高等数学上册映射与函数

第一章分 析 基 础 函 数 极 限 连 续 研 究 对 象 研 究 方 法 研 究 桥 梁函数与极限 第 一 章 二 、 映 射 三 、 函 数 一 、 集 合第一节 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 映射与函数 元 素 a 属 于 集 合 M , 记 作元 素 a 不 属 于 集 合 M , 记 作一 、 集 合1. 定 义 及 表 示 法定 义 1. 具 有 某 种 特 定 性 质 的 事 物 的 总 体 称 为 集 合 .组 成 集 合 的 事 物 称 为 元 素 .不 含 任 何 元 素 的 集 合 称 为 空 集 , 记 作 . Ma ( 或 Ma ) .Ma注 : M 为 数 集 *M 表 示 M 中 排 除 0 的 集 ;M 表 示 M 中 排 除 0 与 负 数 的 集 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 表 示 法 ：(1) 列 举 法 ： 按 某 种 方 式 列 出 集 合 中 的 全 体 元 素 .例 : 有 限 集 合 naaaA , 21 niia 1自 然 数 集 ,2,1,0N n n(2) 描 述 法 ： xM x 所 具 有 的 特 征例 : 整 数 集 合 Z x Nx 或 Nx有 理 数 集 qpQ ,N,Z qp p 与 q 互 质实 数 集 合 R x x 为 有 理 数 或 无 理 数开 区 间 ),( xba bxa 闭 区 间 , xba bxa 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )( aa ),(U xa ), xba bxa ,( xba bxa 无 限 区 间 ), xa xa ,( xb bx ),( x Rx点 的 邻 域 a ),( xa axa x ax ax0其 中 , a 称 为 邻 域 中 心 , 称 为 邻 域 半 径 .半 开 区 间去 心 邻 域左 邻 域 : ,),( aa 右 邻 域 : .),( aa 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 是 B 的 子 集 , 或 称 B 包 含 A ,2. 集 合 之 间 的 关 系 及 运 算定 义 2 . 则 称 A.BA若 BA ,AB 且 则 称 A 与 B 相 等 , .BA例 如 , ZN QZ RQ 显 然 有 下 列 关 系 :;)1( AA ;AABA)2( CB 且CA , , A若 Ax ,Bx设 有 集 合 ,BA 记 作记 作 必 有 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 A cAB B定 义 3 . 给 定 两 个 集 合 A, B, 并 集 xBA Ax交 集 xBA Ax Bx且差 集 xBA Ax Bx且 定 义 下 列 运 算 : AB BA余 集 )( ABBABcA 其中直 积 ),( yxBA ,Ax By特 例 : RR 记 2R为 平 面 上 的 全 体 点 集 ABA BBA BA 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 Bx或 二 、 映 射1. 映 射 的 概 念 某 校 学 生 的 集 合 学 号 的 集 合按 一 定 规 则 查 号某 班 学 生 的 集 合 某 教 室 座 位的 集 合按 一 定 规 则 入 座 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 引 例 1. 引 例 2. xxy sinRx Ry引 例 3. o xy 1Q P 1),( 22 yxyxC 11),0( yyY (点 集 )(点 集 )CP点向 y 轴 投 影 YQ投影点xy sin xy o xy 1x 2x xxy sin机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 义 4. 设 X , Y 是 两 个 非 空 集 合 , 若 存 在 一 个 对 应 规则 f , 使 得 ,Xx 有 唯 一 确 定 的 Yy 与 之 对 应 , 则称 f 为 从 X 到 Y 的 映 射 , 记 作 .: YXf 元 素 y 称 为 元 素 x 在 映 射 f 下 的 像 , 记 作 ).(xfy 元 素 x 称 为 元 素 y 在 映 射 f 下 的 原 像 .集 合 X 称 为 映 射 f 的 定 义 域 ;Y 的 子 集 )(Xf Xxxf )( 称 为 f 的 值 域 .注 意 : 1) 映 射 的 三 要 素 定 义 域 , 对 应 规 则 , 值 域 . 2) 元 素 x 的 像 y 是 唯 一 的 , 但 y 的 原 像 不 一 定 唯 一 . X Yfx y 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 对 映 射 YXf :若 YXf )( , 则 称 f 为 满 射 ; X Yf )(Xf若 , 2121 xxXxx 有 )()( 21 xfxf 则 称 f 为 单 射 ;若 f 既 是 满 射 又 是 单 射 , 则 称 f 为 双 射 或 一 一 映 射 . X Y)(Xf f引 例 2, 3 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 引 例 2引 例 2 例 1.三角形 )(三角形集合海 伦 公 式 b c aS面积 ),0( 例 2. 如 图 所 示 , S xyo xey x),0 x对 应 阴 影 部 分 的 面 积 ),0 S则 在 数 集 ),0 自 身 之 间 定 义 了 一 种 映 射 (满 射 )例 3. 如 图 所 示 , xyo ),( yxrcosrx sinry 2R),( yxf)2,0),0),( r :f 则 有 (满 射 ) (满 射 )机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 X (数 集 或 点 集 ) 说 明 : 在 不 同 数 学 分 支 中 有 不 同 的 惯 用 X ( ) Y (数 集 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 f f 称 为 X 上 的 泛 函X ( ) X f f 称 为 X 上 的 变 换 R f f 称 为 定 义 在 X 上 的 为 函 数映 射 又 称 为 算 子 . 名 称 . 例 如 , 2. 逆 映 射 与 复 合 映 射(1) 逆 映 射 的 定 义 定 义 : 若 映 射 )(: DfDf 为 单 射 , 则 存 在 一 新 映 射,)(:1 DDff 使习 惯 上 , Dxxfy ,)(的 逆 映 射 记 成 )(,)(1 Dfxxfy 例 如 , 映 射 ,0,(,2 xxy 其 逆 映 射 为,xy ),0 x )(DfD f 1f ,)(,)( 1 xyfDfy 其 中 ,)( yxf 称 此 映 射 1f 为 f 的 逆 映 射 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (2) 复 合 映 射 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 1Dfg手 电 筒D D 2D2D引 例 . 复 合 映 射 定 义 . Dx g )()( Dgxgu 1Du f )(ufy 则 当 1)( DDg 由 上 述 映 射 链 可 定 义 由 D 到 Y 的 复,)( xgfy .),( Dxxgf 设 有 映 射 链记 作 )( 1DfY 合 映 射 , 时 , 或 )( 1DfY )(ufy )( xgf1DDx )(xgu g fgf )(Dg 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 注 意 : 构 成 复 合 映 射 的 条 件 1)( DDg 不 可 少 .以 上 定 义 也 可 推 广 到 多 个 映 射 的 情 形 . 定 义 域三 、 函 数1. 函 数 的 概 念 定 义 4. 设 数 集 ,RD 则 称 映 射 R: Df 为 定 义 在D 上 的 函 数 , 记 为 Dxxfy ,)( f ( D ) 称 为 值 域 函 数 图 形 : ),( yxC Dx,)(xfy xy ),( baDa bxy)(DfD 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 自 变 量因 变 量 Dx f DxxfyyDfy ),()(对 应 规 则 ) (值 域 )(定 义 域 )例 如 , 反 正 弦 主 值 xxfy arcsin)( ,1,1D ,)( 22 Df 定 义 域 对 应 规 律 的 表 示 方 法 : 解 析 法 、 图 象 法 、 列 表 法使 表 达 式 及 实 际 问 题 都 有 意 义 的 自 变 量集 合 .定 义 域 值 域 xyo xy xxf )(又 如 , 绝 对 值 函 数 0, xx 0, xx定 义 域 RD值 域 ),0)( Df 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 已 知 函 数 1,1 10,2)( xx xxxfy求 )(21f 及 ,)(1tf解 : 2121 2)( f 2)(1tf 10 t,11 t 1t,2t时0t函 数 无 定 义并 写 出 定 义 域 及 值 域 .定 义 域 ),0 D值 域 ),0)( Df 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 函 数 的 几 种 特 性设 函 数 ,)( Dxxfy 且 有 区 间 .DI (1) 有 界 性 ,Dx ,0M 使 ,)( Mxf 称 )(xf,Ix ,0M 使 ,)( Mxf 称 )(xf说 明 : 还 可 定 义 有 上 界 、 有 下 界 、 无 界 (见 上 册 P11 )(2) 单 调 性 为 有 界 函 数 .在 I 上 有 界 . ,Dx 使若 对 任 意 正 数 M , 均 存 在 ,)( Mxf 则 称 f ( x ) 无 界 . 称 为 有 上 界称 为 有 下 界,)(, Mxf ),(, xfM 当, 21 Ixx 21 xx 时 ,)()( 21 xfxf 若称 )(xf 为 I 上 的,)()( 21 xfxf 若称 )(xf 为 I 上 的单 调 增 函 数 ;单 调 减 函 数 . xy 1x 2x机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xyo xx(3) 奇 偶 性 ,Dx 且 有 ,Dx若 ,)()( xfxf 则 称 f (x) 为 偶 函 数 ;若 ,)()( xfxf 则 称 f (x) 为 奇 函 数 . 说 明 : 若 )(xf 在 x = 0 有 定 义 ,.0)0( f)(xf 为 奇 函 数 时 , 则 当必 有例 如 , 2)( xx eexfy xch 偶 函 数 xyo xexe xy ch双 曲 余 弦 记 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xyo又 如 , 2)( xx eexfy 奇 函 数 xexe xy shxsh 双 曲 正 弦 记再 如 , xxy chsh xx xx ee ee 奇 函 数 oy x11xth 双 曲 正 切 记 xy th 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (4) 周 期 性 ,0, lDx 且 ,Dlx )()( xflxf 则 称 )(xf 为 周 期 函 数 , to)(tf 22 x o2 y 2 若称 l 为 周 期 ( 一 般 指 最 小 正 周 期 ).周 期 为 周 期 为 2注 : 周 期 函 数 不 一 定 存 在 最 小 正 周 期 .例 如 , 常 量 函 数 Cxf )(狄 里 克 雷 函 数 )(xf x 为 有 理 数x 为 无 理 数,1,0 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3. 反 函 数 与 复 合 函 数(1) 反 函 数 的 概 念 及 性 质若 函 数 )(: DfDf 为 单 射 , 则 存 在 逆 映 射DDff )(:1习 惯 上 , Dxxfy ,)( 的 反 函 数 记 成)(,)(1 Dfxxfy 称 此 映 射 1f 为 f 的 反 函 数 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 其 反 函 数(减 )(减 ) .1) y f (x) 单 调 递 增 ,)(1存在xfy 且 也 单 调 递 增 性 质 : 2) 函 数 )(xfy 与 其 反 函 数)(1 xfy 的 图 形 关 于 直 线xy 对 称 .例 如 , ),(, xey x对 数 函 数 ),0(,ln xxy 互 为 反 函 数 ,它 们 都 单 调 递 增 , 其 图 形 关 于 直 线 xy 对 称 . )(xfy )(1 xfy xy ),( abQ ),( baP xyo 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 指 数 函 数 (2) 复 合 函 数 1),( Duufy ,),( Dxxgu 1)( DDg 且则 Dxxgfy ,)(设 有 函 数 链称 为 由 , 确 定 的 复 合 函 数 , 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 复 合 映 射 的 特 例 u 称 为 中 间 变 量 . 注 意 : 构 成 复 合 函 数 的 条 件 1)( DDg 不 可 少 . 例 如 , 函 数 链 : ,arcsinuy ,12 2xu 函 数 ,12arcsin 2xy Dx ,1 23 1, 23但 函 数 链 22,arcsin xuuy 不 能 构 成 复 合 函 数 .可 定 义 复 合 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 两 个 以 上 函 数 也 可 构 成 复 合 函 数 . 例 如 , 0, uuy可 定 义 复 合 函 数 : ,2cot xy ,)12(,2( kkx Zn02cot,22 xkxk时 ),2,1,0(,cot kkvvu ),(,2 xxv 4. 初 等 函 数(1) 基 本 初 等 函 数幂 函 数 、 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 三 角 函 数 、 反 三 角 函 数(2) 初 等 函 数由 常 数 及 基 本 初 等 函 数否 则 称 为 非 初 等 函 数 . 例 如 , , 2xy y 0, xx 0, xx并 可 用 一 个 式 子 表 示 的 函 数 ,经 过 有 限 次 四 则 运 算 和 复 合 步骤 所 构 成 , 称 为 初 等 函 数 .可 表 为 故 为 初 等 函 数 .又 如 , 双 曲 函 数 与 反 双 曲 函 数 也 是 初 等 函 数 .( 自 学 , P17 P21 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 非 初 等 函 数 举 例 :符 号 函 数 xy sgn 当 x 0,1 当 x = 0,0 当 x 0,1 xyo1 1取 整 函 数 xy 当 Znnxn ,1,n xyo 1 3 4212 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 求 y 的 反 函 数 及 其 定 义 域 .解 : 01 x当 时 , 2xy 则 1,0(, yyx 10 x当 时 , xy ln则 0,(, yex y21 x当 时 , 12 xey则 2,2(,ln1 2 eyx y 反 函 数 y 1,0(, xx 0,(, xex 2,2(,ln1 2 exx 定 义 域 为 2,2(1,( e21,2 10 ,ln 01, 12 xe xx xx x 2 1 2e21 yo x1,1,0( ,0,( ,2,2( e 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 集 合 及 映 射 的 概 念 定 义 域对 应 规 律3. 函 数 的 特 性 有 界 性 , 单 调 性 ,奇 偶 性 , 周 期 性4. 初 等 函 数 的 结 构 作 业 P21 6 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20 2. 函 数 的 定 义 及 函 数 的 二 要 素 第 二 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 且备 用 题 0)0( f ,)()( 1 xcxfbxfa ,ba 证 明 )(xf证 : 令 ,1xt 则 ,1tx tctfbfa t )()(1由 xcxfbxfa )()( 1 xcxfbfa x )()(1消 去 ),(1xf 得 )0()( 22 xxaxbab cxf ),()( xfxf 显然,0)0( f又)(xf故0 x 时 其 中a, b, c 为 常 数 , 且 为 奇 函 数 .为 奇 函 数 .1. 设 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2 . 设 函 数 ),(,)( xxfy 的 图 形 与 ,ax 均 对 称 , 求 证 )(xfy 是 周 期 函 数 .)( baby 证 : 由 )( xaf )(xf 的 对 称 性 知 ),( xaf )( xbf )( xbf 于 是 )(xf )( axaf )( axaf )2( xaf )2( bxabf )2( bxabf )(2 abxf 故 )(xf 是 周 期 函 数 , 周 期 为 )(2 abT 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 。