2019-2020年高中数学第二章推理与证明考前过关训练新人教A版选修一、选择题(每小题3分,共18分)1.若有一段演绎推理:“大前提:对任意实数a,都有=a.小前提:已知a=-2为实数,结论:=-2.这个结论显然是错误的,这是因为 ( )A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误【解析】选A.因为n为偶数时,若有意义,则a≥0.故大前提错误.2.(xx济宁高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是 ( )A.P(n)对n∈N*成立 B.P(n)对n>4且n∈N*成立C.P(n)对n=5成立 D.P(n)对n=3不成立【解析】选D.因为P(n)对n=4不成立,所以A错误.无法判断n>4时,P(n)是否成立.假设P(n)对n=3成立,则根据推理关系,得P(n)对n=4成立,与条件P(n)对n=4不成立矛盾.所以假设不成立.3.证明命题:“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”,现给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-.这因为x>0,所以ex>1,0<<1,所以ex->0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,此处使用的证明方法是 ( )A.综合法 B.分析法C.反证法 D.以上都不是【解析】选A.本证明是从已知条件出发用已知定理证得结论,是综合法.4.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是 ( )A.a>b B.a1,所以a>0,b>0,又a=-=,b=-=,因为+>+所以<所以ab>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上,类比上述结论可推出:双曲线-=1(a>0,b>0)上斜率为1的弦中点在直线________上.【解析】结合椭圆、双曲线方程结构特征可知,斜率为1的弦中点应在直线-=0上.答案:-=08.对奇数列1,3,5,7,9,…,进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________.【解析】由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,…,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.答案:f(n)=n39.(xx天津高二检测)如图所示是一个有n层(n≥2,n∈N*)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第n层每边有n个点,则这个点阵共有________个点.【解析】设第n层共有an个点,结合图形可知a1=1,a2=6,…,an+1=an+6(n≥2,n∈N*),则an=6+(n-2)6=6n-6(n≥2,n∈N*),前n层所有点数之和为Sn=1+=3n2-3n+1,故这个点阵共有3n2-3n+1个点.答案:3n2-3n+1三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.【证明】假设a,b,c中至少有一个不大于0,不妨设a≤0,若a<0,则由abc>0,得bc<0,由a+b+c>0得,b+c>-a>0,所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0,这与已知ab+bc+ac>0矛盾.又若a=0,则abc=0与abc>0矛盾.“a≤0”不成立,所以a>0,同理可证b>0,c>0.11.(xx安庆高二检测)设f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).(1)5=2+3请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示.(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.【解析】(1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)=+=,又g(5)=,因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:因为f(x)=,g(x)=(大前提).所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,(小前提及结论)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=+==g(x+y).【补偿训练】1.如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BDBC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题. 图(1) 图(2)【解析】命题是:三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有=S△BCMS△BCD,是一个真命题.证明如下:在图中,连接DM,并延长交BC于点E,连接AE,BM,CM,则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC,所以AD⊥AE.又AM⊥DE,所以AE2=EMED.于是===S△BCMS△BCD.2.(xx肥城高二检测)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值.【解析】因为an=,f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),所以f(1)=1-a1=1-=,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)==,f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)==,由此猜测f(n)=.。
