整理版求通项公式的几种方法

求通项公式的几种方法数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．　　一、观察法　　一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．例1 观察以下数的特点，写出每个数列的一个通项公式．〔1〕； 〔2〕．解：〔1〕； 〔2〕．二、由的前项和与间的关系，求通项数列的通项公式，可以求出的前项和；反过来，假设的前项和，如何求呢？，当时，；当时，，故此处应注意并非对所有的都成立，而只对当且为正整数时成立，因此由求时必须分和两种情况进行讨论．例2 设数列的前项和，求数列的通项公式．解：当时，；当时，．此式对也适用．．点评：利用数列的前项和求数列的通项公式时，要注意是否也满足得出的表达式，假设不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．三、利用公式求通项公式一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．例3　 等差数列的前项和记为，，求通项．　　解：，　　　　　① ， ② ②－①，得．代入①，得．．　　四、利用递推关系，求通项公式　　根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．　　例4　根据以下条件，求数列的通项公式．（1） 数列中，；（2） 数列中，；（3） 数列中，．解：〔1〕因为，所以．又，所以成等差数列，公差为．所以．〔2〕因为，所以，，，，．将上面个式子叠加，得，所以．〔3〕由，变形为，，．将上面的式子叠乘，得．．五、两式相减，消项求通项例5 数列满足，求．解：由题意，又，两式相减，得．．又时，也适合上式，．总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．。