九年级数学下册第二十六章反比例函数26.1反比例函数26.1.2.2反比例函数的性质的应用课时训练新版新人教版
第2课时 反比例函数的性质的应用关键问答①△AOB的面积与k有什么数量关系？②双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小，怎样用图象以及符号表示？③若某点在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则该点的横坐标与纵坐标有什么特点？1．①2018·邵阳如图26－1－14所示，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为2，则k的值是________．图26－1－142．②已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )A．1＜y＜2 B．5＜y＜10 C．0＜y＜5 D．y＞103．③反比例函数y＝的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图26－1－15所示，根据图象回答下列问题：图26－1－15 (1)图象的另一支在第________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________．(2)常数m的取值范围是________．(3)若此反比例函数的图象经过点(－2，3)，求m的值；点A(－5，2)是否在这个函数的图象上？点B(－3，4)呢？命题点 1 反比例函数图象上点的坐标特征 [热度：92%]4．已知反比例函数y＝，下列各点在该函数图象上的是( )A．(2，－3) B．(2，3) C．(－1，6) D．(－，3)5．若点(2，－4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )A．(2，4) B．(－1，－8) C．(－2，－4) D．(4，－2)命题点 2 利用反比例函数的性质比较函数值的大小 [热度：92%]6.④已知反比例函数y＝－的图象上三个点的坐标分别是A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1易错警示④利用反比例函数的性质比较函数值的大小时，易忽略“在每一个象限内”这一条件．如果题目给出的点不在同一象限内，那么要注意分象限进行讨论.7．在反比例函数y＝的图象上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x2＞x1＞0时，有y2＞y1，则m的取值范围是( )A．m＜0 B．m＞0 C．m< D．m>8．⑤已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝的图象上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是( )A．x1·x2＜0 B．x1·x3＜0 C．x2·x3＜0 D．x1＋x2＜0解题突破⑤根据反比例函数y＝和当x1＜x2＜x3时，y2＜y1＜y3，可得哪两个点在同一象限？在哪一象限？9．已知(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)的图象上的两点，则y1________y2.(填“>”“＝”或“<”)命题点 3 反比例函数与一次函数的综合应用 [热度：99%]10.⑥如图26－1－16，反比例函数y＝(a≠0)的图象与正比例函数y＝kx(k≠0)的图象相交于点A，B，若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标是( )图26－1－16A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，－3) D．(－2，－2)模型建立⑥反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.11.⑦如图26－1－17，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与反比例函数y＝－的图象有唯一公共点，若直线y＝x＋m与反比例函数y＝－的图象有两个公共点，则m的取值范围是( )图26－1－17A．m＞2 B．－2＜m＜2 C．m＜－2 D．m＞2或m＜－2解题突破⑦先由双曲线的中心对称性，结合已知条件，确定直线y＝x＋m与反比例函数y＝－的图象有唯一公共点时m的值，再结合平移，利用一次函数的性质确定有两个公共点时m的取值范围.12.⑧如图26－1－18，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在两坐标轴上，点B的坐标为(4，2)，直线y＝－x＋3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．图26－1－18 解题突破⑧由矩形的性质以及点B的坐标，可得点M的纵坐标，又点M在直线y＝－x＋3上，可得点M的横坐标，从而可得反比例函数的解析式；对于(2)，利用S四边形BMON＝S矩形OABC－S△AOM－S△CON，求出OP的长，即可求出点P的坐标.命题点 4 利用反比例函数的比例系数k的几何意义进行计算 [热度：95%]13．2018·郴州如图26－1－19，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是( )图26－1－19A．4 B．3 C．2 D．114.⑨如图26－1－20，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C，D，QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积( ) 图26－1－20A．逐渐减小 B．逐渐增大C．先减小后增大 D．先增大后减小解题突破⑨首先利用含m和n的代数式表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用含m，n的代数式表示，然后根据函数的性质判断即可.15．如图26－1－21，A(a，b)是双曲线y＝(x>0)上的一点，P是x轴负半轴上的一动点，AC⊥y轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AP交y轴于点B.(1)△PAC的面积是________；(2)当a＝2，点P的坐标为(－2，0)时，求△ABC的面积；(3)当a＝2，点P的坐标为(m，0)时(m≠2)，设△ABC的面积为S，试求S与m之间的函数解析式．图26－1－21命题点 5 利用图象解方程、不等式 [热度：90%]16．B10如图26－1－22是函数y＝－1的图象，则关于x的分式方程＝3的解是( )图26－1－22A．x＝6 B．x＝0.5C．x＝2 D．x＝1方法点拨通过图象把求方程的解转化成函数值确定的情况下，求对应的自变量x的值．17．如图26－1－23，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－＝0的解；(3)求△AOB的面积；(4)观察图象，直接写出不等式kx＋b－<0的解集．图26－1－2318.⑪在平面直角坐标系中，定义：若点P(x，y)满足x＋y＝－xy，则称点P为“和谐点”，如点P(0，0)是一个和谐点．(1)若“和谐点”在双曲线y＝上，求这个“和谐点”；(2)求证：直线y＝x＋m上一定有两个“和谐点”．模型建立⑪(1)根据“和谐点”的坐标特点及函数图象上点的坐标本身的特点，通过列方程组进行求解；(2)通过一元二次方程根的判别式进行判定.19.⑫定义：已知反比例函数y＝与y＝，若存在函数y＝(k1k2＞0)，则称函数y＝为这两个函数的中和函数．(1)试写出一对函数，使得它的中和函数为y＝，并且其中一个函数满足当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)已知函数y＝－和y＝－的中和函数y＝以及二次函数y＝k(x2＋x－1)，若函数y＝与二次函数y＝k(x2＋x－1)都满足y随x的增大而减小，求k应满足的条件以及x的取值范围．方法点拨⑫y随着x的增大而减小指的是自左向右图象是下降的；y随着x的增大而增大指的是自左向右图象是上升的.详解详析1．4 2.B3．(1)四 增大 (2)m<2(3)m＝－4 点A(－5，2)和点B(－3，4)都不在这个函数的图象上4．B5．D [解析] ∵点(2，－4)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×(－4)＝－8.∵A项中2×4＝8；B项中(－1)×(－8)＝8；C项中(－2)×(－4)＝8；D项中4×(－2)＝－8，∴点(4，－2)在反比例函数y＝的图象上．故选D.6．C [解析] 反比例函数y＝－的图象位于第二、四象限，点C(2，y3)在第四象限，所以y3＜0，点A(－2，y1)，B(－1，y2)在第二象限，所以y1＞0，y2＞0，且－2＜－1，所以y1＜y2，所以有y2＞y1＞y3.7．D [解析] 当x2＞x1＞0时，有y2＞y1，说明在一个象限内，y随x的增大而增大，可得1－2m<0，所以m>.8．A [解析] ∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小．∵当x1＜x2＜x3时，y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1·x2＞0.9．>10．A [解析] 根据题意，知点A与点B关于原点对称，∵点A的坐标是(1，2)，∴点B的坐标为(－1，－2)．11．D [解析] 根据反比例函数的对称性可知：直线y＝x－2与反比例函数y＝－的图象有唯一公共点，∴当直线y＝x＋m在直线y＝x＋2的上方或直线y＝x＋m在直线y＝x－2的下方时，直线y＝x＋m与反比例函数y＝－的图象有两个公共点，∴m＞2或m＜－2.12．解：(1)∵B(4，2)，四边形OABC是矩形，∴OA＝BC＝2.将y＝2代入y＝－x＋3，得x＝2，∴M(2，2)．将x＝4代入y＝－x＋3，得y＝1，∴N(4，1)．把点M的坐标代入y＝，得k＝4，∴反比例函数的解析式是y＝.(2)由题意可得：S四边形BMON＝S矩形OABC－S△AOM－S△CON＝4×2－×2×2－×4×1＝4.∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，∴OP×AM＝4.∵AM＝2，∴OP＝4，∴点P的坐标是(0，4)或(0，－4)．13．B [解析] ∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x＝2时，y＝2，即A(2，2)，当x＝4时，y＝1，即B(4，1)．过A，B两点分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2.∵S四边形AODB＝S△OAB＋S△BOD＝S△AOC＋S梯形ABDC，∴S△OAB＝S梯形ABDC.∵S梯形ABDC＝(BD＋AC)·CD＝×(1＋2)×2＝3，∴S△OAB＝3.14．B [解析] 由题意，得AC＝m－1，CQ＝n，则S四边形ACQE＝AC·CQ＝(m－1)n＝mn－n.∵点Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，∴mn＝k＝4(常数)，∴S四边形ACQE＝4－n.∵当m>1时，n随m的增大而减小，∴S四边形ACQE＝4－n随m的增大而增大．故选B.15．解：(1)∵点A(a，b)在双曲线y＝(x>0)上，∴ab＝8.∵AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，∴AC＝a，AD＝b，∴△PAC的面积＝AD·AC＝ab＝4.故答案为4.(2)∵a＝2，∴b＝4，∴AC＝2，AD＝4，A(2，4)．设直线AP的解析式为y＝kx＋t，∴解得∴直线AP的解析式为y＝x＋2，∴B(0，2)，∴S△ABC＝AC·BC＝×2×2＝2.(3)同(2)可得直线AP的解析式为y＝－，∴B(0，－)，∴S＝×2×(4＋)＝(m≠2)．16．D [解析] 从图象上来看，当y＝2时，x＝1，得方程2＝－1的解为x＝1，即方程＝3的解为x＝1.17．解：(1)∵点B(2，－4)在函数y＝的图象上，∴m＝－8，∴反比例函数的解析式为y＝－.∵点A(－4，n)在函数y＝－的图象上，∴n＝2，∴A(－4，2)．∵直线y＝kx＋b经过点A(－4，2)，B(2，－4)，∴解得∴一次函数的解析式为y＝－x－2.(2)∵A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，∴方程kx＋b－＝0的解是x1＝－4，x2＝2.(3)设直线y＝－x－2与y轴交于点C，当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝×2×4＋×2×2＝6.(4)不等式kx＋b－<0的解集为－4
