八年级(下)数学竞赛班辅导讲义

八年级（下）数学竞赛班辅导资料（1） 原班级： 姓名： 等腰三角形的性质（1）【一】等腰三角形有哪些性质？（1）等腰三角形两底角____________；（2）等腰三角形具有“三线合一”的性质；“三线”指_____________________________________.(3)对称性：等腰三角形是______对称图形.【二】例题精讲例1 （1）等腰三角形两个内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为_______________； （2）等腰△ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足，则这样的三角形共有___________个. 3个例2 如图，若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC的度数为________________.例3（2012•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现 （1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？________（填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为_____________________．（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．【三】练一练1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为___________.2.如图，分别是的平分线，若,则的度数为_____.3.如图，在△ABC中，AC=BC,,D是AC上一点，交的延长线于E,且AE=BD.求证：BD是的角平分线.4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ(0°＜θ＜90°)．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：(1)小棒能无限摆下去吗？答：______．(填“能”或“不能”)(2)设AA1=A1A2=A2A3=1．①θ=______度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…) 求出此时a2，a3的值，并直接写出an(用含n的式子表示)．活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：(3)若已经摆放了3根小棒，θ1=______，θ2=______，θ3=______；(用含θ的式子表示)(4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围．解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去．故答案为：能；（2）①∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3=45°，∴∠AA2A1+∠θ=45°，∵∠AA2A1=∠θ，∴∠θ=22.5°；②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3∴A1A3=，AA3=1+，又∵A2A3⊥A3A4，A1A2∥A3A4，同理；A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，∴AA3=A3A4，AA5=A5A6∴a2=A3A4=AA3=1+，a3=AA3+A3A5=a2+A3A5，∵A3A5=a2，∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2∴an=(+1)n−1；（3）∵A1A2=AA1，∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ，∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ，∴θ1=2θ同理可得：θ2=3θ，θ3=4θ；（4）如图：∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，当∠A5A4B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，∴当∠A4A3A5是锐角，∠A5A4B=5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，∴5θ≥90°，4θ＜90°，即，∴18°≤θ＜22.5°．（1）能；（2）①∠θ=22.5°；②an=(+1)n−1；（3）2θ；3θ；4θ；（4）18°≤θ＜22.5°．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合八年级（下）数学竞赛班辅导资料（2） 原班级： 姓名： 等腰三角形的性质（2）一、例题讲解：如图，已知内角度数的三个三角形，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形．二、练一练1．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．解：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°﹣α=50°， ∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力2．（2014•宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．考点：相似形综合题；图形的剪拼分析：（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．解答：解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得 ，即三分线长分别是和．点评：本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．八年级（下）数学竞赛班辅导资料（3） 原班级： 姓名： 等腰三角形的判定（1）一、知识要点1．等腰三角形的判定方法：（1）两_____相等的三角形是等腰三角形．简称__________________；（2）两_____相等的三角形是等腰三角形．简称______________________．2．解题技巧：构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用方法有：（1）“角平分线+平行线” 构造等腰三角形；（2）“角平分线+垂线” 构造等腰三角形；（3）用“垂直平分线” 构造等腰三角形； （4）用“三角形中角的2倍关系” 构造等腰三角形．3．等腰三角形中长作的辅助线：（1）底边上的高；（2）底边上的中线；（3）顶角的平分线．二、例题精讲例1 在△ABC中 AB=AC ，∠BAC=80°，O为△ABC内一点 ，且∠OBC=10°，∠OCA=20°.求∠BAO的度数.70°例2 如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，求FC的长.9三、练一练1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ） C A. 2个 B. 4个 C. 6个 D.8个2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求的值. 2：12.如图，在△ABC中，,M为△ABC内一点，使得.求的度数.（北京市竞赛题） 150° 八年级（下）数学竞赛班辅导资料（4） 原班级： 姓名： 等腰三角形的判定（2）一、例题精讲两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：连接MA．∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°，∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=AC，∴△DAB是等腰直角三角形．又∵M为BD的中点，∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠EDM=∠MAC=105°，在△MDE和△CAM中，ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM，∴△MDE≌△MAC．∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．∴△MEC是等腰直角三角形．二、练一练1．如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条 件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．（1）证明：略（2）解：相等证明：如图，过点E作EG⊥AC于G．又∵ AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG． 由平移的性质可知：D’E’=DE，∴D’E’ =GE． ∵∠ACB=90°． ∴∠ACD+∠DCB=90°[来源:Z|xx|k.Com] ∵CD⊥AB于D． ∴∠B+∠DCB=90°．∴ ∠ACD=∠B在Rt△CEG与Rt△BE’D’中，∵∠GCE=∠B，∠CGE=∠BD’E’，CE=D’E’∴△CEG≌△BE’D’∴CE=BE’ 由（1）可知CE=CF，(其它证法可参照给分)．2．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；图3（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．(1）证明：如图1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∴．∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．八年级（下）数学竞赛班辅导资料（5） 原班级： 姓名： 等边三角形（1）一、知识要点1．等边三角形的性质：（1）三边相等，三角相等，每个角等于60°；（2）每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合．简称“ ” ；（3）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高．2．判定等边三角形的基本方法：（1）从边入手，证明三边相等；（2）从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60°；（3）从边角入手，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．二、例题精讲如图，△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连CE、DE，若CE=DE．求证：△ABC是等边三角形．三、练一练1．如图，一个六边形的每个角都是120°，连续四边的长依次是2.7, 3, 5，2，则该六边形的周长是____．20.72．如图，P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA 的大小之比是，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是______________． 2:3:43．（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．解：（1）∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中 ∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中 ∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE， ∴△ABE是等边三角形；（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．解答： 证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；八年级（下）数学竞赛班辅导资料（6） 原班级： 姓名： 等边三角形（2）1.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题： ①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN．②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．然后运用类比的思想提出了如下的命题： ③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求：（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索： ①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明） ②如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：（1）选命题① 证明：在图1中，∵∠BON=60°，∴∠CBM+∠BCN=60°，∵∠BCN+∠ACN=60°，∴∠CBM=∠ACN，又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°， ∴△BCM≌△CAN，∴BM=CN，选命题②，证明：在图2中，∵∠BON=90°，∴∠CBM+∠BCN=90°，∵∠BCN+∠DCN=90°，∴∠CBM=∠DCN，又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°，∴△BCM≌△CDN，∴BM=CN，选命题③证明：在图3中，∵∠BON=108°，∴∠CBM+∠BCN=108°，∵∠BCN+∠DCN=108°，∴∠CBM=∠DCN，又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°， ∴△BCM≌△CDN，∴BM=CN；（2）①当∠BON=时，结论BM=CN成立，②BM=CN成立，证明：如图5，连结BD、CE，在△BCD和△CDE中， ∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE， ∴△BCD≌△CDE，∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD，∵∠OBC+∠OCB=108°，∠OCB+∠OCD=108°， ∴∠MBC=∠NCD，又∵∠DBC=∠ECD=36°，∴∠DBM=∠ECN，∴△BDM≌△ECN。

2．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．解：（1）AF=BD；证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；同理知，DC=CF，∠DCF=60°；∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；在△BCD和△ACF中，，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；证明如下：在△BCF′和△ACD中，，∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AF=BD；∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′． 八年级（下）数学竞赛班辅导资料（7） 原班级： 姓名： 直角三角形一、例题精讲如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC, 求证： 提示：过点B作BE⊥AB,且使BE=BC,连接CE、AE、AC.二、练一练1.如图，已知Rt△ABC中的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD=.2.如图，四边形ABCD中，DC∥AB,BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为.3．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形． （2）猜想，当时，△ABC为锐角三角形；当时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．点评： 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．4.如图，在Rt△ABC中，,D为斜边BC的中点，,求证：.5.已知直角三角形的边长为整数，周长为30，求它的斜边长.解：设三边长分别为a、b、c（），则a+b+c=30,由得a+b+c=30<3c, ∴c>10.由a+b>c得a+b+c=30>2c, ∴c<15,∵c为整数，∴∵a2+b2=c2,把c=30-a-b代入并化简得∵a、b均为整数，且，∴只可能是解得，从而c=13.八年级（下）数学竞赛班辅导资料（8） 原班级： 姓名：一元一次不等式（组）（1）1．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？解：（1）根据甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案：甲厂家所需金额为：3×800+80（x﹣9）=1680+80x；乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1920+64x；（2）由题意，得：1680+80x≥1920+64x，解得：x≥15．答：购买的椅子至少15张时，到乙厂家购买更划算．2．（2015•泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得：，∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，∴31﹣m＜2m，解得：m＞，∵m是正整数，∴m最小值=11，设购买树苗总费用为W=20m+5（31﹣m）=15m+155，∵k＞0，∴W随x的减小而减小，当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）．答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．3．（2015•龙岩）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：AB载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：（1）用含x的式子填写下表：车辆数（辆）载客量租金（元）Ax45x400xB5﹣x　30（5﹣x）　　280（5﹣x）　（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）；故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）．（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4，∴x的最大值为4；（3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4，①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．4．2011年4月28日 ，以“天人长安，创意自然-----城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种：票得种类夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）单价（元/张）60100150某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票得张数是A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张树伟y（1）写出y与Xx之间的函数关系式；（2）设购票总费用为W元，求出w（元）与x（张）之间的函数关系式；（3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A,B,C三种票的张数．八年级（下）数学竞赛班辅导资料（9） 原班级： 姓名：一元一次不等式（组）（2）一、 例题讲解例1 求不等式的所有整数解的和．答案：，x=0,1,2,3. 所以所有整数解的和为6．例2某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册．该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表．印数a   （单位：千册）1≤a＜55≤a＜10彩色 （单位：元/张）2.22.0黑白（单位：元/张）0.70.6（1）印制这批纪念册的制版费为______元；（2）若印制2千册，则共需多少费用？（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围．（精确到0.01千册）解：（1）4×300+6×50=1500元；（2）若印制2千册，则印刷费为（2.2×4+0.7×6）×2000=26000（元）所以总费用为26000+1500=27500（元）；（3）设印数为x千册，①若4≤x＜5，由题意得1000×（2.2×4+0.7×6）x+1500≤60000解得x≤4.5∴4≤x≤4.5②若x≥5，由题意得1000×（2.0×4+0.6×6）x+1500≤60000解得x≤5.04，∴5≤x≤5.04综上所述，符合要求的印数x（千册）的取值范围为4≤x≤4.5或5≤x≤5.04．二、练一练1.已知不等式的正整数解恰是1、2、3，则a的取值范围是_________.2.已知，则的最小值等于_________.13.关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 4.解不等式：. 或5.已知，求的最大值与最小值. 最大值为4，最小值为6. 某移动通讯公司开设两种业务．“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1跳次，再付0.4元；“神州行”：不缴月租费，每通话1跳次，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）．若设一个月内通话跳次，两种方式的费用分别为元和元．（跳次：1min为1跳次，不足1min按1跳次计算，如3.2min为4跳次．）（1）写出与之间的函数关系式．（2）一个月内通话多少跳次时，两种费用相同？一个月内通话多少跳次时，一种费用大于另一种费用？（3）某人估计一个月内通话300跳次，选择哪一种合算？答案：（1）．（为正整数）．（2）当时，两种费用相同；当时，“全球通”的费用少于“神州行”的费用；当时，“全球通”的费用大于“神州行”的费用．（3）应选择“全球通”合算．某商场 A型冰箱的售价是2 190元，每日耗量为 1 千瓦/时，最近商场又进回一批 B型冰箱，其售价比 A型冰箱高出 10%，但每日耗电量却为 0.55 千瓦/时，为了减少库存，商场决定对 A型冰箱降价销售，请解答下列问题：    ( 1)已知 A型冰箱的进价为 1 700元，为保证商场利润率不低于3%，试确定A型冰箱的降价范围.    (2)如果只考虑价格与耗电量，那么商场将 A型冰箱的售价至少打几折时，消费者购买两种冰箱才一样合算(两种使用期均为10年，每年365天，每千瓦/时电费按0.4元计算).解：( 1)设商场将A型冰箱降价x元时，利润率为3%， 根据题意得=3%，解之得x=439. 答：商场将 A型冰箱降价不超过439元时，可以保证利润率不低于3%. (2)设商场将 A型冰箱的售价打y折时，消费者购买两种冰箱才一样合算，根据题意得解得y=8.答：商场将 A型冰箱的售价至少打8折时，消费者购买两种冰箱才一样合算.八年级（下）数学竞赛班辅导资料（10） 原班级： 姓名： 旋转及应用（1）一、思路点拨1．旋转性质：（1）每一组对应点与旋转中心的连线所形成的角都等于旋转角；（2）旋转前后两图形的形状、大小不变（即全等），对应边相等，对应角相等．2．旋转变换的方法应用 旋转变换是通过将图形中某一图形绕一定点旋转一个角度，使之转移到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来。

旋转变换常用于有等腰三角形条件的题目中旋转变换应用时有下面三种情况：（1）旋转90°角：当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°；（2）旋转60°角：当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕直角顶点旋转60°；（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数．3．几种常见旋转变换的基本图形．二、例题精讲已知：如图，△ABC中，AB=AC,P为形内一点，且PC>PB．求证： ．三、练一练1.已知：如图，等边△ABC中，O是形内一点，若，,求以OA，OB，OC为边构成的三角形的内角度数.2.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，,M、N为斜边上从A到B顺次两点，若，猜想是多少度？写出推理过程.3.已知：如图，锐角△ABC内有一点M，满足,P为形内非M的一点. 求证：.八年级（下）数学竞赛班辅导资料（11） 原班级： 姓名： 旋转及应用（2）一、例题讲解 例1 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　 　．【答案】15°或165°。

分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解： ①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，∴AB=AD，AE=AF∵当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°∴∠BAE=∠FAD=15°②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于1800时，如图2，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE∵900＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105°∴∠BAE=∠FAD=165°③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于1800时，如图3，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD∵∠EAF=60°，∠BAE=90°，∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，这是不可能的∴此时不存在BE=DF的情况综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°。

例2 正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM1）求证：EF=FM （2）当AE=1时，求EF的长答案】 解：(1) 证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF + ∠FDM=90°∵∠EDF=45°，∴∠FDM =∠EDF=45°∵DF= DF ，∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF2）设EF=x ∵AE=CM=1 ，∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x ∵ EB=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得，即解得， ，∴EF的长为二、练一练1.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是（ ）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】A分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。

∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA∴△BO′A≌△BOC∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到故结论①正确 连接OO′，∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形∴OO′=OB=4故结论②正确∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°故结论③正确故结论④错误如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形故结论⑤正确综上所述，正确的结论为：①②③⑤2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ．【答案】分析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴A′C=AC=1，AB=2，BC=∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形∴AA′=AB=1∴A′C=A′B。

∴∠A′CB=∠A′BC=30°∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C∴∠B′CB=90°－30°=60°∴△BCB′是等边三角形∴BB′=BC= 。