异面直线所成角问题

1. ［2016全国卷I ］平面 a过体ABCD -AiBiCiDi的顶点 A, =m， aQ平面ABBiAi= n,贝U m, n所成角的正弦值为（［解析］A在体ABCD - AiBiCiDi外依次再作两个一样的体，如图所示，易知AE // BiDi,N分别为AD , BC的中点，则异面直线AN , CM所成的角的余弦值是A答案：78的角为/E,贝U ME // AN,则异面直线 AN, CM所成:2，所以 ME= 2, CE= ( 2) 2+ 12 =_ 「 _ 72CM - ME 2X 2 2 X 2 8.；［解析］连接ND，取ND的中点为EMC.因为 AN = ND = MC =』32— 12 = 2 3，则 cos/ EMC =饷2+ ME2 — CE2 8 + 2-3异面直线所成角问题a//平面 CBiDi, aQ平面 ABCD)AF // CDi，所以平面 AEF //平面CBiDi,即平面AEF就是过点 A的平面a,所以AE为平面 a与平面ABCD的交线，即为 m, AF为平面a与平面ABBiAi的交线，即为n,所以m, n 所成角即为AE与AF所成角，也是BiDi与CDi所成角，为/ CDiBi.而厶CDiBi为等边三角n v'3形，因此 / CDiBi= 3，所以 sin ZCDiBi= 2 .2.三棱柱ABC-AiBiCi的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为 2，高为.2, M是AB的中点，则直线 CM与BCi所成的角等于 .答案：45°;［解析］如图所示，取 AiBi的中点N，连接CiN , MN，则CiN// CM,所以 / BCiN即为异面直线 CM与BCi所成的角，由题意易得 CiN = 3, BN = 3, BCi= 6,所 以三角形BNCi为等腰直角三角形，则/ BCiN= 45° . [20i5 卷]如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，AB= AC = BD = CD = 3, AD = BC = 2，点 M ,fl4.[2016 —模]如图所示,在底面为形的四棱锥P-ABCD 中，FA= PB= PC = PD = AB = 2,点BE与PD所成角的余弦值为2X 3 X 1 65.[2016摸底]如图所示，在体AE与DiC所成的角为（ ）E为棱FA的中点，则异面直线答案：63;取AD的中点F，连接EF, BF.因为E为PA的中点，所以 EF // PD , EF = ；PD=1•因为三角形 PAB为等边三角形，所以 BE = 3•因为四边形 ABCD为形，所以 BF =A . 30° B. 45° C. 60° D . 90°答案：D;［解析］⑴连接ABi, ACi.TCDi 丄 BiCi, CDi± ABi, ABi n BiCi= Bi,••• CDi 丄平面 ABiCi.••• AE?平面ABiCi,： AE丄DiC ,•异面直线 AE与DiC所成的角为90° 6.[20i6四模]六棱柱ABCDEF -AiBiCiDiEiFi的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面边长，则直线 AE与CBi所成角的余弦值为 .答案：〒；［解析］连接AFi, EFi.v CBi / EFi,「./ AEFi是异面直线 AE与CBi所成的角. 设 AB = i，则 AFi= EFi= 2,AE2= i + i- 2X i X i X cos i20°= 3,即卩 AE = 3,，— AE2 + EFAB2 * + AF2 = 22+ 12 = 5 ,所以在三角形BEF中，由余弦定理得cos / BEF =-AFi 3+ 2 — 2 启--cos/ AEFi = =■ r~ -= ,2AE - EFi 2 X 寸3X 寸2 4•直线AE与CBi所成角的余弦值为 4ABCD-AiBiCiDi中，E是线段 BiCi上的动点，则异面直线 [20i6中学期末]如图所示，已知在四面体 ABCD中，E, F分别是AC, BD的中点，若AB = 2, CD = 4, EF丄AB,贝U EF与CD所成角的大小为 .\\q u q ■ im n答案：30°;［解析］取AD的中点G,连接FG, EG,又E, F分别为AC, BD的中 点，所以FG // AB，且FG = 1, EG // CD，且EG = 2，所以EF与CD所成的角即为 EF与 EG 所成的角，即/ FEG，又 EF丄 AB，即/ EFG = 90°,所以/ FEG = 30° .& ［2016中学六调］如图所示，在直四棱柱 ABCD -AiBiCiDi中，底面四边形 ABCD为形,AAi= 2AB,则异面直线 AiB与ADi所成的角的余弦值为（ ）123C.3［解析］连接AB = i，则5+ 5-2理得 cos/ Ai bc i = =2X^5 Xp 5BCi, AiCi，则 BCi// ADi,/ AiBCi 即为异面直线 AiB = BCih—5, AiCi = j2，在三角形 AiBC i 中，45,所以异面直线 AiB与ADi所成的角的余弦值为AiB与 由余弦定45.9.［20i6五校二联］如图所示，在边长为i的菱形 ABCD中，/ DAB = 60 翻折，得到三棱锥 A-BCD , 角的余弦值为（ ）则当三棱锥 A-BCD的体积最大时，异面直线,沿BD将厶ABD AD与BC所成的D.fA5 B1 严A.8 b.4 C.i6 答案：B;［解析］在平面与BC所成的角或其补角，连接过 D 作 DE // BC 且 DE = BC，则/ ADEBE, AE，设BD的中点为 O,连接 AO , EO,当三棱锥 丄平面BCD ,所以AO丄EO ,于是AE = AO2+ EO2= j, 迁2BCD即为异面直线ADA-BCD的体积最大时，平面ABDi + i- 2 i在三角形AED中，cos/ ADE = = “所以异面直线 AD与BC所成的角的余弦2X i X i 4值为:.i0. ［20i6 •中模拟］如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，/ ABC =/ BAD = 90°, BC = 2AD,△ PAB和厶FAD都是等边三角形，则异面直线 CD与PB所成角的大小为（ ）C. 60D . 45答案：A；［解析］延长DA到E,使AE = DA，连接PE, BE.•••/ ABC = Z BAD = 90°, BC = 2AD , AE = DA ,••• DE = BC , DE // BC,•••四边形CBED是平行四边形，• CD // BE ,•••/ PBE就是异面直线 CD与PB所成的角.•••△ PAD是等边三角形，•••/ PAD = 60°,•••/ PAE= 120° .在厶 PAE 中，T AE = PA，/ PAE= 120° ,• PE= PA2 + AE2— 2PA-AEcosZ PAE= 3AE.在厶 ABE 中，T AE = AB , Z BAE = 90°,• BE = 2AE.•••△ PAB是等边三角形，PB= AB = AE.在厶 PBE 中，t PE= 3AE , BE = 2AE , PB= AE ,• PB2+ BE2 = PE2,• △ PBE是直角三角形，且Z PBE = 90° .故选A. BD所成角的余弦值为11. ［2014 •全国卷］已知正四面体 ABCD中，E是AB的中点，则异面直线 CE与BD所成角的余弦值为(A.6 B.f6 6 答案：B:)C.1 D.专3 3［解析］如图所示，取 AD的中点F，连接EF, CF，则EF // BD，故EF与CE所成的角即为异面直线 CE与BD所成的角.设正四面体的棱长为 2，则CE = CF = 3,CE2+ EF2 — CF 2 3丄 1 一 3EF = 1.在厶CEF中，cos Z CEF = 一—Z~~C一 = 7=一 = 七，所以异面直线 CE 与2CE - EF 2 X 寸3X 1 6D -ABC连接DO后的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点, )12. 如图是三棱锥则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( 迟 1 厂 亚A.§ B.2 C. .3 D.~2"主视圈 左视圈答案：A :［解析］由题意，从 A出发的三条线段 AB, AC, AD两两垂直且 AB= AC =2，AD = 1, O是BC的中点，取 AC的中点E,连接DE, OE ,则OE = 1•易知AE = 1,由 于OE // AB，故/ DOE即为异面直线 DO与AB所成的角或其补角.易知 AB丄平面DAC , 又OE// AB，所以OE丄平面DAC，所以OE丄DE，即△ DEO为直角三角形.在△ DBC 中,易知 DC = DB = 5, OC= 2,所以 DO = 5 — 2 = 3,所以cos/ DOE =OE =丄=DO = 3 =13. 如图所示，在体 ABCD-AiBiCiDi中，E, F分别是AB, AD的中点，则异面直线 BiC与EF所成的角的大小为 答案：60° 解析：连接 BiDi, DiC,则 BiDi//EF，故/DiBiC 为所求，又 BiDi= BiC = DiC,•••/DiBiC= 60 °14•直三棱柱 ABC-AiBiCi中，若/ BAC = 90 ° AB = AC= AAi，则异面直线 BAi与 ACi所成的角等于（ ）A. 30 °B . 45C. 60D . 90 °答案：C;解析：如图，可补成一个体,••ACi //BDi.••BAi与ACi所成角的大小为/ AiBDi.又易知△ AiBDi为正三角形，•••zAiBDi= 60 °即BAi与ACi成60。

的角.i5. [20i4模拟]在正四棱锥V-ABCD中，底面形ABCD的边长为i,侧棱长为2,则异面直 线VA与BD所成角的大小为（ ）冗nB.4nD・n答案：D ;解析：如图所示，设AC n BD = 0,连接VO,由于四棱锥 V-ABCD是正四棱锥，所以 VO丄平面ABCD，故BD丄VO.又四边形 ABCD是形，所以 BD丄AC,所以BD丄n平面VAC.所以BD丄VA,即异面直线 VA与BD所成角的大小为216. [2014模拟]在三棱锥 P-ABC中，PA丄底面 ABC，AC丄BC，PA = AC = BC,则直线 PC与AB所成角的大小是 .答案：60°解析：分别取PA, AC, CB的中点F, D, E连接FD , DE, EF, AE,贝U /FDE是直线PC与AB所成角或其补角.设 FA= AC = BC = 2玄，在厶FDE 中，易求得 FD = 2a, DE = 2a, FE = 6a,2a2 + 2a2— 6a2 1根据余弦定理，得 cos/FDE = =— o,2a XV 2a 2所以/FDE = 120 °所以直线PC与AB所成角的大小是60 :17. 如图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1 : AB= . 2 ： 1，则异 面直线AB1与BD所成的角为 .答案：60°解析：在平面ABC,过A作DB的平行线 AE,过B作BH丄AE于H,连接 BiH，则在 Rt△KHBi 中，ZBiAH 为 ABi 与 BD 所成角.设 AB= 1，贝U AiA = 2, /-BiA = 3,AH = BD =AH 1/cosZBiAH = = ,/ZBiAH = 60 °ABi 2i8•已知三棱锥 A-BCD中，AB = CD，且直线 AB与CD成60。

角，点 M、N分别是 BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角•解：如图，取AC的中点P,连接PM、PN.i则 PM //AB,且 PM= 2AB.线AB和MN所成的角.1PN//CD，且 PN = 2CD ,•••JMPN为AB与CD所成的角（或所成角的补角）.贝U/MPN = 60 或ZMPN = 120 °若ZMPN = 60 ；••PM //AB,•zPMN是AB与MN所成的角（或所成角的补角）.又•AB= CD ,•'PM = PN，则△ PMN是等边三角形，/•zPMN = 60 :即AB与MN所成的角为 60 °若ZMPN = 120，则易知厶PMN是等腰三角形./•zPMN = 30 :19. 体 ABCD-AiBiCiDi 中,⑴求AC与A1D所成角的大小；⑵若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.解析：（1）如图所示，连接 B1C，由ABCD-A1B1C1D1是体，易知A1D //BQ，从而B1C与AC所成的角就是 AC与A1D所成的角.••AB1 = AC = B1C，•/B1CA = 60 °.即AiD与AC所成的角为60 °⑵如图所示，连接 AC、BD，在体 ABCD-AiBiCiDi中,AC 丄 BD , AC//A1C1,••E、F分别为AB、AD的中点，••EF //BD,「.EF 丄 AC.••EF 丄 AiCi.即AiCi与EF所成的角为90 °20. （13分）［20i6冀州中学模拟］如图K39-9所示，在三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, / BAC = 60°, PA= AB= AC = 2, E是 PC 的中点.（i）求证：AE与PB是异面直线；⑵求异面直线AE和PB所成角的余弦值.解：（I）证明：假设 AE与PB共面，设平面为 a.• A €a, B € a, E € a,•平面a即为平面ABE ,• P€ 平面 ABE ,这与P?平面ABE矛盾，假设不成立，• AE与PB是异面直线.(2)取BC的中点F，连接EF, AF，贝U EF // PB,「./ AEF或其补角就是异面直线 AE和PB所成角.•••/ BAC = 60°, PA=AB = AC = 2, PA丄平面 ABC ,••• AF = 3, AE = 2, EF = 2, 2+ 2 — 3 1…cosz AEF = —=,2X^2 X^/2 4•••异面直线21 . (12分)[2016十三校二联]如图K39-10所示，在四棱锥 O -ABCD中，底面 ABCDn是边长为1的菱形，/ ABC = —, OA丄底面ABCD , OA= 2, M为OA的中点.(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；⑵求点B到平面OCD的距离.解：(1) •/ CD // AB，•/ MDC或其补角即为异面直线 AB与MD所成的角.作AP丄CD于P,连接 MP OA丄平面 ABCD , • OA丄CD，又AP丄CD , OA n AP =A , • CD 丄平面 MAP, • CD 丄 MP.n m 2•••/ ADP = — , AP 丄 CD, AD = 1, • DP=H4 2 .•/ MD = MA 2+ AD2= 2, • cosZ MDP = DP = 1, MDC =Z MDP =",* 彳， MD 2 3n• AB与MD所成角的大小为3 .⑵易知AB //平面OCD，•点A和点B到平面OCD的距离相等.连接OP ,过点A作AQ丄OP于点Q ,由(1)知CD丄平面 MAP. •/ AQ?平面 MAP, • AQ丄CD.又••• AQ丄OP , OPn CD = P, • AQ丄平面 OCD, •线段AQ的长就是点 A到平面 OCD 的距离.•/ OP=JOD2— DP2 = \ OA2+ AD2— DP2 = A 4 + 1 —十=耳2 , AP = DP =乎,2 X^OA ・ AP 2 2 2••• AQ = ―=—亍=-,•••点B到平面OCD的距离为-.OP ^2 3 3（萌）+ 承也，所以异面直线 be与pd所成角的余弦值为 乂3。