哈尔滨工业大学结构力学II第二套张金生有限单元法.ppt

有限单元法初步,有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似离散化：,单元分析：,整体分析：,求应力：,1 杆系结构的有限单元法,1.1 泛函与变分,“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短不计摩擦）,所需时间,称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函1.1 泛函与变分,变分运算在形式上与微分运算相同称 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数微分与变分运算次序可以交换积分与变分运算次序也可以交换1.2 变形体虚位移原理,外力虚功,内力虚功,虚功方程,1.3 势能原理,1.应变能,弯曲应变能,拉压应变能,剪切应变能,2.外力势能,外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.,3.结构势能,对于线弹性杆件体系,4.势能原理,对于线弹性杆件体系,对于线弹性杆件体系,虚功方程为:,或,即,在弹性结构的一切可能位移中，真实位移 使结构势能取驻值1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元杆端力,一、建立位移模式 ---用杆端位移表示杆中位移,单元杆端位移,设杆中任一点位移,a、b称为广义坐标,令 ---自然坐标,---形函数矩阵,2.,中包含刚体位移,杆中任一点应变,一、建立位移模式 ---用杆端位移表示杆中位移,---应变矩阵,二、应变分析 ---用杆端位移表示杆中应变,三、应力分析 ---用杆端位移表示杆中内力,杆中任一点应力,杆中任一截面的轴力,四、单元分析 ---用杆端位移表示杆端力,单元应变能,单元外力势能,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,四、单元分析 ---用杆端位移表示杆端力,单元的总势能,单元是平衡的,上式记作,其中,--局部坐标系下的单元刚度矩阵,--单元等效结点荷载,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元分析的步骤:,1.以单元结点位移表示单元内位移,的性函数矩阵,2.由应变分析得到应变矩阵,3.由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程 得到单刚与单元等效结点荷载,坐标转换与矩阵位移法相同,。