中 ,如 果 两 个 圆 心 角 、 两 条 弧 、两 条 弦 或 两 条 弦 的 弦 心 距 中 有 一 组 量 相 等 ，那 么 它 们 所 对 应 的 其 余 各 组 量 都 分 别 相 等 。

O A A B B D D 顶 点 在 圆 心 的 圆 心 角 等 分 成 360份 时 ， 每一 份 的 圆 心 角 是 1 的 角 ， 整 个 圆 周 被 等 分 成360份 ， 我 们 把 每 一 份 这 样 的 弧 叫 做 1 的 弧 （ 同 圆 中 ， 相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等 ）结 论 ： 圆 心 角 的 度 数 和它 所 对 的 弧 的 度 数 相 等 1 弧 的 概 念 ： 三 、 巩 固 应 用 、 变 式 练 习1 、 判 断 题 ， 下 列 说 法 正 确 吗 ？ 为 什 么 ？ A O B B A （ 2） 在 O和 O中 ， 如 果 AB=AB,那 么 AB=AB. （ 不 对 ）（ 不 对 ）（ 1） 如 图 ： 因 为 AOB= AOB， 所 以 AB=AB. P A BC DOMN 例 1： 如 图 ， 点 O是 EPF平 分 线 上 的 一 点 ，以 O为 圆 心 的 圆 和 角 的 两 边 分 别 交 于 点 A、 B和 C、 D 求 证 ： AB=CD 证 明 ： 作 OM AB，ON CD， M、 N为 垂 足 ， MPO= NPOOM ABON CD OM AB OM ON AB CD ON CD A B C DOM N变 式 1： OA BC DE FPMN 变 式 2：已 知 ： 如 图 ， O的 弦 AB， CD相 交于 点 P， APO= CPO 求 证 ： AB=CD AB C DM NO如 图 M、 N为 AB、 CD的 中 点 ,且 AB=CD.求 证 ： AMN CNM变 式 3： 例 2、 在 O中 ， 弦 AB所 对 的劣 弧 为 圆 的 1/3， 圆 的 半 径 为 2厘 米 ， 求 AB的 长 A BOC例 3、 已 知 AB和 CD为 O的 两条 直 径 ,弦 CE AB, EC弧 的 度数 等 于 40 . 求 BOD的 度 数 。

E A D O B C 2、 已 知 ： 如 图 ， O中 ， AB、CD交 于 E， AD=BC求 证 ： AB=CD E OD CA B 四 、 课 堂 练 习1、 在 O中 ， 直 径 为 10厘 米 ， AB弧 是 圆 的1/4， 求 弦 AB的 长 3、 如 图 ， O中 弦 AB，CD相 交 于 P， 且 AB=CD.求 证 ： PB=PD P AB C DO 思 考 题 ：已 知 AB和 CD是 O的 两 条 弦 ， OM和 ON分 别 是 AB和 CD的 弦 心 距 ， 如 果 ABCD，那 么 OM和 ON有 什 么 关 系 ？ 为 什 么 ？圆 中 弧 、 圆 心 角 、 弦 、 弦 心 距 的 不 等 关 系1、 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 大 弦 的 弦 心 距 较 小 ；2、 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 大 弧 所 对 的 圆 心 角 也 较 大 二 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 不 等 量 关 系已 知 O中 ， 弦 ABCD， OM AB，ON CD， 垂 足 分 别 为 M， N，求 证 ： OMCD， 那么 OMON 1、 一 条 弦 把 圆 分 成 3： 6两 部 分 ， 则 优 弧 所 对 的 圆 心 角 为 . 2、 A、 B、 C为 O上 三 点 ， 若 、 、 的 度 数 之 比 为 1： 2： 3， 则 AOB= ， BOC= , COA= . 3、 在 O中 ， AB弧 的 度 数 为 60 ， AB弧 的 长 是 圆 周 长 的 。

4、 一 条 弦 长 恰 好 等 于 半 径 ， 则 此 弦 所 对 的 圆 心 角 是 度 三 、 基 础 练 习 ： 24060120 1801/660 AmBBCAB CD 6、 如 图 ， 弦 AB所 对 的 劣 弧为 圆 的 ,则 AOB= . ACB= 31 C O A B 5、 弦 长 为 24cm,这 条 弦 的 弦 心 距 为 cm， 这 条 弦 所 对 的 圆 心 角 是 度 ， 圆 的 半 径是 34120cm38 12060 例 1、 已 知 ： 如 图 ， 在 ABC中 , C=90 ， A=34 ,以 点 C为 圆 心 ,CB为 半 径 的 圆 交 AB于 D点 ， 求 BD弧 的 度 数 . A C B D 问 题 ： 求 BD弧 的 度 数 ， 可 转 化 为 求 什 么 ？ 需 添 辅 助 线 吗 ？ 如 何 添 ？四 、 例 题 分 析 分 析 ： （ 1） 要 证 AP=BP,有 什 么 路 径 ？ （ 2 ） “ C P 是 D C O 的 平 分 线” “ CD AB” 条 件 如 何 用 ？ （ 3） 有 无 “ 隐 含 条 件 ” ？ （ 4） 需 添 辅 助 线 吗 ？例 2、 如 图 ， 已 知 ： AB为 O的 弦 ， 从 圆 上 一 点 C引 弦 CD AB,作 OCD的 平 分 线 交 O于 P点 ， 连 结 PA,PB. 求 证 ： PA=PB. O A B C D P 例 3、 （ 99年 北 京 中 考 题 ）在 O中 ， CD过 圆 心 O， 且CD AB于 D， 过 点 C任 作 一弦 CF交 O于 F， 交 AB于 E，求 证 ： CB=CECF OA BCDEF 五 、 思 考 题 ：1、 如 图 ， AB是 O的 直 径 ，过 AB上 任 一 点 K 作 与 AB相交 成 45 的 弦 PQ， 设 O的 半 径 为 R， 求 证 ：PK 2+QK 2为 定 值 。

A BOP K QD 2、 如 图 A与 B是 两 个 等 圆 ,直 线 CF AB,分 别 交 A于 点 C、 D， 交 B于 点 E、 F求 证 ： CAD= EBFA BC D E FG H五 、 思 考 题 ： 小 结 ：1、 圆 具 有 “ 旋 转 不 变 性 ” 即 ： 圆 绕 圆 心 旋 转 任 意 角 度 ， 都 能 与 本 身 重 合2、 圆 心 角 、 弦 心 距 、 1 的 弧 的 定 义 3、 四 个 量 之 间 的 等 量 关 系 （ 知 一 推 三 ） 证 明 弧 相 等 方 法 的 扩 充 ： （ 1） 等 弧 的 定 义 （ 2） 垂 径 定 理 及 推 论 （ 3） 四 个 量 之 间 的 等 量 关 系 及 推 论 4、 圆 心 角 的 度 数 和 它 所 对 的 弧 的 度 数 的 关 系 （ 相 等 ）5、 常 添 的 辅 助 线 ： 作 出 半 径 、 弦 心 距 1、 了 解 圆 的 对 称 性 和 它 的 旋 转 不 变 性 . 2、 理 解 圆 心 角 、 弦 心 距 的 概 念 . 3、 掌 握 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 相 等 关 系 定 理 及 推 论 .4、 理 解 1 弧 的 概 念 。

圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 关 系教 学 目 标 ：教 学 重 点 ： 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 相 等 关 系 .教 学 难 点 ： 从 圆 的 旋 转 不 变 性 出 发 ， 推 出 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 相 等 关 系 教 学 课 时 ： 共 二 课 时 A BMO AMB A BO M )(A )(BM OA BM A BMO )(OO )(AA )(BB )(MM 2. 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 个 圆 心 角 、 两 条弧 、 两 条 弦 或 两 条 弦 的 弦 心 距 中 有 一 组 量 相 等 ，那 么 它 们 所 对 应 的 其 余 各 组 量 也 都 分 别 相 等 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 关 系 （ 二 ）1. 圆 心 角 的 度 数 和 它 所 对 的 弧 的 度 数 相 等 一 、 重 要 定 理 复 习 根 据 这 一 定 理 ， 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 圆 心角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 就 可 以 实 现 等 量 关系 的 相 互 转 化 ， 由 知 一 个 转 为 知 三 个 ， 给 解题 带 来 了 转 机 。

圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 关 系 A B C D O E 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 关 系如 果 AOB = COD A B C D O E F 如 果 OE = OF AC = BD 垂 径 定 理 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦 ， 并且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 .题 设 结 论（ 1） 直 径（ 2） 垂 直 于 弦 （ 3） 平 分 弦（ 4） 平 分 弦 所 对 的 优 弧（ 5） 平 分 弦 所 对 的 劣 弧 MOA C BN垂 径 定 理 AM= MBAN = NB MOA C BN AM= MBAN = NB垂 径 定 理 推 论 1推 论 1. (1)平 分 弦 （ 不 是 直 径 ） 的 直 径 垂直 于 弦 ， 并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 MOA C BN垂 径 定 理 推 论 1 AM= MBAN = NB(2)弦 的 垂 直 平 分 线 经 过 圆 心 ,并 且平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 ; MOA C BN垂 径 定 理 推 论 1 AM = MBAN= NB(3)平 分 弦 所 对 的 一 条 弧 的 直 径 ,垂直 平 分 弦 ,并 且 平 分 弦 所 对 的 另 一 条 弧 圆 的 两 条 平 行 弦 所 夹的 弧 相 等 。

OA BC D OA BC DM M垂 径 定 理 推 论 2 OAB C DE F 例 2： 已 知 ： 如 图 ， AB、CD是 O的 两 条 弦 ， OE、OF为 AB、 CD的 弦 心 距 如 果 AOB COD, 那 么 OE与 OF的 大 小 有 什么 关 系 ？ 为 什 么 ？ 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 关 系 OAB CE F D 例 2： 已 知 ： 如 图 ， AB、CD是 O的 两 条 弦 ， OE、OF为 AB、 CD的 弦 心 距 如 果 OE OF， 那 么AB与 CD的 大 小 有 什 么 关系 ？ AB与 CD的 大 小 有 什么 关 系 ？ 为 什 么 ？ AOB与 COD呢 ？圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 之 间 的 关 系 2、 抢 答 题 已 知 ： 如 图 ， AB， CD是 O的 两 条 弦 ，OE、 OF为 AB、 CD的 弦 心 距 ， 根 据 这节 课 所 学 的 定 理 及 推 论 填 空 ： A BC F DEO(2)如 果 OE=OF， 那 么 ， ， ； (3)如 果 AB=CD， 那 么 ， ， ；(4)如 果 AB=CD， 那 么 ， ， 。

1)如 果 AOB= COD， 那 么 ， ， ;OE=OF AB=CD AB=CD AOB= COD AB=CD AB=CD AOB= COD AB=CD OE=OF AOB= COD OE=OF AB=CD 。