高阶滑模变结构控制

高阶滑模变结构控制8.1传统滑模控制缺点• (1)抖振问题：主要是由未建模的串联动态引起，同时切换装置的非理 想性也是一个重要原因；•匚2)相对阶的限带匸焉统滑模控制只有在系统关于滑模变量s的相对阶 是1时才能应用，也就是说，控制量u必须显式出现在s中，这样就限制了 滑模面的设计• (3)控制精度问题：在实际的、采样实现的传统滑模控制算法中，滑动 误差正比于采样时间J也就是说，有限时间到达的传统滑模在具有零阶 保持器的离散控制下，系统的状态保持在滑动模态上的精度是采样时间 的一阶无穷小，即O(t)；8.2高阶滑模控制•在传统滑模控制中，不连续的控制量显式地出现在滑模变量的一阶导数 中，即附是不连续的由于未建模动态和非理想的切换特性，传统滑模存 在抖振，它在实际应用中是有害的•连续近似化方法（如引入边界层）能抑制抖振，然而失去了不变性这个 显著优点• Levant提出了高阶滑模的概念，高阶滑模保持了传统滑模的优点（如不 变性）,抑制了抖振，消除了相对阶的限制和提高了控制精度•滑动模态的不变性：系统一旦进入滑动模态，对满足匹配条件的不确定 性及干扰具有不变性8.3高阶滑模定义・（1）滑动阶r是指滑模变量s的连续全导数（包含零阶）在滑模面s=0± 为0的数目。

滑动阶刻画了系统被约束在滑模面s = 0上的运动动态平滑 度根据上述定义可知：传统滑模的滑动阶为1，因为在滑模面上s = 0, 而博则是不连续的，因此传统滑模又被称为一阶滑模• （2）关于滑模面s（t ?x） = 0的r阶滑动集由下述等式描述s = s = S = = 0•上式构成了动态系统状态的r维约束条件8.3高阶滑模定义• （3）1996年，Levant和Firdman给出了高阶滑模的精确定义・r阶滑动集5 = 5 = 5 = --- = 5（r-1） =0是非空，且假设它是Filippov意义 下局部积分集（也就是说，它由不连续动态系统的Filippov轨迹组成）， 那么，满足s = £ = § = = s（T=0的相关运动称为关于滑模面s（t ,x）=0的“r阶滑模”・（4）当且仅当系统轨迹位于状态空间中s = 0和s-0的交界处时，系统具 有二阶滑模动态，如图所示5s^=0#8.3高阶滑模定义・（5）在实现高阶滑模控制时，所面临的一个主要问题就是所需的信息增加了一般来说，滑模面s = 0上的r阶滑模控制器的设计，需要用到S, S,乱…，的信息（已知仅有二阶滑模Super-Twisting算法只需 要s的信息）。

・理论上，的值可以通过有限时间收敛的精确鲁棒微分 器获取78.4二阶滑模控制・（1）滑模控制在解决不确定高阶非线性动态系统时是一种非常有效的方 法,表现在对系统不确定非线性-系统建模误差与外部干扰的强鲁棒性和算 法设计简单•然而，滑模控制存在的“抖振”现象二阶滑模控制使得控 制量在时间上是本质连续的，这样能有效地减小系统抖振,又不以牺牲控 制器的鲁棒性为代价• (2)-阶滑模是指，二阶滑动集5 = 5 = 0非空，且假设它是Filippov意 义下的局部积分集，那么，满足式s = 0的相关运动称为关于滑模面的二阶滑模•考虑下列形式的单输入动态系统：• X =亿 X)+Z?亿 = s(t. X) (14)・式中，天w R"为系统状态量，u^Rn为控制输入，Qg)和比X)为光 滑的未知向量场，令s(t,x)=o为所定义的滑模面，控制目标使系统的状态 在有限时间内收敛到滑模流形滑模流形S亿劝=£亿X)= 0上98.4二阶滑模控制• （3）通过引入虚拟变量= t对系统（14）进行扩展，记a = （aT,X）T,b = （bT, 0）r ＞则系统扩展为 心二咳（兀）+0（兀）二$（兀）・（4）依据相对阶的定义，对滑模变量s考虑以下两种不同情形: •相对阶r = 1,即丞—北0du•相对阶r = 2,即竺=0。

竺H0du du• （5）相对阶r=l时・可以采用传统滑模（一阶滑模）控制的方法来解决的问题然而，若采 用二阶滑模控制则可以抑制抖振，此时，将控制输入u的导数u被看作新 的控制变量设计不连续的控制U使得滑模变量S趋于零，并保持二阶滑 动模态，即S = s= 0,而控制输入U是通过对U的积分得到的，故是连续的, 从而抑制了系统的抖振118.4二阶滑模控制• （5）相对阶r = 1时8.4二阶滑模控制• （5）相对阶r=l时・滑模变量s的一阶导数为^ = —（ae（乙）+ Q（5）= La s + Lbesu・其中食/二&二 ae（Xe ）称为s关于代或沿代的Lie导数滑模变量s的二阶导数为・・ ^Las + Lbsu),、一、、丽 s =—— —(化(乙)+ Q (乙)％) + 亍OU =I? s + La Lb su + Lb La su + Z? svi2 +Lb suCig € 6* 6* € bg €简化为 s =(p(t.x.u) + y(t.x)u(t)^U= 0(1，兀 ％)二 L； s + LaeLb( su + Lbe Lae su + L； su2 a “ ’--s = y(t.x) = Lbs^Odu e•控制输入U看作影响漂移项（P的未知扰动，控制输入的导数作为需设计的新控制量。

138.4二阶滑模控制• （5）相对阶r = 1时8.4二阶滑模控制• （6）相对阶r = 2时・制输入U不直接影响S的动态特性，但直接影响S的动态特性，即S = 0（匚兀 %） + 丫亿 x）u（t）c•其中〒左=/（匚兀）=厶优厶哄$北°•意味着滑模变量S的关于控制输入u的相对阶是2在这种情况下，控制 输出u是不连续的8.4二阶滑模控制• （7）相对阶r = 2时•相对阶为1和相对阶为2可以统一起来，看作是二阶不确定的仿射非线性系统，当相对阶为1时，相关的控制信号是实际控制输入的导数,当相 对阶为2时，控制信号是实际的控制输入u・二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性系统的有限时间镇定问题・令^（0二s（t）, y2（0 = 5（0 ,二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性 系统的有限时间镇定问题＜》2（仅乙兀）+丫匕兀）吩）158.5常见的二阶滑模控制算法■ Twisting 算法• Twisting算法是最早提出的二阶滑模控制算法，形式如下• v = -rx sgn（5）- r2 sgn（i） （17）・其有限时间收敛的充分条件是（々+厂2）«也_©>（斤一厂2）Km +C,（斤 >C・若考虑控制受限的情形，则需增加以下条件• ^max・两式联立，可以求解出I*］和D的取值范围。

8.5常见的二阶滑模控制算法• Twisting 算法•该算法的特点是：在s・O・s，相平面上，系统轨迹围绕着原点旋转，如图所示同时，系统的轨迹能在有限时间内，经过无限次的环绕收敛到原点 具体地说，就是系统的相轨迹与坐标轴相交的值的绝对值，随着旋转的次数以等比数列形式减小此控制律的设计需要知道計的符号8.5常见的二阶滑模控制算法Super・Twisti n算法Super-Twisting算法形式如下- 丄< u = 一久 s 2 sgn（5）+坷= -asgn（5）其有限时间收敛的充分条件是即+(5 L" s + LbLa^u + 厶；K-su1-G< Km < Lb s < Kmmax8.5常见的二阶滑模控制算法• Super・Twisting 算法•算法的特点是：它仅仅需要滑模变量S的信息，不需要S，信息；它是一种系统关于S的相对阶为1时，可以直接应用的二阶滑模算法，不需要引入新的控制量Super-Twisting算法的相轨迹如图所示8.5常见的二阶滑模控制算法带预定义收敛率算法This class of sliding controllers features the possibility of choosing a transient process trajectory: the switching of u depends on a suitable function of s. The general formulation of such a class of 2-sliding control algorithms is as follows：・ _ J ~u \u\ > 1U _ t - VzMsign(j/2 一 g®i)) if |w| < 1Here Vm is a positive constant and the continuous function g(®i) is smooth everywhere but in 切=0・21Phase trajectories for the algorithms >prescribed law of variation of s218.6任意阶滑模控制器Consider a dynamic system of the formx = a（t、x） + b（t、x）uy s = s（t） x）where x G Rn^a, are sniooth functions, u G R. The relative degree r of the system is assumed to be constant and known・ That means, in a simplified way, that u first appears explicitly only in the r-th total derivative of s and 急s（「） / 0 at the given point・ The task is to fulfill the constraint s （茁①）= 0 in finite time and to keep it exactly by discontinuous feedback control. Since s、爲 …,訶一1）are continuous functions of t and x. the corresponding motion will correspond to an r-sliding mode. Introduce new local coordinates y = …，where = s*2 二 £ …内亍—址厂一】）.ThenS@)= y) + g仏 y)uy g(t、2/)/0E = rj(t, S, 5,+ 7(t, 5, S, ...5 E =(外+】，・・・,"n)The problem is to find a discontinuous feedback u = U(t,x) causing finite-time convergence to an r-sliding mode. That controller must generalize the 1-sliding relay controller u = —K signs. Hence, g(tyy) and h(t,y) in (3.47) are to be bounded, h > 0・ Thus, we require that for some Km, Km • C > 0* 3叙” 5尬Let p be a positive number- DenoteM,r = |s|(iN“ = (|sf〃 + | 歼/(厂-】)+ …+ |s(i)p/(rT+l))(r—)/p,Nf = (|8|P/r + | 歼/(D + …+ j<$(r-2)|p/2)l/p01,r = d + 0iNi,rsign(s)%r = S⑴ +0zM,rSign@_],J i = - 1where 13、、…岛are positive numbers.定理 Let system (3.46) have relative degree r with respect to the output functioji s and (3・48) be fulfilled. Then with properly chosen positive parameters /3\,controller-a signprovides for the appearance of t-sliding mode s 三 0 attracting trajectories in finite time.25。