等比数列知识点总结材料与典型例题

实用标准等比数列知识点总结与典型例题文档等比数列的定义:anan 12,且n N ，q称为公比通项公式:ann 1 a〔 nag —qq0,A0，首项：a1 ;公比：q推广:n man amqn m On q —amqnan am3、等比中项:(1)如果a,代b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2 ab或A . ab注意：同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个((2)数列an是等比数列 an2an 1 an 14、等比数列的前n项和Sn公式:(1 )当q 1时,Sn na!ai anqA'Bn A'(A, B, A',B'为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n，都有an 1aqan或q(q为常数，a“ 0) 佝｝为等比数列an(2)等比中项：an2an 1 an 1 ( an 1 an 10) ｛an｝为等比数列(3)通项公式:anA Bn A B 0｛an｝为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义：若_a^ qan 1q 0 n 2,且 nN或an 1 qan ｛a“｝为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何m, n N，在等比数列｛an｝中，有an amq(3)若m n s t(m, n, s,t N )，则an am as at。

特别的，当 m n 2k 时，得an am注：ai ana2 an 1a3an 2等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义an i an dan i z c、q(q 0) an递推公式an an i d ; an am n mdn man an iq ； an amq通项公式an ai (n i)dan aiq ( ai,q 0)中项A an k an k ( n,k N*,n k 0)G v;an kan k (an kan k 0) ( n, k N*, n k 0 )前n项和nSn — (ai an)2S na n(n i) dSn nai d2nai(q i)Sn ai i qn ai anqi i n (q 2)i q i q重要性质am an a p aq(m, n, p,q N*,m n p q)a m an a p a q*(m, n, p, q N ,m n p q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛an｝中，ai a9 64, a3 a? 20 ,求 an .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于ai和q的二元方程组，解出ai和q，可得aii ;或注意到下标1 93 7，可以利用性质可求出a3、a?，再求aii.解析:设此数列公比为q，则8ai a? ai aiq 642 6 “a3 a7 aiq qq 20(i)⑵由(2)得：aiq2(1 q4) 20 (3)/.a-i 0.由(1)得：(a-q4)2 64 , /.a-q4 8 ……(4)（3）宁⑷得:1 q42q2081 /•2q4 5q2 2 0 解得 q2 2 或 q2 -2当 q2 2 时，a1 2, an @ q10 64;1当 q 时，a1 32, an 4 q 1 .2法—:a1 a? a3 a7 64 ,又 a3 a7 20 ,/•a?、a7为方程x2 20x 64 0的两实数根,a3 16 「 a3 4或a7 4 a7 162. 2-a3 a〔1 a7. a? ［、.• £11 — 1 或 an 64 .a3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量;② 解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用 除法（除式不为零）•举一反三：【变式1】｛an｝为等比数列，a1=3，ag=768，求a6。

答案】±96 法一：设公比为 q，则 768=a 1q8，q8=256，：q= ±2，：a6= ±96 ;法二：a52=a 1a9 a5= ±48 q= ±2，：a6= ±96变式2】｛an｝为等比数列，an>0，且a1a89=16，求a44a45a46的值答案】64;2-a〔a89 a45 16 , ^又 an > 0 , —345=4・・ a44a45a46a45 648，求 an变式3】已知等比数列 佝｝，若ai a2 as 7, a&as【答案】an 2n 1或an 23n ；.. 2 3 c,•・a2• a〔a3 a? ,• • ai a2 a3 a? 8a1 a3 5从而 ,解之得ai 1 , a3 4或ai 4, a3 1aia3 41当 ai 1 时，q 2 ;当 ai 4 时，q —2故 an 2n 1 或 an 23n法二：由等比数列的定义知a2 aiq , a3 ag2代入已知得可 a1q a1q2 72 小ai aiq 82 23 3aiqai(1 q q ) 7, 吐1 q q2) 7,(1)qq 22将 ai 代入(1 )得 2q2 5q 2 0 ,q1解得q 2或q -2彳 a 4 Q 1由(2 )得 或 1 ，以下同方法q 2 q -类型二：等比数列的前n项和公式求数列的公比q.例2 •设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9, 解析：若 q=1，则有 S3=3a i, S6=6a i, S9=9a i.因ai丸),得S3+S6工2S9 ,显然q=1与题设矛盾，故q =3 6 9由S3 S6 2S9得，色^4旦!—！如』，1 q 1 q 1 q整理得 q3(2q6-q3-1)=0 ,由 q 丸)，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q 3-1)=0 ,因q3工1，故q3所以q举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。

答案】364 ；243 ；•••S66131厂3364 243【变式2】已知：｛an｝为等比数列,a〔a2a3=27S3=13，求 S5.【答案】12诚3'/a227a23 , 134(1 q3)1 q,则 a1=1 或 a1=9•S535121或 S5=1- 135□31219【变式3】在等比数列｛an｝ 中,an6632an 1 128，Sn 126，求 n 和 q答案】-a2 an 13 an，…a1an128解方程组q an 128q an 66，得a1an642aan264①将a1an642代入Sna1 a.q1 q由ann 1，解得n实用标准②将ai L代入Sn ，得q 2 ,an 64 1 q由 an aiqn 1，解得 n 61 、--q —或 2, n 62类型三：等比数列的性质例 3.等比数列｛a.｝中，若 a5 a6 9，求 loggai log3 a2 ... log3a\o解析：'••｛an｝是等比数列，••• ai aio a? ag ag a? a6 9•'•loggai logg a2log 3 aio5 5log 3(ai a2 a3 L aio) log 3® a6) log3 9 i0举一反三:【变式1】正项等比数列｛an｝中，若ai ai00=100;贝U lga i+lga 2+ +lga 100= 【答案】100 ；Tlgai+lga 2+lga 3+ +lga i00=lg(a 1 a2 a3 ai00)而 ai ai00=a 2 a99=a 3 a98= =a 50 asi•••原式=lg(a 1 ai00)50=50lg(a 1 ai00)=50 x|g100=100 。

变式2】在. 2 3 3 6• • a2 a3 a4 a〔q a〔q a〔q ai q和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为3 2【答案】216 ;4文档法一：设这个等比数列为｛an｝，其公比为q，a527 47 *63 216法二：设这个等比数列为｛an｝，公比为q，贝 U ai8 273，as 7，加入的三项分别为a2，a3，a4，实用标准由题意ai , a3, as也成等比数列，二a；8 27 36，故 a3 6 ,3 2• • a? a3 a4 a3 a3 a3 216类型四：等比数列前n项和公式的性质例4 .在等比数列｛务｝中，已知Sn 48 ,S2n60 ,求 Sgn 文档思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中 前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列解析:法:令 b 1 =Sn =48, b 2=S 2n -S n=60-48=12 , b 3=S 3n -S2n观察 bi=a i+a2+ +an.b2=a n+1 +a n+2 ++a 2n=q n(ai+a2+ +a n),b3=a 2n+1 +a 2n+2 ++a 3n=q2n (ai+a2+ .•…+an)易知bi,b2,b3成等比数列,二 b3122石3,•••S3n=b 3+S2n=3+60=63.法~ : - S2n 2Sn，…q 1a"1 qn) 481 q由已知得 q2ai(1 q2n)60 i q②十①得1qn 5，即 qn4③ 代入①得-，S3nai(163法三:•••｛an｝为等比数列，• Sn ,S2nSn , S3n S2n也成等比数列,• (S2n2Sn) Sn (S3n S2n ),Gn &)2S(60 48)2""486063。

举一反三:【变式1】等比数列 何｝中，公比q=2, S 4=1,则S8= .【答案】17 ;S8=S4+a 5+a6+a7+a8=S4+a iq4+a2q4+a 3q4+a 4q4=S4+q 4(ai+a2+a 3+a4)=S 4+q 4S4=S4(1 +q4)=1 x(1+2 4)=17【变式2】已知等比数列 ®｝的前n项和为Sn,且Sio=1O, S 20=40,求：S30= ?【答案】130 ;法一：S10 , S20-S10, S30-S20 构成等比数列，二(S20-S10)2=S 10 (S30-S20)即 302=10(S 30-40), .$30=130.法二：’.2S10 MS20,印(1 q10)20 \1-20 普 40,101 q201 q1 . 10 /••q二 S3030 xa1 (1 q )3(5)(1 33) 130.【变式3】等比数列｛an｝的项都是正数，若Sn=80, S 2n =6560，前n项中最大的一项为 54 ,--SnaW qn)1 q =80(1)S2na" q2n)1 q =6560……⑵，求n.S 80 SS2nS2n【答案】•••亠6560，-q 1（否则n⑵ 十(1)得：1+q n=82, /qn=81……⑶•••该数列各项为正数，•由⑶知q>1实用标准 ••｛an｝为递增数列，••• an为最大项54.•••an=a iqn-1 =54, /aiqn=54q,•••81ai=54q (4)54 2 2•ai q -q 代入⑴得 q(1 81) 80(1 q),81 3 3•••q=3, 5=4.【变式 4】等比数列｛an｝中，若 ai+a2=324, a 3+a4=36,贝U a5+a 6= .【答案】4 ；令 bi=ai+a2=a i(1+q) , b2=a 3+a4=a iq2(1+q),b 3=a 5+a6=a iq4(1+q),易知：bi, b2, b3成等比数列，• b3= 2 =邑=4,即a5+a6=4.b 324【变式5】等比数列｛an｝中，若ai+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56,求az+a 8+a 9的值。

答案】448 ;'•｛an｝是等比数列，•(a4+a 5+a 6)=(a i+a2+a 3)q3, uq3=8,/•a7+a 8+a 9=(a 4+a 5+a 6)q 3=56 X8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5 .已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32 成等比数列，a-d, a-4, a+d 成等比数列.2a (a d)(a d 32) (1)"(a 4)2 (a d)(a d) (2)由(2)得 a= - 16 (3)文档实用标准由 ⑴ 得 32a=d 2+32d (4)8(3)代⑷消a，解得d -或d=8.•••当d 8时,a 26 ;当 d=8 时,a=103 9•原来三个数为2,哲，空 或2,10,50.9 9 9法二：设原来三个数为a, aq, aq 2，则a, aq,aq 2-32成等差数列，a, aq-4, aq 2-32成等比数 列2aq a aq2 32 (1)"(aq 4)2 a(aq2 32)……(2)2由⑵得a ，代入(1)解得q=5或q=13q 4当q=5时a=2 ;当q=13时a •••原来三个数为2,10 , 50或2 , 一，——.9 9 9总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。

一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,Xa, a+d ;若三数成等比数列，可设此三数为 一，x, xy但还要就问题而言，这里解法二中采y用首项a，公比q来解决问题反而简便举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4 ,,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.2 io 50【答案】为2，6, 18或2，岁，50 ；9 9 9设所求的等比数列为a，aq，aq2 ；则 2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4) 2=a(aq 2+32)；2解得 a=2，q=3 或 a -，q=-5 ；9故所求的等比数列为2 , 6,18或2,卫,50.9 9 9【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27,它们的平方和为91，求这三个数【答案】1、3、9 或—、3、-9 或 9、3、1 或-9、3、— 设这三个数分别为a,a,aq ,q由已知得aa aq 27 q2a 2 2 22 a a q q91a 3a2(丄 q2 1) 91 q文档1得9q4 82q2 9 °,所以q2 9或q2 9，故所求三个数为:1、3、9 或—、3、-9 或 9、3、1 或-9、3、— o【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第 四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.【答案】0 ， 4 ， 8，16 或 15，9，3，1;设四个数分别是x,y,12-y,16-x2y x 12 y.……⑴• • 2(12 y)2 y(16 x)…….⑵由(1)得 x=3y-12，代入⑵得 144-24y+y 2=y(16-3y+12)•144-24y+y 2=-3y 2+28y, ••4y2-52y+144=0,•••y2-13y+36=0, • y=4 或 9，• x=0 或 15，•••四个数为 0， 4， 8，16 或 15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明 例6 .已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n € N+),求出数列｛an｝的通项公式,并判断｛an｝是何种数列？思路点拨：由数列｛an｝的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断｛an｝类型•解析：Jog 5(Sn+1)=n, •$.+仁5 n,「.Sn=5n-1 (n € N+),•••ai=S 1=5 1-1=4,当 n >2 时，an=S n-Sn-i =(5n-1)-(5 n-1-1)=5 n-5n-1=5n-1 (5-1)=4 X5n-1而 n=1 时，4 X5n-1 =4 X51-1 =4=a 1,•'•n € N + 时，an=4 X5n-1由上述通项公式，可知｛an｝为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列｛Cn｝，其中Cn=2n+3n，且数列｛Cn+1-pCn｝为等比数列，求常数p。

答案】p=2或p=3 ；••｛Cn+1 -pC n｝是等比数列，••对任意 n € N 且 n >2，有(Cn+1 -pC n)2=(C n+2 -pC n+1 )(Cn-pC n-1)••Cn=2 n+3 n,.・.[(2n+1 +3 n+1 )-p(2 n+3 n)]2=[(2 n+2 +3 n+2 )-p(2 n+1 +3 n+1 )] [(2 n+3 n)-p(2 n-1 +3 n-1)]即[(2-p) 2n+(3-p) 3n]2=[(2-p) 2n+1 +(3-p) 3n+1 ] [(2-p) 2n-1 +(3-p) 3n-1]1整理得：—(2 p)(3 p) 2n 3 n 0,解得：p=2 或 p=3,6显然Cn+1 -pC n ^0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，Cn=a n+bn,证明数列｛Cn｝不是等比数列.【证明】设数列｛an｝、｛bn｝的公比分别为p, q，且p刊为证｛Cn｝不是等比数列，只需证C1 C3 C；.•••C； (ae dq)2 q2p2 d2q2 2a10pq,2 2 2 2 2 2 2 2C1 C3 (a1 b1)(a1 p bq )印 p d q abMp q )2 2—C1 C3 C2 816( p q),又• p 〜，a 1 却，b 1 mO,•••Ci C3 C2 0 即 Cl C3 C2•••数列｛Cn｝不是等比数列.【变式3】判断正误：⑴｛an｝为等比数列 a7=a 3a4；⑵若b2=ac，则a，b，c为等比数列；(3)｛an｝, ｛bn｝均为等比数列，则｛anbn｝为等比数列;⑷｛an｝是公比为q的等比数列，则｛a：｝、i-仍为等比数列;an(5)若 a，b，c 成等比，贝U log ma，log mb，log mC 成等差.【答案】⑴错；a7=a iq6，a3a4=a iq2 aiq3=a i2q5，等比数列的下标和性质要求项数相同;⑵错；反例：02=0 X0，不能说0， 0， 0成等比；⑶对；｛anbn｝首项为a1b1，公比为qg2；q-8成等比，但log m (-2)无意义.2⑷对；av昔；反例:q2,anian-2，-4，类型七：Sn与an的关系例7 •已知正项数列｛an｝，其前n项和Sn满足10Sn a； 5an 6，且a1，a3，a15成等比数列, 求数列｛an｝的通项an.2解析：•••10Sn an 5an 6， ①.•.i0ai a2 5ai6，解之得ai=2或 ai=3.又 i0Sn i an i5an i6(n2)，②由①-②得i0an(a；an i )5(anan i)，即(an an i)(an an i 5) 0-an+a n-i > 0，• .an -a n-i =5(n》2).当 ai=3 时，a3=13 , ai5=73 , ai, a3, ai5 不成等比数列•'•ai 工3;当 ai=2 时，a3=12 , ai5=72，有 a32=a iai5,• ai=2 ,•・an=5n-3.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 an ai （n i），尤Sn S.i （n 2厂其注意首项与其他各项的关系•举一反三：【变式】命题i :若数列｛an｝的前n项和Sn=an+b（a判），则数列｛an｝是等比数列；命题2: 若数列｛an｝的前n项和Sn=na-n，则数列｛an｝既是等差数列，又是等比数列。

上述两个命题中， 真命题为 个.【答案】0;由命题 i 得，ai =a+b，当 n >2 时，an=Sn-Sn-i =（a-i） an_i.若｛an｝是等比数列，则里a，即或^卫a，ai a b所以只有当b=-i且a^0时，此数列才是等比数列.由命题 2 得，ai=a-i，当 n >2 时，an=Sn-Sn-i =a-i ，显然｛an｝是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-i工0,即a右1时数列｛an｝才又是等比数列.(2)当q 1时,。