福建省高三数学理毕业班4月质量检查试题含答案

2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分．考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（A） （B） （C） （D）（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的的值等于3，则输入的的值可以是 （A） （B） （C）8 （D）（3）已知，，则的值等于（A） （B） （C） （D）（4）已知，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）若满足约束条件则的取值范围为（A） （B） （C） （D）（6）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（A） （B）8 （C） （D）（8）在中，，，，，则（A） （B） （C） （D） （9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）（10）在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为 （A） （B） （C） （D）（11）已知分别为双曲线的左、右焦点，若点是以为直径的圆与右支的一个交点， 交于另一点，且，则的渐近线方程为 （A） （B） （C） （D）（12）已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（A）对于任意， <0 （B）对于任意， >0 （C）当且仅当，<0 （D）当且仅当，>0第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13）若随机变量，且，则 ．（14）若展开式中的常数项为，则　　． （15）若数列的各项均为正数，前项和为，且，则 ．（16）已知点，且平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则四边形的面积为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17）（本小题满分12分）在△中，，点在边上，，且．（Ⅰ）若△的面积为，求； （Ⅱ）若，求． （18）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值． （19）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪， 40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为(单位：元), 求的分布列和数学期望； （ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（20）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，以为圆心的圆过点，且．（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；（Ⅱ）设是圆上的点，过点且垂直于的直线交于两点，证明：．（21）（本小题满分12分）已知函数，．曲线与在原点处的切线相同．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若时，，求的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修：几何证明选讲如图，△的两条中线和相交于点，且四点共圆．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求． （23）（本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （Ⅰ）求的普通方程和的倾斜角；（Ⅱ）设点，和交于两点，求．（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设，证明：．2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13） （14） （15） （16） 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为, 即， 2分又因为,，所以 ． 3分在△中,由余弦定理得，, 5分即，解得． 6分（Ⅱ）在△中，，可设，则，又，由正弦定理，有， 7分所以． 8分在△中, ，由正弦定理得，，即， 10分化简得，于是． 11分因为，所以，所以或, 解得，故． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为，所以．取中点，连结，所以． 7分设，因为，所以．在△中，． 8分以下同解法一．（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）连结，在中，，由余弦定理得，， ∴，…………………………………………1分∴，∴．………………………………………2分又∵为等腰直角三角形，且，∴，又∵，∴平面． 4分又∵平面， ∴． 5分（Ⅱ）∵，∴，∴． 6分如图，以为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 7分则， ∴． 8分设平面的法向量，由得令，得．∴平面的一个法向量为． ……………………9分∵，……………………………………………………………………………10分∴，….……………11分∴与平面所成角的正弦值为． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点作平面，垂足为，连结，则为与平面所成的角． 6分由（Ⅰ） 知，，，，，∴，∴，又∵，∴平面， 7分∴． 8分取中点，连结，∵，∴．又在中，，∴，∴，∴，∴． 9分∵， ∴，即，∴． 10分∵平面，平面，∴，三棱柱中，，，∴，∴． 11分在中，，所以与平面所成的角的正弦值为． 12分（19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件，则． 4分（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，； 当时，； 当时，；当时，；当时，． 所以的所有可能取值为152,156,160,166,172． 6分故的分布列为：152156160166172 8分． 9分（ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为． 10分所以甲公司送餐员日平均工资为元． 11分由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为元．因为，故推荐小明去乙公司应聘． 12分（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)将代入，得，所以， 1分又因为，所以△是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以抛物线，…………………………………………3分此时圆的半径为，所以圆的方程为． 4分 (Ⅱ)设，依题意，即． 5分（ⅰ）当直线斜率不存在时，，①当时，由，得．不妨设，则即． ②当时，同理可得，．………………….6分（ⅱ）当直线斜率存在时，因为直线与抛物线交于两点，所以直线斜率不为零，且． 因为，所以，所以，…………………………………………………..7分直线．由得， ， 8分即，所以， 9分所以 10分，所以． 12分解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设，依题意，即， （*） 5分设，则，， 6分由于，，所以 7分注意到， 8分由（1）知，若，则，此时不满足（*），故，从而（1），（2）可化为． 9分以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为，， 2分依题意，，解得， 3分所以，当时，；当时，．故的单调递减区间为， 单调递增区间为． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，取得最小值0． 所以，即，从而．设则， 6分（ⅰ）当时，因为，所以（当且仅当时等号成立），此时在上单调递增，从而，即． 7分（ⅱ）当时，由于，所以． 8分由（ⅰ）知，所以，故，即． 9分（ⅲ）当时， 令，则，显然在上单调递增，又，所以在上存在唯一零点， 10分 当时，所以在上单调递减，从而，即所以在上单调递减，从而当时，，即，不合题意． 11分综上， 实数的取值范围为． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，取得最小值0． 所以，即，从而．设则， 6分（ⅰ）当时，在恒成立，所以在单调递增． 所以，即． 9分（ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，当时，（当且仅当时等号成立），所以当时，，．所以． 10分于是当时，所以在上单调递减.故当时，，即，不合题意． 11分综上， 实数的取值范围为． 12分解法三：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）（ⅰ）当时，由（Ⅰ）知，当时，取得最小值0．所以，即，从而，即．所以，，． 6分（ⅱ）当时，设则，令，则．显然在上单调递增． 7分①当时，，所以在上单调递增，；故，所以在上单调递增，，即． 9分②当时，由于，所以在上存在唯一零点， 10分当时， 单调递减，从而，即在上单调递减，从而当时，，即，不合题意． 11分综上， 实数的取值范围为． 12分请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修：几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结，因为四点共圆，则． 2分又因为为△的两条中线，所以点分别是的中点，故． 3分所以， 4分从而． 5分（Ⅱ）因为为与的交点，故为△的重心，延长交于，则为的中点，且． 6分在△与△中，因为，，所以△∽△， 7分所以，即．………………………………………………………9分因为，，，所以，即，又，所以． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，，因为四点共圆，所以， 6分所以∽，所以， ……………………………………………7分由割线定理，， 9分又因为是的中线，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因为，所以． 10分（23）选修；坐标系与参数方程本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（Ⅰ）由消去参数，得，即的普通方程为． 2分由，得，………（＊） 3分将代入（＊），化简得， 4分所以直线的倾斜角为． 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在直线上， 可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数）， 7分代入并化简，得． 8分．设两点对应的参数分别为，则，所以 9分所以． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一. 5分（Ⅱ）直线的普通方程为.由消去得， 7分于是.设，则，所以， 8分故. 10分（24）选修：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是； 2分（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解； 3分（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是； 4分综上，． 5分（Ⅱ）因为 6分 7分． 8分因为，所以，， 9分所以，即． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为， 7分所以，要证，只需证，　即证， 8分即证，即证，即证． 9分因为，所以，所以成立，所以原不等式成立． 10分。