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6.1 二维梁理论梁是用来承受横向载荷的结构第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元(6.1二维梁理论)第1页/共55页梁的横向载荷主要由弯曲变形来承载(中性面)neutral surface(中性面)：位于上底面和下底面之间的平面，该平面上的材料沿梁轴线方向既无伸长也无缩短第2页/共55页梁理论的假定最简单和常见的棱柱形截面直梁模型有：Bernoulli-Euler 梁理论Timoshenko 梁理论(经典梁理论)(工程梁理论)(考虑了横向剪应变,存在剪切闭锁问题(shear locking problem)第3页/共55页中性面与横截面之间的交线叫横截面的中性轴(neutral axis)如果梁由单一材料构成，中性轴的位置仅由截面的几何形状决定单元坐标系统(Element Coordinate Systems)中性轴横截面对称面第4页/共55页2.横截面是不变的或者光滑变化的3.垂直于梁轴线的横截面在梁弯曲后仍然垂直于梁轴线1.对称面(Planar symmetry).梁沿长度方向是直的，横截面有一个沿长度方向的对称面，横向载荷的合力位于此对称面上二维经典梁理论的假定6.梁材料为均匀弹性材料。

5.横向挠度、转角、变形为无限小4.只考虑由于弯曲引起的应变能，不考虑横向剪切和轴向拉伸第5页/共55页satisfy symmetry conditions for the simple bending theorydoes not satisfy the symmetry requirement第6页/共55页梁弯曲后高度为y处的材料长度为:平面曲线的曲率半径为:第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元(6.2 EB梁的运动学)6.2 EB梁的运动学第7页/共55页平面梁在xy平面内的运动可以用二维位移场描述：transverse displacement(横向位移)axial displacement(轴向位移)Note:忽略z方向由于泊松效应引起的运动位移第8页/共55页由垂直面假定可以得到rotation of a cross section about z,counterclockwise=positive.第9页/共55页第10页/共55页应变,应力,剪力,弯矩EB梁的内能完全由弯曲应变和应力引起deformed beam axis curvature(曲率)第11页/共55页y第12页/共55页由一维虎克定律有应力合力(stress resultant)为横截面上的积分,称为弯矩(bending moment)ME I 关于z轴的弯曲刚度(bending rigidity)moment of inertia(惯性矩)of cross section about the z(neutral)axis第13页/共55页考虑梁微元y方向上的力平衡。

yq(x)第14页/共55页再考虑对右端面上任意一点的矩平衡：忽略二阶小量(dx)2 得第15页/共55页总势能泛函总势能为注意到 U 和 W 依赖于挠度 v(x),于是第16页/共55页注释:如果作用有沿梁长度的分布弯矩：m(x)每单位梁长度，则该分布载荷做的外力功为第17页/共55页运动方程(KE,Kinematics equations):本构方程(CE,Constitutive equation):小结第18页/共55页平衡方程(BE,Balance equations):位移边界条件:第19页/共55页最简单的EB梁单元有两个节点,i,j,共4个自由度:6.3二维梁单元形函数第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元(6.3 二维梁单元形函数)第20页/共55页有4个自由度的2节点EB梁第21页/共55页满足2个节点C1 连续的简单形函数是三次 Hermitian 函数第22页/共55页 从1到1之间变化，在节点i处(x=0)为1，在节点j处(x=L)为1.第23页/共55页Hermitian shape functions of plane EB beam element第24页/共55页curvature-displacement matrix.第25页/共55页第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元(6.4 二维EB梁单刚及节点载荷)6.4 二维EB梁单刚及节点载荷第26页/共55页第27页/共55页第28页/共55页第29页/共55页Check stiffness matrix and nodal force by MapleHomework:(1)Derive the node force vector f(e)of EB beam element subject to a uniformly distributed moment m per unit length.(2)For arbitrary m(x),show that第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元(6.5 Maple演示及例题)6.5 Maple演示及例题第30页/共55页例 6.1:一个等截面悬臂梁受到作用于自由端的向下集中力.梁材料Youngs 模量 E=69.0 GPa.12第31页/共55页解:第一步:计算单元刚度阵第32页/共55页有限元平衡方程 为Can we solved above linear equations right now?第33页/共55页第二步:施加边界条件在梁的固定端于是得到方程组:第34页/共55页第三步:求解有限元方程组得到解为第35页/共55页注意这个有限元解与解析解完全一致.Recall that 第36页/共55页Thus如果 q(x)=0,则挠度 v 为 x 的三次多项式,正好与用形函数插值假定的位移场一致.如果没有分布载荷,EB 梁的有限元解就是简单梁理论的解析解.第37页/共55页例 6.2:一个梁两端固定，在中点受集中力 P 和集中弯矩 M 作用.求中点的挠度和转角，以及两端的支反力.第38页/共55页解:有限元刚度阵为第39页/共55页系统有限元方程为载荷与边界条件为第40页/共55页引入边界条件后的有限元方程为解之得从系统有限元方程，可以得到边界支反力第41页/共55页梁的应力为第42页/共55页例 6.3:一个悬臂梁受分布载荷p作用.求梁自由端的挠度和转角,以及固定端的支反力.第43页/共55页解:节点载荷为第44页/共55页于是有限元方程为载荷与边界条件为第45页/共55页得到引入边界条件的有限元方程解之得第46页/共55页从有限元方程可以计算支反力第47页/共55页(1)有限元解v(x)(for 0 x L)与解析解有差异.基于简单梁理论的解析解是x的四次多项式,而有限元解是x的三次多项式.(why?)注释:Check with Maple第48页/共55页(2)如果忽略由于分布力等效到节点而产生的弯矩 m,则有由此导致的误差会随着单元数量的增多而减少.在一些有限元应用中有时忽略m，也能够通过使用更多的单元得到收敛解.第49页/共55页例 6.4:如图，一个悬臂梁在自由端用一弹簧支撑，划分为2个单元。

P=50 kN,k=200 kN/m,L=3 m,E=210 GPa,I=210-4 m4.求自由端挠度和支反力.第50页/共55页解:弹簧的刚度阵为把这个刚度阵添加到系统总刚中(see Example 6.2),得到第51页/共55页载荷与BCs:第52页/共55页引入边界的有限元方程为解之得第53页/共55页从系统有限元方程得到支反力第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页。