高数教材维数基坐标

6.2 维数、基、坐标一.向量的线性相关、线性无关二.线性空间的维数、基、坐标一.向量的线性相关（无关）*不经声明，不经声明，v v均表示数域均表示数域 P P 上的线性空间上的线性空间.二.维数、基、坐标 定 义定 义5 V5 V中 有中 有n n个 线 性 无 关 的 向 量，且 无 多 余个 线 性 无 关 的 向 量，且 无 多 余n n个 的 向 量 线 性个 的 向 量 线 性无 关，则 称无 关，则 称V V是是n n维 的 记 成维 的 记 成dimV=ndimV=n；若；若V V中 有 任 意 多 个 向 量 线 性中 有 任 意 多 个 向 量 线 性无关，则称无关，则称 V V是无限维的，记成是无限维的，记成dimV=.dimV=.l 线性空间线性空间V V的维数即的维数即V V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数所含向量的个数.例例1(1)V1(1)V2 2：两相交矢量确定此平面：两相交矢量确定此平面 dimV dimV2 2=2=2；V V3 3：三相交矢量确定此空间：三相交矢量确定此空间 dimV dimV3 3=3.=3.(2)P (2)Pn n=(a=(a1 1,a,a2 2,a,an n)|a)|ai i P,i=1,2,nP,i=1,2,n是是n n维的，维的，e e1 1,e,e2 2,e,en n是是P Pn n的的一个极大无关组一个极大无关组.(3)Rx=(3)Rx=f f(x)|(x)|f f(x)(x)是实系数多项式是实系数多项式.当当 f f(x)=a(x)=a0 0+a+an nx xn n,且且k k0 0+k+kn nx xn n=0=0时有时有k k0 0=k=kn n=0=0成立，故成立，故 1,x,x 1,x,xn n,是是RxRx的一个极大无关组的一个极大无关组 dimRx=dimRx=.l 本教材仅讨论无限维线性空间本教材仅讨论无限维线性空间.定义定义定义定义6 6 dimV=n dimV=n，如果，如果1 1，2 2，,n n 线性无关，则称线性无关，则称1 1,2 2,n n 为为 V V 的一组基（或一个基）；的一组基（或一个基）；V V，a a1 11 1+a+a2 22 2+a+an nn n,称称 a a1 1,a,a2 2,a,an n 为为在基在基1 1，2 2，,n n 下的坐标，记为（下的坐标，记为（a a1 1,a,a2 2,a,an n）.l 基是基是 V V 中一个极大无关组中一个极大无关组 V V 中有多个基，但维数是唯一确定的；中有多个基，但维数是唯一确定的；l 对任意的对任意的VV，可由基可由基1 1，2 2，,n n 唯一线性表示唯一线性表示 （这即说：向量（这即说：向量 在该基在该基1 1，2 2，,n n 下的坐标唯一确定）下的坐标唯一确定）.证明证明证明证明：据维数及基的定义据维数及基的定义 ，1 1，2 2，,n n 线性相关，即线性相关，即 存在不全为存在不全为0 0的的 b b1 1,b,b2 2,b bn n ,使使 b b1 11 1 +b+b2 22 2+b bn nn n+b+bn+1n+1=0 0 0 0 b bn+1n+10(0(否则，由否则，由1 1，2 2，,n n线性无关线性无关将推出将推出b b1 1=b=b2 2=b bn n =0=0，矛盾矛盾)=b=bn+1n+1-1-1(-b(-b1 1)1 1+(-+(-b bn n)n n)=a)=a1 11 1+a+a2 22 2+a an nn n ,即即可由基可由基1 1，2 2，,n n 线性表示线性表示.设设a a1 11 1+a+a2 22 2+a+an nn n b b1 11 1+b+b2 22 2+b+bn nn n (a(a1 1-b-b1 1)1 1+(a+(a2 2-b-b2 2)2 2+(a+(an n-b-bn n)n n 0 0 0 0 由基由基1 1，2 2，,n n 线性无关可知线性无关可知 a a i i=b=b i i (i=1,2,n),i=1,2,n),即表示唯一即表示唯一.l 基相当于基相当于V V中的一个度量标准，坐标是中的一个度量标准，坐标是V V中客观对象（即向量）在给定中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画标准下的一种量的刻画.定理定理定理定理1 1 1 1 1 1,2 2,n n 是是 V V 的基的基 1 1,2 2,n n 线性无关，且线性无关，且对任意的对任意的VV，可由可由1 1,2 2,n n 线性标出线性标出.6.1.作业习题解疑：P267.P267.习题习题3 3（5 5）：）：。