高中数学任教A选择性必修一第二章 232 两点间的距离公式

2．3.2 两点间的距离公式学习目标1.掌握两点间距离公式并会应用.2. 用坐标法证明简单的平面几何问题．-思考辨析判断正误 1 •点P](0 , a),点P2(b , 0)之间的距离为a-b.( X )2 •当A ,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用•( X )3 •点 P1(x1 , y1)，点 P2(x2 , y2)，当直线平行于坐标轴时IP/2I 二 Ix1 - x2I.( X )一、两点间的距离例1如图，已知△ABC的三个顶点A(—3,1), B(3,—3), C(1,7)，试判断△ABC的形状.解 方法一•.•IABI 二 \：(3 + 3)2 + ( - 3 - 1)2 二乜玄二2、,/!3 ,|AC=:j(l + 3)2 + (7 - 1)2 二屈二 2屈,又IBCI 二冷(1 - 3)2 + (7 + 3)2 二沔二 2唇,:.IABI2 + IACI2 二 IBCI2，且IABI 二 IACI ,:.△ABC是等腰直角三角形.7 - 1 3 7 - 3 - 1 2方法二••鶴产厂^，^二厂「3，••・kAC・kAB=- 1 , :.AC丄AB.又 IACI二寸(1 + 3)2 + (7 - 1)2 二戶二 2 仲,IAB='J(3 + 3)2 + ( - 3 - 1)2^52 二 2尹,・•・IACI二IABI , •△ABC是等腰直角三角形.- 3+ 7y 二一2二 2，即:舒，所以BC边延伸探究 题中条件不变，求BC边上的中线AM的长.3+ 1解 设点M的坐标为(x , y)，因为点M为BC的中点，所以x二〒二2 , 点M的坐标为(2,2) •由两点间的距离公式得IAMI二訂(-3-2)2 + (1 - 2)2: 上的中线AM的长为.'26.反思感悟 计算两点间距离的方法⑴对于任意两点 P1(x1 , y1)和 P2(x2 , y2)，则卩鬥二(x2 - X])2 + % - y1)2.(2) 对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．跟踪训练1已知点A( —1,2), B(2,翻),在x轴上求一点P,使IPAI = IPBI,并求IPAI的值. 解 设 P(x , 0) , \PA\= (x + 1)2 + ( - 2)2 ,IPBI 二(x - 2)2 + ( - ' 7)2，•.•IPAI 二 IPBI , .•・\/(x+1)2 + 4= (x-2)2 + 7,解得x=1 ,・・・P(1,0),.•.IPAI 二(1 +1)2 + 4 = 2农.二、运用坐标法解决平面几何问题例 2 在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：IABI2+IACI2=2(IADI2+IDCI2).证明 设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设 A(b， c)， C(a， 0)，则 B(- a， 0)．因为IABI2 = (a + b)2 + C2 ,IACI2= (a- b)2+ c2，IADI2= b2+ c2，IDCI2= a2，所以IABI2 + IACI2 二 2@2 + b2 + C2),IADI2+ IDCI2= a2+ b2+ c2，所以IABI2 + IACI2 二 2(IADI2 + IDCI2).反思感悟 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3) 将几何关系转化为坐标运算；(4) 把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练2已知等腰梯形ABCD中，AB^DC,对角线为AC和BD. 求证：IACI = IBDI.证明 如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a - b , c).••.IACI 二 (b - 0)2 + (c - 0)2 二 b2 + C2 ,IBDI 二(a - b - a)2 + (c - 0)2 二 b2 + c2. 故IACI 二 IBDI.1. 已知 M(2,l), N(—1,5),则MNI等于( )A. 5 B.V37 C.V13 D. 4答案 A解析 MNI 二(2 + 1)2 + (】-5)2二5.2. 直线y=x上的两点P, Q的横坐标分别是1,5，则IPQI等于()A. 4 B. 4迈 C. 2 D. 2迈答案 B解析 "(1,1) , Q(5,5),・•・ IPQI 二冷42 + 则\:'(x -1)2 + (y - 3)2 二寸(x + 5)2+ (y _ 1)2,即 3x + y + 4 二 0. (多选)直线x+y—1 = 0上与点P(—2,3)的距离等于、'2的点的坐标是()A. (— 4,5) B. (— 3,4)C. (—1,2) D. (0,1)答案 BC解析 设所求点的坐标为(x0 ,y0),有2 二 4承.3. 到A(1,3), B(—5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A. 3x—y—8 = 0 B. 3x+y+4=0C. 3x—y+6=0 D. 3x+y+2 = 0答案 B解析 设 P(x， y)，两式联立解得xo 3 ，5.已知△ABC的顶点坐标为A(—1,5), B(—2, —1), C(2,3),则BC边上的中线长为 .答案\'17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC边上的中线长为\：( - 1 -0)2 + (5 - 1)2二\帀・-课堂小结 1. 知识清单：两点间的距离公式．2．方法归纳：待定系数法、坐标法．3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．1 •已知 A(—1,0), B(5,6), C(3,4)，则|AC等于()A.| B，2 C. 3 D. 2 答案 D解析IACI二4迈，ICBI二2远，故需二2.2. 已知△ABC 的顶点 A(2,3), B(—1,0), C(2,0)，则△ABC 的周长是( )A. 2百 B. 3+2估C. 6+3迈 D. 6+帀答案 C解析 由两点间距离公式得IABI 二 \j(2 + 1)2 + (3 - 0)2 二 3农,IBCI 二 - 1 - 2)2 + (0 - 0)2 = 3 ,ICAI 二(2 - 2)2 +(3 - 0)2二3・故△ABC的周长为6 + 3卩3. 已知坐标平面内三点A(3,2), B(0,5), C(4,6)，则△ABC的形状是( )A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案 C解析 由两点间的距离公式，可得IABI 二...JT8 , IBCI 二 ICAI 二仲,且 IBCb + ICAjBb，「.△ABC为等腰三角形.4. 在△ABC中，已知A(4,l), B(7,5), C(—4,7), D为BC边的中点，则线段AD的长是( )A. 2\[5 B. 3\；亏 C.5^5 D.7^5答案 C解析 由中点坐标公式可得，BC边的中点D(|，6)由两点间的距离公式得IADI二2 .故选C.5.两直线3ax—y—2 = 0和(2a —1)x+5ay—1 = 0分别过定点A, B,则IABI的值为(A.511答案 C解析 直线 3ax - y - 2 = 0 过定点 A(0 ,- 2),直线(2a - 1)x + 5ay -1=0 过定点B( _ 1，5)，由两点间的距离公式，得IABI二乎.6.已知点 A(—2,—1), B(a, 3),且IABI = 5，则 a 的值为 答案 1 或—5解析 由两点间距离公式得(- 2- a)2+ (- 1- 3)2= 52，所以(a + 2)2 二 32 , 所以 a+ 2= ±3，即 a= 1 或 a=- 5.7. 在x轴上找一点Q使点Q与A(5,12)间的距离为13,则Q点的坐标为 答案 (10,0)或(0,0) 解析 设Q(x0,0)，则有13 = (5-x0)2+122,得 x0 = 0 或 x0 = 10.8. 直线 2x — 5y — 1 0 = 0与坐标轴所围成的三角形面积是 .答案 5解析 令x = 0,则y=-2 ；令y二0,则x = 5..\S = 2X| - 2IX151 二5.9. 已知直线ax+2y—1=0和x轴、y轴分别交于A, B两点，且线段AB的中点到原点的距 离为¥，求a的值.解 由题易知aM0，直线ax + 2y- 1=0中，令y二0,有x二*，则Ag，°）， 令 x = 0,有 y = 2,则 B（0,£,故AB的中点为£1）,7 + kx 二 ，k+ 2 4k- 2(7 + k4k-2)k+ 2 )由 LABI 二勺+ k^k + 2 + 1 2、k + 2 )= 5,•・•线段AB的中点到原点的距离为乎，解得k=-4, ••直线l的方程为y + 1 =- |(x - 1),即 3 x+ 4y+ 1 = 0.当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x=1.此时，与••• （2*-0）2 +（4-0）2=42,解得 * = ±2.10.已知直线l： 2x+y—6 = 0和点A（1,T）,过A点作直线l与已知直线14相交于B点, 且使IABI = 5，求直线l的方程.解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y + 1=k（x-1）, 2x + y - 6 = 0 解方程组］y = kx - k - 11的交点为（1,4），也满足题意，综上所述，直线l的方程为3x + 4y+l二0或x=1.11.以点A( —3,0), B(3,—2), C(T,2)为顶点的三角形是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.以上都不是答案 C解析 IABI = \： ( - 3 - 3)2 + 22 36 + 4 ^.'40 二 2才通,|BC=:j( - 1 - 3)2 + (2 + 2)2 二、］16 + 16 二 丫32 二 4述,IAChJ( - 1 + 3)2 + 22 8 二 2品,IACI2 + IBCb 二 IABI2「.△ABC为直角三角形.故选C.12.已知 x, yWR , S=\'(x+l)2+y2+\：(x—l)2+y2，则 S 的最小值是( )A. 0 B. 2 C. 4 D:、辽答案 B解析S二p(x + 1)2 + y2 + \:'(x - 1)2 + y2可以看作是点(x , y)到点(-1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.13.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2,-1)，则IABI= 答案2虧 解析 设 A(a， 0)， B(0， b)，a + 0〜二 2，由中点坐标公式，得'b + 0U八1IPW+IPBI2ipci2・•・ IABI 二冷'(4 - 0)2 + (0 + 2)2 二 2；/5.14.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，贝V答案 10解析 以C为原点,AC ,BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略), 设 A(4a , 0) , B(0,4b)，则 D(2a , 2b) , P(a , b),所以IPAb 二 9a2 + b2 , IPBI2 -a2 + 9方2 , IPCI2 二+ 方2 , 于是IPAb + IPBI2 - 10(a2 + 方2) - 10IPCI2 ,IPAI2 + IPBI2ipci215. 光线从B( —3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10),则光线从B到A经过的路程为答案5110解析B( - 3,5)关于x轴的对称点为B' ( - 3 ,- 5) , AB'交x轴于P点，所以 IPAI + IPBI 二 IAB，丨二 \：'(2 + 3)2 + (10 + 5)2 二 5浮,即光线从B到A经过的路程为5®16. AABD和ABCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明IAEI = ICDI.证明 如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，设AABD和ABCE的边长分别为a，c，则 A（- a， 0）， C（c则 \AE\ =+ ac + c2 ,\CD\ 二-C 2所以\AEI 二 \CD\.。