北大.群论.讲义.王宏利.第5章

第五章 置换群与酉群§5.1 n阶置换群Sn【定义5.1】 （置换）将n个数字{1，2，…，n}的排列映为排列，称为一个n阶的置换，记为s, 置换s把a1换为b1，a2换为b2，…，an换为bn，它决定于诸双数码的对换，与诸对数码的排列顺序无关定义5.2】 （置换群）定义两个置换r，s的乘积rs为先实行置换s，再实行置换r，则在此乘法下所有n阶置换作成的集合，构成一个群，称为n阶置换群或对称群，记为Sn单位元：恒等置换逆元：，，置换的乘法满足封闭性和结合律，Sn群的阶为n！定义5.3】 （轮换）一种特殊形式的置换：称为轮换，记为，轮换数码的个数m称为轮换的阶•系1 轮换内的数码作轮换，仍表示同一个轮换，即：•系2 两个轮换和若没有公共数码，则称它们相互独立；相互独立的轮换之间的乘积满足交换律，即： •系3 任意的n阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积例如：（1 4 5）（2）（3 6）=（1 4 5）（3 6）=（1）（2）…（n）一阶的轮换将自身映为自身，可略去不记，故S0=（1）=（2）=…=（n）•系4 轮换的逆：（e1 e2 … em）-1=（em em-1 … e2 e1）•系5 2阶轮换（e1 e2）称为对换，任一m阶轮换可以写为（m-1）个对换的乘积。

如： 一般地有：由于诸对换因素有相同数码e1，故它们的乘积不可交换•系6 任意对换（a a+k）满足递推关系：（a a+k）=(a+1 a+k) (a a+1) (a+1 a+k)证明：右边 = 左边•系7 由系3、系5、系6可知，任意置换可以写为相临数码对换的积例如=（1 4）（1 3）=（2 4）（1 2）（2 4）（2 3）（1 2）（2 3）=（3 4）（2 3）（3 4）（1 2）（3 4）（2 3）（3 4）（2 3）（1 2）（2 3）一般地：（a a+k）=（a+1 a+k）（a a+1）（a+1 a+k）=（a+2 a+k）（a+1 a+2）（a+2 a+k）（a a+1）×（a+2 a+k）（a+1 a+2）（a+2 a+k）◆定理5.1◆ 具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类证明：两个置换具有相同轮换结构是指它们包含相个数的轮换因子，并且各轮换因子中数码个数也分别相同① 共轭置换具有相同轮换结构:，, , 有： s的共轭元由t对s中上下两行数码同时作t置换得到当s为无公共数码轮换的积的形式时，的轮换形式由t对s的每个轮换因子中的数码作置换得到。

假设置换s有k个独立轮换因子si, i=1,2,…k构成，s=s1s2…sk , 则共轭tst-1= ts1t-1ts2t-1…tskt-1考察t对一个轮换因子si的共轭运算，假设：，，在t的变换下，si的第一行假设被变换为（t1 t2 … tm-1 tm），则其第二行必变换为（t2 t3 … tm t1），于是，，仍然是同阶的轮换，它由t对si的中的数码做置换得到故tst-1通过t对s中的轮换数码做置换得到，两者具有相同的轮换结构如：，，有：② 具有相同轮换结构的置换相互共轭：若s，具有相同轮换结构：，，则存在，有r = tst-1由①，②知具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类•系1 Sn群的一个类可用轮换结构（v）来表示，即该类由独立的v1个1阶轮换，v2个2阶轮换，…，vn个n阶轮换v1，v2，…，vn为非负的整数，满足：•系2 Sn群中的类（v）的元素个数为：，这是因为：① l阶的一个轮换有l种写法：，vl个l阶轮换共有种写法；② vl个l阶轮换有vl！种不同的排列•系3 Sn群的类常用来描述，其中：，…，显然：，且称为n的一个分割，Sn群中共轭类的数目等于n的分割个数；两个分割，，如果第一个非零差，则称大于，记为>。

•系4 n的一个分割或Sn群的一个类经常用杨图来表示：杨图是n个小方格的排列，排列方式为第一行、第二行、…、第n行各由个小方格组成，杨图第一列的小方格上下对齐例5.1 S3群的类分割：[3]，[2 1]，[1 1 1]≡[13]，杨图为：分别对应（13 20 30），（11 21 30），（10 20 31）S4群的类分割：[4]，[3 1]，[2 2]，[2 1 1]，[1 1 1 1]，5个类对应的杨图：对应（14 20 30 40），（12 21 30 40），（10 22 30 40），（11 20 31 40），（10 20 30 41）一个杨图若可以由另一个杨图的行列互换得到，则称该二杨图相互共轭；若一个杨图行列互换而杨图不变，则称它自轭§5.2 杨盘及其引理【定义5.4】 （杨盘）将数字1，2，…，n分别填到Sn群杨图的n个小方格中，这样的杨图称为杨盘S6的杨图[3 2 1]的两个杨盘Ta和Tb：·系1 由一个杨图可以得到n!个杨盘·系2 杨盘中的数字可用其所在的行和列即（i，j）确定·系3 同一杨图的不同杨盘Ta和Tb，可通过一置换相互转换将杨盘Ta和Tb中的n个数码从左到右、从上到下排成有序列：，则将杨盘Ta变为杨盘Tb的置换。

如S6的杨图[3 2 1]的两个杨盘Ta和Tb有：·系4 由一个杨盘T可以定义行置换R(T)和列置换C(T)：R(T)：保持各行中数字在所在行中的全部置换p的集合{p}；C(T)：保持各列中数字在所在列中的全部置换q的集合{q}R(T)和C(T)显然为Sn的子群，它们有唯一公共元素s0；若杨盘T对应杨图为，则R(T)的阶显然为；C(T)的阶为杨图为杨图的共轭·系5 由行，列置换p，q可以定义算符P(T)和Q(T):，, P(T)和Q(T)显然为Sn的群代数中的元素置换的奇偶性：奇（偶）置换：能分解为奇（偶）数个对换乘积的置换阶为l的轮换的奇偶性与l－1的奇偶性相同·系6 同一杨图的不同杨盘，其同构，同构例5.2 S6的杨盘Ta对应的行置换R(T)和列置换C(T)： （(1)为恒等置换s0）定义5.5】 （杨算符）杨盘T的算符P(T)、Q(T)的乘积，定义为杨盘T的杨算符E(T)：显然·系1 若，且，则必有证明：由，得而故必有，，即·系2 由系1知杨算符E(T)为不同群元的线性组合，必有下面介绍几个关于杨盘的引理，并证明上述定义的杨算符正是Sn的群代数的本质本原幂等元。

※引理5.1※ 设是由置换r相联系的杨盘，；如果置换s作用在T上，使得T（i，j）数字变到sT中的处，则使得中的（i，j）数字也变到中的处证明：设分别为由杨盘的行数码从左至右、由上至下得到的n个数码的序列，由于，故有： ，由于等于r对s的上下行分别作置换，故必有：，比较置换r第二个等号的两边易知，若左边第i个数码ti在右边的位置为第j个数码，则左边与数码ti同列的数码在右边的位置也必然为j；故在对应的杨盘中发生变化的数码位置也相同，定理得证例5.3 ·系1 设，则，，证明： 选定任意，，p只引起T中同行数字置换，有只引起杨盘中同行数字置换，故当p取遍R(T)中元素时，可得实际上因为T，属同一杨图，R(T)，同构，，为Sn的相互共轭子群类似地可以证明：故可得：，，以上结论给出了同一杨图的不同杨盘的杨算符之间的关系※引理5.2※ 设p和q分别是杨盘T的行列置换，则T中位于同一行的任意两数字不可能出现在的同一列中；反之，若，而T中位于同一行的任意两个数字不出现在的同一列，则杨盘T存在行列置换p，q，使得r = pq 证明：1．，令，q为杨盘T的列置换，故为杨盘列置换有，而列置换不能将中同一行的任意两数字变到的同一列，而，故的行数码与T的行数码相同（因为），故亦即T中同一行的任意两数码经p再经即pq作用后不能变到的同一列。

2．反过来，，T中同一行任意两数码不出现在的同一列，亦即同列两数码处在T的不同行中，故总可以用行置换p对T作行置换使结果与的各列数码相同（上下次序可不同），进一步对作列置换，，可使得与完全相同，即另一方面，令，由 （因），故有引理5.2是同一杨盘的一个结论，对于不同杨图的杨盘有引理5.3※引理5.3※ 设杨盘T和分别属于杨图，则存在两个数字位于T的同一行和的同一列证明：设，，意味着 第一个不等于0的反证：设T中任两同行数码均在的不同列中，先看T，若其第一行的个数字的任两个均在不同列中，即个数字在的不同列中，则必须，而，故必有，且可对作列置换使结果和T的第一行数码相同（次序可能不同）；由于列置换不会使原来中同列的数字变为不同列（即同行），故仍有T中两任意同行数码均在的不同列中，故对于和T的第二行与第一行情形同理，有，如此进行下去，最后可得到，与题设有矛盾定理得证引理5.3是不同杨图的杨盘间的一个重要性质※ 引理5.4※ 若有两个数字，位于杨盘T的同一行，又位于杨盘的同一列，则它们的杨算符满足：证明：设数字a1, a2位于杨盘T的同一行又位于的同一列，则有对换，为Sn的子群，又为群Sn单位元，且t为奇置换，，且由重排定理有：，则： 故有：。

上式左乘，右乘Q(T)，有：, 即·系1 由引理5.3和引理5.4知，当为属于不同杨图，设，则有※引理5.5※ 设Sn群代数中的矢量，，T为Sn的杨盘若有，则与T盘的杨算子E(T)相差一个常数因子，即, 常数与有关证明：① 首先可证Sn中不能写成pq形式的群元s可以表示为psq形式，即s = psq，，令，或由于s不具pq形式，由引理5.2的逆反命题可知，至少存在两个数码a1，a2即位于T的同一行又位于的同一列取，有；由于由引理5.1知，，取，故有：② 由满足的条件有：，可定出的系数：i．s具有pq形式时，取上式最后一等号左边的s为so，左边求和中有，等号右边的pq项为：，由pq项系数相等，有；令，有；选取不同p、q可以得到所有具有pq形式的s群元的系数ii．当s不具pq形式时，可由上述①的结论选取取，利用psq = s由上式可得：，即，而此时（因），故，有综上两种情形，的系数故：即，定理得证※引理5.6※ 杨盘T的杨算符E(T)是群代数Rsn的一个本质的本原幂等元，不变子空间RsnE是Sn群的一个不可约的表示空间，其维数为n！的因子证明：① ，有:,由引理5.5有：, 故若，则有E为本质幂等元。

② 可定出的取值情况：对于给定杨盘T，由于E（T）为幂等元，则存在与之对应的投影算符P，有，下边证明由算符P的迹可定出：i．取Sn群元素s1, s2, s3, …, sn为RSn的基底, 在此基下，变换P的对角元Pjj为： （令） = （令） = （E(T)在s0上的分量为1）故迹：.ii．若取Rsn的基为：，其中为子空间RsnE的基（易验证RsnE为线性空间，因，f最小等于1）在此基下变换P的对角元Pjj：A． j = 1，2，…，f时： ；B．时： （因，无上的分量）变换P的迹不随基的选取不同而不同，故迹，，即杨算符E为本质幂等元又的系数，故E2的系数亦必为整数，由知必为整数，故整数亦即子空间维数为n！的因子③ 幂等元为本原幂等元：，，，有：由引理5.5知：（与有关）由本原幂等元判别定理知，为群代数RSn的本原幂等元，RSnE为Sn的不可约表示空间·系1 从一个杨盘T，可求出一个本原幂等元，从而得到Sn群的一个不可约表示※引理5.7※ Sn群同一个杨图的不同杨盘给出的不可约表示是等价的，不同杨图的杨盘给出群的不等价不可约表示证明：群代数是群元素算符的不变空间，对应群G的正则表示，考虑左正则表示L(g)。

设有两杨盘，杨算符分别为，各对应不可约表示，相应表示空间为，1．杨算符对应的不可约表示等价的充要条件是，至少存在一个群代数RSn中的元素，满足（此论断对一般的群代数同样成立）① 充分性：若，可定义映射：，，可以证明P为一一映射：i．满映射：令，可证为群不变子空间：，有： （因为，W为群不变子空间），即为群不变的子空间，由于，故：有即；由于为不可约表示空间，故必有ii．P是单射：可证若，则，否则集合为群不变子空间，由于e不属于集合A（因为），故该集合A未充满W，由W是不可约表示空间知该集合A为零空间，即A＝故：若，必有，否则有 ，与上述结果矛盾，故P为单射由于存在一一映射P，存在逆映射P－1，可得：，，故 即，与等价③ 必要性：由与等价可证存在设有等价映射P，满足：任意，，有，即由于s为任意，故有，有：定义，有（等价映射P的性质）则：由于，故有（因为幂等元对应不变子空间为）故，由，故有必要性成立2．① 当属同一杨图时，必存在，有，故有，此时有（否则E=0）由上述1的结果知，对应的不可约表示等价② 当不属同一杨图：不失一般性，设，，杨盘sT的杨算符为由引理5.4，有，两边右乘s，即得由于s任意，故不可能找到，使。

因此不同杨图的杨盘给出不等价不可约表示以上的七个引理总结得到以下定理：◆定理5.2◆ 杨盘T的杨算符E(T)是群空间本质的本原幂等元，不变子空间E(T)给出Sn群的一个不可约表示；同一杨图的不同杨盘给出等价的不可约表示，不同杨图给出不等价不可约表示置换群不等价不可约表示的数目等于杨图的个数§5.3 Sn群的不可约表示【定义5.6】 （标准盘）每行和每列的数字从左到右，从上到下都是逐渐增加的杨盘称为标准盘•系1 对杨图的标准盘，按各行数字大小进行排序，数字小的杨盘在前，大的在后标准盘表示杨图的第i个标准盘例5.4 ① S3群的标准杨盘：② S4群杨图[3 1]的标准盘:◆定理5.3◆ 杨图所对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准盘的个数：, 其中gij为杨图的第i行第j列的“钩长”，等于杨图中以（i，j）格子为角顶的“直角尺”所包含的格子数目如：S13的杨图[6 4 3]所对应不可约表示的维数为： = 6435•系1 由勃恩赛德定理，有：例5.5 求Sn群的杨图的不可约表示[n]只有一个标准杨盘为单位元，杨算符根据重排定理有，故：，，故表示空间（C为复数域），只有一个基，可以取为，，故，为Sn的一维恒等表示。

例5.6 求 群的杨图[2 1]对应的不可约表示杨图[2 1]有两个标准盘，由其中一个标准盘如可得与之相应的二维不可约表示不可约表示空间为：确定表示空间的2个基：用每个S3群元与相乘：；；；；；；由以上结果可知表示空间的任何矢量可表示为和的线性组合，故以为基可得S3的一个二维不可约表示如：（132）的矩阵元：故（132）的表示矩阵为：表示空间的基可以有其他选择，如，由此可得到等价的不可约表示以上求Sn群不可约表示的方法是从其杨图的任一杨盘出发，得到Sn群的一个不可约表示空间，其维数为杨图可作标准维盘的个数；任意选择不可约空间的个基，可得到Sn群的一个不可约表示以上方法得到的表示一般不是酉表示下面简要介绍求Sn群表示的半正则母单位方法和正则母单位方法，对相关的结论不作证明这两种方法可以求出不可约表示的解析式定义5.7】 （标准盘系列）为群的Sn的一个标准盘，将中数码n所在格子删除得标准盘，将中数码n-1所在格删除得标准盘，如此一直进行到最后得到数字1的杨盘标准盘，，，…，称为的标准盘系列•系1 不同的标准盘给出的标准盘系列不同•系2 由标准盘系列中各盘的杨算子可得相应本原幂等元：，，…，，它们分别为群代数的本原幂等元。

•系3 由标准盘系列中各盘的杨算子可定义算符，， 为群Sn单位元由判据，可以验证为群代数RSn的本原幂等元，且满足：正交关系：，且： 例5.7 求S3群的所有标准盘及诸算符由，有：， ； ；同样可求得其他本原幂等元定义5.8】 半正则母单位杨图的两个标准盘，存在，使，由算符和，可定义算符，并进一步定义半正则母单位：其中、由【定义5.7】系3定义，为n的任意分割•系1 ，且•系2 半正则母单位共有个，它们构成群代数RSn的完备基，任意，有：定义5.9】 半正则表示对于杨图，其个半正则母单位中；固定，构成不可约左正则表示的基； 又如固定，构成不可约右正则表示的基；且由这两种基得到的不可约表示相同，，称为半正则表示•系1 当取遍所有杨图时，得到Sn群的所有不等价不可约表示•系2 群Sn的任意群元可以写为相临数码对换的乘积；由相邻数码对换其中的不可约表示矩阵，可以求出Sn群任意群元s的表示矩阵•系3 对换的表示矩阵的求法：① 当处在的同一行时，对角元；② 当处在的同一列时，对角元；③ 不在的同一行和同一列，则令，则此两杨盘相联系的矩阵元为：；；；其中是中数字k-1到k的轴距离，定义为从k-1到数字k，凡是向左或向下数一方格为+1，向右或向上数一方格为-1。

④ 不属以上三种情形时，半正则表示不是酉表示，由下面介绍的正则母单位可以得酉表示定义5.10】 （正则母单位）对标准盘系列中各盘定义实数：其中vn为盘中最大数字即n-i所在的行序数，为数字n-i与盘中第v行最后一个（或最大）数字的轴距离若n-i位于第一行，则定义由，对标准盘定义实数：，并进一步定义正则母单位：•系1 正则母单位满足：，且n！个构成群代数RSn的完备基，即：，【定义5.11】 （标准表示）杨图的个正则母单位中，固定下标构成不可约左正则酉表示的基；固定构成不可约右正则酉表示的基；由这两种基得到的酉表示相同，称为Sn群的标准表示，记为•系1 当取遍所有杨图，得到Sn的所有不等价不可约酉表示•系2 相临数码的对换的表示矩阵的矩阵元取法：① 当在标准盘的同一行时，；② 当在的同一列时，；③ 不在的同一行和列，设，是k-1到k在中的轴距离，则：，，，；④ 其他情形： 例5.8 求S3群的杨图[21]对应的标准不可约酉表示[21]有两个标准盘：（12）的矩阵元：（轴矩在为-1，在上为+1），，，；故（23）的矩阵元：2到3的轴矩在上为+2，， 2到3的轴矩在上为-2，，故：， 表示矩阵为：。

练习：求S4群的群元（23）在杨图[31]对应的标准表示中的表示矩阵结果为：§5.4 U(m)群和SU(m)群的不可约表示【定义5.12】 (酉群U(m) )在矩阵乘法下，m维复线性空间中的所有酉矩阵，构成一个无限群，称为m维酉群，记为U(m)，即 •系1 任一m阶酉矩阵u，总可以找到一个m阶酉矩阵v使之对角化，即故酉群U(m)的一个类可由对角矩阵来标记，其中定义5.13】 ( 特殊酉群SU(m) )酉群U(m)中所有其行列式为1的酉矩阵在矩阵乘法下构成一个群，称为m维特殊酉群，记为SU(m), 无限群SU(m)是U(m)的子群•系1 SU(m)群的一个类由对角矩阵来标记，其中定义5.14】 （U(m)的n阶张量表示）U(m)是矩阵群，其本身即是自身的忠实表示，n个U(m)群的真积，也是U(m)群的表示，称为U(m)群的n个阶张量表示，记为,•系1 记U(m)的表示空间V，基为，则的表示空间，基为，共有个基中任意向量可表为：，又称为中的张量，在个基底上共有个分量定义5.15】 （f级表示）设任意元素u的矩阵元为，若群的一个表示，群元u的表示矩阵B(u)中的每一个矩阵元都是u的矩阵元的f次整函数（即f个u的矩阵元乘积的线性组合），则称B为的一个f级表示。

••系1 的n阶张量表示是一个n级表示定理5.4】 群的所有n级不可约表示都包含在其n阶张量表示中•系1 中的所有不可约表示均是n级不可约表示；若为不可约不变子空间，则为在上的不可约表示•系2 若能将空间约化为其全部不可约不变子空间的直和，则可以得到群的所有n级不可约表示由投影算符理论，若能找到上一组不能分解的、与表示可交换的投影算符，即可将约化为不可约的不变子空间的直和下面我们可以看到，置换群Sn的正则母单位为Sn群的杨图，经过重新定义后正好可以构成群n阶张量表示的表示空间上的一组不能分解且与可交换的投影算符定义5.16】 （作为投影算符的正则母单位）设为Sn群的正则母单位，为酉群的n阶张量表示空间为的基；定义对中任意矢量：的作用为，记在基上的分量为，令，右边对的作用定义为中的诸置换对下标分别作用后求和，求和系数即为中诸置换的系数例5.9 S3群的，，，•系1 可以证明算符与上的表示可交换，即，原来正则母单位的性质在新条件下同样适用：， （在置换群中求和为So，由于，故此时取1，为恒等算符）由于是置换群代数空间的本原幂等元，作为酉群的n阶张量表示空间上投影出的子空间构成不可约表示子空间。

•系2 相同杨图的不同算符、的不可约子空间、通过等价交换相联系，它们给出的不可约表示、等价•系3 的不变子空间，，当k > m时为零空间，即作用于中的任意分量都为零故中的不可约表示的数目少于等于Sn群不可约表示的数目上的表示可用来标记问题：Un(m)），当n

一维子空间基底为为任意参数上张量表示为：在上的一维2级不可约表示：基为，故u的表示为同理可求出在上的三维2级不可约表示•系6 两个不可约表示的特征标亦即舒尔函数S的乘积有如下性质：这意味着直积表示等价于诸杨图的不可约表示的直和，其中杨图由如规则确定：由杨图加上个标有“a”的方格，个标有“b”的方格，个标有“c”的方格等等形成，往添加小格子时受以下两个条件限制：（1）相加过程的每一步都要构成杨图，且有相同标号的方格不得排在同一列；（2）添加结束后，由每行从右到左从上到下得到的格号，序列如abc… 的排列中，要求该序列的任意前i个标号中，a出现的次数大于或等于b出现的次数，b出现的次数大于或等于c出现的次数，如此等等例5.11 求群的不可约表示与的直积所包含的不可约表示解：杨图与诸杨图之间可由下图表示：标号序列： aab， aab， aba， aab即故有：•系7 群的不可约表示也是其子群的不可约表示；并且若杨图满足：，其中a为不大于的整数，则对于群元，由于＝1，其特征标满足，不可约表示与作为群的表示互相等价故群的所有不等价不可约表示可用分割来标记[5432]与[3210]标志的表示等价。