7.1.2三角形的高、中线与角平分线
学习帮助热线：4006-3456-997.1.2 三角形的高、中线与角平分线◆典型例题【例1】 如图7－11所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中正确的是( )图7－11(1)AD是△ABE的角平分线；(2)BE是△ABD边AD上的中线；(3)CH是△ACD边AD上的高.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】 本题考查三角形的角平分线、中线和高这三个概念.由∠1=∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段.所以(1)不正确；同样BE虽然经过△ABD边AD的中点G，但BF也不是△ABD内的线段，因此(2)也不正确；由于CH⊥AD于点H，由三角形高的定义知CH是△ACD边AD边上的高，故(3)正确.【答案】 B【例2】如图7－12，BM是△ABC的中线，若AB=5 cm，BC=13cm，那么△BCM的周长与△ABM的周长差是多少?图7－12【解析】 本题要准确利用中线的性质，将周长之差转化为线段之差.△BCM的周长为BC+CM+MB，而△ABM的周长为AB+BM+AM，由BM是中线可得AM=CM，两周长相减即为BC与AB的差.【答案】 因为BM是△ABC的中线，所以A1=CM.又因为△BCM的周长为BC+CM+MB，△ABM的周长为AB+BM+AM，所以△BCM的周长△ABM的周长=(BC+CM+MB)－(AB+BM+AM)=BC－AB=13－5=8(cm)【例3】 如图7－13，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AC，已知AF=6，BC=10,BG=5.图7－13(1)求△ABC的面积；(2)求AC的长；(3)说明△ABC和△ACD的面积的关系.【解析】 (1)由于△ABC的底边BC上的高AF的长度已知，根据三角形面积公式可求出面积；(2)用面积法.由于△ABC的面积有两种计算方法，用面积法列式·BC·AF=AC·BC，可求出AC的长，(3)由“等(同)底等(同)高的两个角形面积相等”可知∶三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形(△ABC、△ACD等底同高，因而面积相等).【答案】 (1)因为BC=10，AF⊥BC，AF=6，所以S△ABC=BC·AF=30.(2)因为BG为△ABC的高，所以S△ABC=AC·BG=AC·BG=BC·AF，因为BG=5，BC=10，AF=6，所以AC=12；(3)因为AF⊥BC，所以S△ABC=BD·AF，S△ACD=CD·AF，因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD.所以S△ABC=S△ACD，即△ABC和△ACD的面积相等.◆同步作业一、填空题(每题5分，共50分).1.如图7－14，AD⊥BC，垂足为D，则AD是_____的高，∠_________=∠________=90°. 图7－14 图7－15 图7－162.在上题图中，AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫做△ABC的__________，∠__________=∠__________=∠__________.3.三角形的高、中线、角平分线都是__________.4.如图7－15，若BD=DE=EC，则AD是__________的中线，AE是__________的中线.5.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是__________6.如图7－16，E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，FD⊥AC，则BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的_______；EF既是_______的中线，又是______的中线；FD是______的高.7.如图7－17，BD是△ABC的中线，若AB=8 cm，AC=6 cm，BC=6cm 则△ABD与△BCD的周长之差为__________. 图7－17 图7－18 图7－198.如图7－18，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使B点落在B′点的位置，则线段AC是__________.9.已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角是50°，则∠BAC等于__________.10.如图7－19，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4c m2，则S阴影=__________.二、选择题(每题5分，共10分)11.如图7－20，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( ) A.150° B.130° C.120° D.100°图7－20 图7－2112.图7－21是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是( )A.6 B.6.5 C.7 D.7.5三、解答题(每题20分，共40分)13.如图7－22，若AD是△ABC的角平分线，DE∥AB(1)若DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否为△EDF的角平分线?并说明理由；(2)若DO是△EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由. 图7－2214.探索：在如图7－23至图7－25中，△ABC的面积为a.(1)如图7－23，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1=__________(用含a的代数式表示)； 图7－23 图7－24 图7－25 (2)如图7－24，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S2=________(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图7－25的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图7－25).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示).发现 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图7－25)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的__________倍.应用 去年在面积为10 m2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图7－26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米? 图7－26参考答案◆同步作业一、填空题(每题5分，共50分).1.如图7－14，AD⊥BC，垂足为D，则AD是_____的高，∠_________=∠________=90°.图7－14答案：△ABC(或△ABD或△ACD)；ADB；ADC2.在上题图中，AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫做△ABC的__________，∠__________=∠__________=∠__________.答案：角平分线；BAE；CAE；BAC3.三角形的高、中线、角平分线都是__________.答案：线段4.如图7－15，若BD=DE=EC，则AD是__________的中线，AE是__________的中线.图7－15 图7－16答案：△ABE；△ADC5.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是__________答案：直三角形6.如图7－16，E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，FD⊥AC，则BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的_______；EF既是_______的中线，又是______的中线；FD是______的高.答案：中线；△ABE；△ACF；△ACF(答案不唯一)7.如图7－17，BD是△ABC的中线，若AB=8 cm，AC=6 cm，BC=6cm 则△ABD与△BCD的周长之差为__________.图7－17答案：2 cm.8.如图7－18，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使B点落在B′点的位置，则线段AC是__________.答案：△ABB′的中线、角平分线和高9.已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角是50°，则∠BAC等于__________.答案：50°或130°10.如图7－19，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4c m2，则S阴影=__________.图7－18 图7－19答案：1 cm2二、选择题(每题5分，共10分)11.如图7－20，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( ) A.150° B.130° C.120° D.100°图7－20 图7－21答案：B12.图7－21是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是( )A.6 B.6.5 C.7 D.7.5答案：B(点拨：阴影部分面积=大长方形面积－空白部分面积和)三、解答题(每题20分，共40分)13.如图7－22，若AD是△ABC的角平分线，DE∥AB(1)若DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否为△EDF的角平分线?并说明理由；(2)若DO是△EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由.图7－22答案：(1)DO是△DEF的角平分线，理由如下：由DE∥AB，得∠EDA=∠DAF.由DF∥AC，得∠EAD=∠ADF.又AD是△ABC的角平分线，有∠EAD=∠DAF所以∠BDA=∠ADF.(2)DF∥AC.理由略14.探索在如图7－23至图7－25中，△ABC的面积为a.(1)如图7－23，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1=__________(用含a的代数式表示)；图7－23 图7－24(2)如图7－24，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S2=________(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图7－25的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图7－25).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示).图7－25发现 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图7－25)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的__________倍.应用 去年在面积为10 m2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图7－26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?图7－26答案：(1)a；(2)2a理由：连接AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a.(3)6a 7 拓展区域的面积：(72－1)×10=480(m2).10。
