2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 9.7　抛物线

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：9.7　抛物线一、选择题1．(2012·安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．2解析：如图，设A(x0，y0)，不妨设y0＜0，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线焦点F(1,0)，抛物线准线方程为x＝－1，故|AF|＝x0－(－1)＝3，可得x0＝2，y0＝－2，故A(2，－2)，直线AB的斜率为k＝＝－2，直线AB的方程为y＝－2x＋2，联立直线与抛物线方程，可得2x2－5x＋2＝0，得x＝2或x＝，所以B点的横坐标为，可得|BF|＝－(－1)＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝，O点到直线AB的距离为d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝.答案：C2．(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)A．2 B．2C．4 D．2解析：由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则2＋＝3，∴p＝2.∴y2＝4x，∴y＝4×2＝8，∴|OM|＝＝＝2.答案：B3．(2013·青岛调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是(　　)A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x解析：设抛物线方程为x2＝ay或y2＝ax(a≠0)，把圆心(1，－3)代入方程得a＝－或a＝9，∴抛物线方程是y＝－3x2或y2＝9x.答案：D4．(2013·泸州诊断)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是(　　)A. B. C. D．3解析：设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切的直线为4x＋3y＋t＝0，与抛物线y＝－x2联立得3x2－4x－t＝0，由Δ＝16＋12t＝0，得t＝－，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线的距离公式得所求距离为.答案：A5．(2013·广元考试)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)A．y2＝4x B．y2＝8xC．y2＝±4x D．y2＝±8x解析：由题意得|OF|＝，tan∠AFO＝2，∴|OA|＝，S△AOF＝|OF||OA|＝＝4，∴a＝±8.答案：D6．(2013·河南联考)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(　　)A．(0，±2) B．(0,2) C．(0，±4) D．(0,4)解析：在△AOF中，点B为边AF的中点，故点B的横坐标为，因此＝＋，解得p＝，故抛物线方程为y2＝2x，可得点B坐标为，故点A的坐标为(0，±2)．答案：A二、填空题7．(2012·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝__________.解析：设|AF|＝x，|BF|＝y，由抛物线的性质知＋＝＝2，又x＋y＝，∴x＝，y＝，即|AF|＝.答案：8．(2012·辽宁)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．解析：y′＝x，y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2，∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴过P，Q的切线方程分别为：y＝4x－8，y＝－2x－2，联立方程解得y＝－4.答案：－49．(2013·湖北联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为__________．解析：由抛物线的定义知1＋＝5，∴p＝8，故m＝4，又左顶点A(－a,0)，M(1,4)，因此直线AM的斜率为k＝＝，解得a＝.答案：三、解答题10．(2013·宁德检查)已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，准线为l.(1)求经过点F的与直线l相切，且圆心在直线x＋y－1＝0上的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M，求点M横坐标的取值范围．解析：(1)设圆心为(a，b)，由抛物线y2＝－4x得其焦点坐标为(－1,0)，准线l的方程为x＝1，根据题意得即解得∴所求圆的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4.(2)依题意可设直线AB的方程为x＝my－1(m≠0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P.由消去x整理得y2＋4my－4＝0，∴y1＋y2＝－4m，∴yP＝＝－2m，∴xP＝myP－1＝－2m2－1，即线段AB的中点为P(－2m2－1，－2m)，∴线段AB的垂直平分线方程是y＋2m＝－m(x＋2m2＋1)，令y＝0，得xM＝－3－2m2＜－3，∴点M横坐标的取值范围是(－∞，－3)．11．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．解析：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2013·岳阳联考)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．(1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；(2)若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|－|FP|cos2α为定值，并求此定值. 解析：(1)由已知得2p＝8，∴＝2，∴抛物线的焦点坐标为F(2,0)，准线方程为x＝－2.(2)证明：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，直线AB的斜率为k＝tanα，则直线方程为y＝k(x－2)，将此式代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，故xA＋xB＝，记直线m与AB的交点为E(xE，yE)，则xE＝＝，yE＝k(xE－2)＝，故直线m的方程为y－＝－，令y＝0，得点P的横坐标xP＝＋4，故|FP|＝xP－2＝＝，∴|FP|－|FP|cos2α＝(1－cos2α)＝＝8，为定值. 6。