机构学和机器人学2运动学中的向量法ppt课件

第二章第二章 运动学中的向量法运动学中的向量法 向量法是描画刚体运动的一种根本方法，可用直向量法是描画刚体运动的一种根本方法，可用直角坐标，也可用极坐标表示角坐标，也可用极坐标表示2-1 复数矢量法复数矢量法(复极向量法复极向量法)一、复数一、复数 用两个实数用两个实数x、y表示一个复数表示一个复数iyxzx、y 分别称为复数的实部和虚部，实部分别称为复数的实部和虚部，实部单位为单位为“1，略去不写，虚部单位，略去不写，虚部单位“i有求法规那么：有求法规那么：1iiiyxzz2221)(yxz zz 对实轴的对称点也对应一个复数：对实轴的对称点也对应一个复数：21)(z zz那么称那么称 是是z的共轭复数，的共轭复数，定义为复数定义为复数z的模的模记为：记为：模等于模等于1的复数称为单位复数：的复数称为单位复数：sincosizsincosieiiezz 称为幅角，由称为幅角，由Euler公式：公式：ieiasincosyxiiaaiaaeaaa)sin(cos二、复数矢量的表示二、复数矢量的表示a如图的自在矢量如图的自在矢量的表示为：的表示为：a，那么该矢量可表示，那么该矢量可表示为：为：设在复平面上有一个单位矢量设在复平面上有一个单位矢量2-1yxaa 、于是矢量于是矢量的分量分别为：的分量分别为：aiiiaeaeiaisimaiaei)()sin()cos()cos()(a相当于矢量相当于矢量转过转过900900。

1 1向量向量与单位矢量与单位矢量相乘：相乘：a ie)()(iiiaeaee2-2表示向量表示向量逆时针转过一个逆时针转过一个角a与虚数单位与虚数单位i的乘积：的乘积：2向量向量a)2()2sin()2cos()sincos(iiaeiaiaiae2-3同理：同理：转过转过1800a相当于矢量相当于矢量2-4是单位矢量是单位矢量的共轭矢量的共轭矢量ieie1sincos)sin)(cossin(cos22iieeii32cosiiee2siniieeisinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(4两个有用公式两个有用公式2-52-62-72-8iiiiieireriererredtddtrd )()(5复数矢量的微分复数矢量的微分iiierer 、rr 、等式右边可看作二个复数矢量等式右边可看作二个复数矢量其中其中iiiee 、分别为它们的矢量大小模，分别为它们的矢量大小模，为单位方向矢为单位方向矢表示某一点相对于固定参考系坐标，表示某一点相对于固定参考系坐标irer 设矢量设矢量原点的位置，那么一阶导数：原点的位置，那么一阶导数：2-9二阶导数：二阶导数：iiiiiiiierrerriierierriererredtd)2()()()()()(222 继续求导可求出高阶导数。

继续求导可求出高阶导数2-10JIRO可写成：可写成：那么矢量那么矢量a)cossin(jeaai为为式中式中为矢量为矢量在复平面在复平面ORI平面上的投影平面上的投影与与J 轴的夹角轴的夹角与实轴与实轴R间夹角，间夹角，aa三、空间矢量的复数表示三、空间矢量的复数表示aR为实轴，为实轴，I、J为虚轴，为虚轴，取坐标系取坐标系ORIJ，矢量，矢量如图，如图，2-11可看生长度可看生长度a与单位向量与单位向量矢量矢量由式由式211的乘积a a那么单位向量：那么单位向量：cossinjeai2-12实实虚虚虚虚aaaaaaaaaaaaaaa 2，其一阶导数，二阶导数为，其一阶导数，二阶导数为:sin)cossin(jieai)cos(sin )sin(coscos2)(sin222 jeeiieaiii式中：式中：2-132-142-152-2 利用复数向量进展机构的运动分析利用复数向量进展机构的运动分析 机构的运动分析是在知机构的构造和几何尺寸的机构的运动分析是在知机构的构造和几何尺寸的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件任条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件任一运动变量的变化规律。

一运动变量的变化规律运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析其中位置分析方程通常是非线性的，只需简单的二级其中位置分析方程通常是非线性的，只需简单的二级机构才干列出输出变量和输入变量的显函数表达式，机构才干列出输出变量和输入变量的显函数表达式，而其他情况下，方程的求解就需求利用各种数值解法而其他情况下，方程的求解就需求利用各种数值解法1、铰链四杆机构、铰链四杆机构 建立封锁矢量方程，可有两种方式：建立封锁矢量方程，可有两种方式：a、延续头尾相接的封锁链；、延续头尾相接的封锁链；b、到达同一研讨点的两个不同途径的两个分支到达同一研讨点的两个不同途径的两个分支雷文雷文Raven称为称为“独立位置方程法，这独立位置方程法，这 一方法对处理输入和输出构件都绕各自固定点一方法对处理输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效中心转动的问题特别有效一、平面机构的运动分析一、平面机构的运动分析 如图铰链四杆机构，假设各杆长度为如图铰链四杆机构，假设各杆长度为r1、r2、r3、r4输入角输入角2 知，可列出独立位置方程：知，可列出独立位置方程：4324132iiiBerrererr位置分析的目的是求出位置分析的目的是求出33和和44的值。

的值2-161位置分析位置分析？解题思绪：解题思绪：1利用知利用知r1、r2和和2，求出对角线矢，求出对角线矢量量d2利用矢量利用矢量d和和r4求出矢量求出矢量r3，解出，解出3和和4 首先确定对角线首先确定对角线d 的长度：的长度：122rdeerdii )()()(222221222122121 iiiiiieerrrrderrerrdededd 将式将式217移项后，分别求上它们各自的共轭复数：移项后，分别求上它们各自的共轭复数：2-17或：或：2212221cos2rrrrd 2-18ddrrcoscos122ddrsinsin22将式将式217分解为实部和虚部，得：分解为实部和虚部，得：22sinsindrddrrd221coscos由此解得：由此解得：所以：所以：22122cossintanrrrd 2-194343iiierdeerd44334433)(iiiiiiererdeerdeerdd)(32232432diderdrr324223333223242)cos()cos(2drrdrdrdrrdd 由式由式217计算计算d，很容易判别，很容易判别d的象限，的象限，当矢量当矢量 可确定后，由于：可确定后，由于：取取221实部得：实部得：2-202-21d移项，两边分别乘以各自的共轭复数：移项，两边分别乘以各自的共轭复数：消去消去44433sinsinsinrdrd4334sinsinsinrdrd 有两个能够解，根据延续条件确定一个。

有两个能够解，根据延续条件确定一个同样，同样，4有能够有有能够有2个解，根据延续条件加以确定个解，根据延续条件加以确定)(3d取取220的虚部得：的虚部得：2-222速度分析速度分析4324132iieierrerer432443322iiiierierier由位置方程由位置方程 进展求导：进展求导：由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：2-23iiieirerredtd )(332iiiieieie 、43322arrr 、432rrr 、2 2该式由相对运动速度多边形图示阐明为：该式由相对运动速度多边形图示阐明为：分别表示分别表示的方向，它们是的方向，它们是的方向转过的方向转过所得，所得，是知的432443322iiiierierier444333222444333222coscoscossinsinsinrrrrrr43 、222444333222444333cos)cos()cos(sin)sin()sin(rrrrrr将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：未知量未知量左移：左移：2-24最后，用最后，用Cramer克莱姆法那么解克莱姆法那么解224432443322iiiierierier4433443344222442223 coscossinsincoscossinsinrrrrrrrr于是可得：于是可得：)sin()sin(cossinsincoscossinsincos4332422434343434242424223rrrrrrrrrr)sin()sin(43423224 rr类似可求得：类似可求得：2-252-263加速度分析加速度分析 同样方法对同样方法对216进展二次微分得：进展二次微分得：)()()()()()(443322244442333322222iiiiiieriereriererier 2-27将将2-27分解为实数分量和虚数分量，便可分解为实数分量和虚数分量，便可得含有未知数得含有未知数 和和 的两个方程：的两个方程：3 4 BrrrrrrArrrrrr424432332222222444333424432332222222444333sinsinsincos)cos()cos(coscoscossin)sin()sin(由此得：由此得：)sin(sincos1coscossinsincossin434434433443344443BArrrrrrBrA)sin(sincos1433344BAr 2、偏置曲柄滑块机构、偏置曲柄滑块机构 列出列出B点的独立位置方程，再由位置方程一次、二次微点的独立位置方程，再由位置方程一次、二次微分得速度。

加速度方程经过分别实数分量和虚数分量的方分得速度加速度方程经过分别实数分量和虚数分量的方法最终求出未知量：法最终求出未知量：ibxererriiB3232xierierriiB)()(323322xiereriererriiiiB )()(33223323322222？22 、444444 rrr 、及 3、摆动导杆机构、摆动导杆机构，求不同位置的，求不同位置的知：构件知：构件1和构件和构件2 长度为长度为 r1、r2，构件，构件2曲柄曲柄 的角速度和角加速度为的角速度和角加速度为1位置分析位置分析42412iierirer 独立位置方程为：独立位置方程为：2-27？4422coscosrr44122sinsinrrr221224cossinarctanrrr4224coscosrr 分成实数分量和虚数分量：分成实数分量和虚数分量：两式相除得：两式相除得：代入代入228：2-282-292-3044244422iiiierereir4ie2速度分析速度分析两边乘以两边乘以那么：那么：对对227求导杆的速度方程：求导杆的速度方程：2-314442242 irreri)()sin(42224rr将上式分成实数分量和虚数分量得：将上式分成实数分量和虚数分量得：442224)cos(rr4422)2()(4444244422222iiiiierrerrerier 4ieirrrrerierii)2()(44442444)(222)(224242 44444222242222)sin()cos(rrrr3对位置方程二次微分得加速度方程：对位置方程二次微分得加速度方程：两边同乘两边同乘得：得：取虚数分量：取虚数分量：2-322-332-34444222242224421 rrrr)sin()cos(2244422224222 rrrr)cos()sin(2444222242224)cos()sin(rrrr因此：因此：取取223实数分量：实数分量：因此得：因此得：2-352-36 ，mmrmmr20312742mmbmma406102 ，smmc1101022 ，433 、及如下图如下图RSSR机构，杆机构，杆2在在IJ平面旋转，杆平面旋转，杆4在在平衡平衡RJ平面旋转，知：平面旋转，知：时杆时杆3的位置角的位置角二、空间机构的运动分析二、空间机构的运动分析453042 ，求当：求当：？由于杆由于杆2在在IJ平面内运动，所以矢量平面内运动，所以矢量2r与与R轴夹角轴夹角2=900，又由于杆，又由于杆4在平行于在平行于RJ平面内旋转，因平面内旋转，因 此向量此向量r4在在IR平面内的投影与平面内的投影与R轴夹角轴夹角4=0。

在在IR平面内的投影平面内的投影对对B点可列两个独立位置方程：点可列两个独立位置方程：)cossin()cossin()cossin(444333222432432jerjcibajerjerrjcibarrriiiB(1)(1)位置分析位置分析2-37矢量矢量A0B0A0B0可表达为：可表达为：A0B0A0B0a+i b+j ca+i b+j c)cos(sin)cossinsinsin(cos)cossin(444333333222 jrjcibajirjir展开：展开：44333sinsincosrarbrr33322sinsinsin443322coscoscosrcrr22333sinsinsinrbr分别取分别取R、I、J分量得：分量得：由由2移项：移项：12340 90 42 ，)cos(sin)cossin()cossin(444333229023 jrjcibajerjerii代入得：代入得：44223 14 sinsintan)()(rarb36.543224433coscoscosrrcr 54)()(22442233coscossintansinrrcrb169.72sin)coscos(sintan32244223rctrrbar由由3式移项得：式移项得：5 可对可对237式一次微分后，分别取式一次微分后，分别取R、I、J分量，分量，也可直接也可直接1、2、3一次微分得速度分量。

求一次微分得速度分量求导时各长度尺寸为常数，导时各长度尺寸为常数，42 、角不变的由此得：角不变的由此得：2速度分析速度分析44433333333cossinsincoscosrrr0cossinsincoscos33333333222rrr444333222sinsinsinrrr由由6式移项得：式移项得：678由由7式移项得：式移项得：33334443333sinsincoscoscosrrr33333333222sincoscossincosrrr91032322434433cossincoscoscosr )10()9(rr1111代入代入8得：得：)cossincoscos(sinr)sinsincoscos(sinr33434443323222由此得：由此得：1/s 60812.19)cossincoscossinsinsincoscossin(rr334343323242243加速度分析加速度分析 略略三、复数矢量法进展机构的综合三、复数矢量法进展机构的综合 复数矢量法可以方便的运用于杆机构的综合，特复数矢量法可以方便的运用于杆机构的综合，特别是平面机构的综合如要综合一平面铰链四杆机构，别是平面机构的综合。

如要综合一平面铰链四杆机构，而该机构在某一位置时各构件必需满足规定的角速度、而该机构在某一位置时各构件必需满足规定的角速度、角加速度，可用复数矢量法角加速度，可用复数矢量法2-3 利用直角坐标向量的机构运动分析利用直角坐标向量的机构运动分析一、直角坐标向量标志法一、直角坐标向量标志法zyxaka jaia、空间恣意一点空间恣意一点A A的位置在直角坐标系中可用向量的位置在直角坐标系中可用向量a来表示，来表示，xyzo 直角坐标系直角坐标系，假设，假设x x、y y、z z方向上的单位向量为：方向上的单位向量为：,i,jk，那么我们可以将向量表示为：，那么我们可以将向量表示为：分别是向量分别是向量zyxaaa ,a在三个方向上的分量在三个方向上的分量二、杆组分类法阿苏尔运动链二、杆组分类法阿苏尔运动链1、杆组的定义、杆组的定义 机构可以以为是由机架、自动件和从动件系统三部分组机构可以以为是由机架、自动件和从动件系统三部分组成从动件系统的自在度为零因此，从动件系一致定可以成从动件系统的自在度为零因此，从动件系一致定可以分解成一个或假设干个不可再分解的自在度为零的运动链，分解成一个或假设干个不可再分解的自在度为零的运动链，这种运动链称为杆组。

这种运动链称为杆组机构是由一个或假设干个自在度为零的运动链依次联接机构是由一个或假设干个自在度为零的运动链依次联接到机架和自动件上而构成的到机架和自动件上而构成的2、杆组的分类、杆组的分类 杆组的构件数杆组的构件数n与低副数与低副数p满足：满足：3n-2p=0 运动副运动副A、C为杆组的外为杆组的外副，副，B为内副，外副假设为为内副，外副假设为转动副画为实心圆，三个运转动副画为实心圆，三个运动副为挪动副那么失去杆组动副为挪动副那么失去杆组性质n=4，p=6n=6，p=9杆组按其包含的封锁形是几边形进展分级杆组按其包含的封锁形是几边形进展分级杆组运动确定性：外副假设与运动知的构件相联，那么杆组杆组运动确定性：外副假设与运动知的构件相联，那么杆组中每一构件的运动都是确定的中每一构件的运动都是确定的杆组静力确定性：如杆组上作用的外力系知，那么杆组的各杆组静力确定性：如杆组上作用的外力系知，那么杆组的各运动副中的约束反力未知数可由杆组本身各构件的平衡方程运动副中的约束反力未知数可由杆组本身各构件的平衡方程式解出三、三、级机构的运动分析级机构的运动分析 平面连杆机构利用拆组分析的方法，可以分为平面连杆机构利用拆组分析的方法，可以分为级机级机构、构、级机构、级机构、级机构等。

其中级机构等其中级机构有五种根本杆级机构有五种根本杆组：组：RRRRRR、RRPRRP、RPRRPR、PRPPRP、RPPRPP1 1RRRRRR级组的分析级组的分析平面铰链四杆机构可以拆出如平面铰链四杆机构可以拆出如下图的下图的RRRRRR级组，它是由三个级组，它是由三个转动副转动副A A、B B、C C和两个构件和两个构件1 1、2 2组合而成在研讨机构运动时，组合而成在研讨机构运动时，往往把运动副看成一个点，运往往把运动副看成一个点，运动副动副A A、C C即为外点，外点分别即为外点，外点分别与其它杆组的构件与其它杆组的构件i i和和j j相衔接，相衔接，或其中之一与机架相铰接或其中之一与机架相铰接2-5 其他方法简介其他方法简介1、杆长逼近法、杆长逼近法 处理用直角坐标向量法分析根本杆组迭代次数多、费处理用直角坐标向量法分析根本杆组迭代次数多、费时的问题时的问题平面机构简图都可以看作是封锁多边形，而多边形总平面机构简图都可以看作是封锁多边形，而多边形总可以分解成假设干个单纯形可以分解成假设干个单纯形-三角形，假设对各种三角形编三角形，假设对各种三角形编成子程序，就可顺应各种平面机构的求解。

成子程序，就可顺应各种平面机构的求解2、矢量单纯形法、矢量单纯形法3、约束法、约束法 机构是由假设干个点组成的点系，这些点遭到一定的机构是由假设干个点组成的点系，这些点遭到一定的约束从而沿着一定的轨迹运动可以将各类约束方程编成约束从而沿着一定的轨迹运动可以将各类约束方程编成通用子程序调用通用子程序调用4、单矢法、单矢法 把机构简图分解成最小的单元把机构简图分解成最小的单元矢量，并将其编成子矢量，并将其编成子程序，对多干多环路机构很方便程序，对多干多环路机构很方便。