傅里叶变换的物理意义

FFT的物理意义FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域有些信号在时域上是很 难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了这就是很多信号分析 采用FFT变换的原因另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也 是经常用的虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的 结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义一个模拟信号，经过ADC采样 之后，就变成了数字信号采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就 不在此啰嗦了采样得到的数字信号，就可以做FFT变换7°N个采样点，经过FFT之后，就可以得到 N个点的FFT结果为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N那么FFT之后结果就是一个为N点 的复数每一个点就对应着一个频率点这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性具体 跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点(除 了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍而第一个点就是直流分量，它的模值 就是直流分量的N倍。

而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位第一个点表示 直流分量(即0Hz)，而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的，这里是 假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后)则表示采样 频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加例如某点n所表示 的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果 采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz1024Hz的采样率采样 1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz， 如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz如果要提高频率分辨力，则 必须增加采样点数，也即采样时间频率分辨率和采样时间是倒数关系假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位 就是Pn=atan2(b,a)根据以上的结果，就可以计算出n点(n手1且n<=N/2)对应的信号 的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。

对于 n=1 点的 信号，是直流分量，幅度即为A1/N由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的 结果，即小于采样频率一半的结果下面以一个实际的信号来做说明假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率 为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、 幅度为1.5V的交流信号用数学表达式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中 cos 参数为弧度，所 以-30度和90度要分别换算成弧度我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采 样256点按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就 是1Hz，第n个点的频率就是n-1我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分 别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0实际情况如何 呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值我们分别将这 三个点附近的数据拿上来细看：1 点：512+0i2 点:-2.6195E-14 - 1.4162E-13i3 点：-2.8586E-14 - 1.1898E-13i50 点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51 点:332.55 - 192i52 点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75 点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i76 点:3.4315E-12 + 192i77 点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在 那些频率点上的信号幅度为0。

接着，我们来计算各点的幅度值分别计算这三个点的模值， 结果如下：1 点：51251 点:38476 点：192按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2； 50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3； 75Hz 信号的幅度为 192/(N/2)=192/(256/2)=1.5可见，从频谱 分析出来的幅度是正确的然后再来计算相位信息直流信号没有相位可言，不用管它先计算50Hz信号的相位， atan2(-192, 332.55)=-0.5236，结果是弧度，换算为角度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001再 计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是 180*1.5708/pi=90.0002可见，相位也是对的根据FFT结果以及上面的分析计算，我们 就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号a 20 4G EC 80 1EH I2D 140总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n(n从1开始)表示的 频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N)；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。

相位的计算可用函数atan2(b,a)计算atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这 在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析解决这个问题的方法有频 率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其 长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力具体的频率细分 法可参考相关文献[附录：本测试数据使用的matlab程序]clc;clear;Adc=2; %直流分量幅度A1=3; %频率F1信号的幅度A2=1.5; %频率F2信号的幅度F1=50; %信号1频率(Hz)F2=75; %信号2频率(Hz)Fs=256; %采样频率(Hz)P1=-30; %信号1相位(度)P2=90; %信号相位(度)N=256; %采样点数t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻%信号S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);%显示原始信号subplot(411);plot(S);title('原始信号')；Y = fft(S,N); %做 FFT 变换Ayy = (abs(Y)); %取模subplot(412);stem(Ayy(1:N)); %显示原始的 FFT 模值结果title('FFT 模值')；Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度Ayy(1)=Ayy (1)/2;F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值，Fn=(n-1)*Fs/N subplot(413);stem(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的 FFT 模值结果 title('幅度-频率曲线图')；Pyy=[1:N/2];for『1:N/2Pyy(i)=angle(Y(i)); %计算相位Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; % 换算为角度end;subplot(414);stem(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); % 显示相位图 title('相位-频率；。