结晶学：第一章_结晶学基础

第一章第一章 结晶学基础结晶学基础 1.1 1.1 晶体的基本概念与性质晶体的基本概念与性质 1.2 1.2 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性1.3 1.3 晶体的对称分类晶体的对称分类 1.4 1.4 晶体定向和结晶符号晶体定向和结晶符号1.5 1.5 晶体的理想形态晶体的理想形态 1.6 1.6 晶体构造的基本特征晶体构造的基本特征 1.7 1.7 晶体化学的基本原理晶体化学的基本原理结晶学是以晶体为研究对象的自然科学结晶学是以晶体为研究对象的自然科学结晶学是以晶体为研究对象的自然科学结晶学是以晶体为研究对象的自然科学晶体材料是固体材料中的重要组成部分晶体材料是固体材料中的重要组成部分晶体材料是固体材料中的重要组成部分晶体材料是固体材料中的重要组成部分了解材料的结构是材料科学研究的重要基础了解材料的结构是材料科学研究的重要基础了解材料的结构是材料科学研究的重要基础了解材料的结构是材料科学研究的重要基础 认识结晶形态及内部构造的规律是晶体学理认识结晶形态及内部构造的规律是晶体学理认识结晶形态及内部构造的规律是晶体学理认识结晶形态及内部构造的规律是晶体学理 论的范畴，有如下主要分支：论的范畴，有如下主要分支：论的范畴，有如下主要分支：论的范畴，有如下主要分支：晶体生长学晶体生长学晶体生长学晶体生长学 几何结晶学几何结晶学几何结晶学几何结晶学 晶体结构学晶体结构学晶体结构学晶体结构学 晶体化学晶体化学晶体化学晶体化学 晶体物理学晶体物理学晶体物理学晶体物理学第一节第一节 晶体的基本概念与性质晶体的基本概念与性质一、晶体的基本概念一、晶体的基本概念 晶体定晶体定义义的由来的由来 晶体的定义晶体的定义 晶体的分类晶体的分类 非晶体的定非晶体的定义义及与晶体之及与晶体之间间的的转转化化 晶体定义：晶体是内部质点在三维空间呈周期性晶体定义：晶体是内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体，或说是具有格子构造的固体重复排列的固体，或说是具有格子构造的固体。

晶体：红宝石晶体：红宝石食食盐盐琥琥珀珀二、晶体的内部构造二、晶体的内部构造空间格子空间格子1 1、以食盐晶体为例说明晶体的构造、以食盐晶体为例说明晶体的构造a a5.6285.6282.81482.8148b bc c NaClNaCl结构（a a、b b）及等同点分布（c c）结结 论论 晶体结构共性的东西有：晶体结构共性的东西有：（1 1）晶体内质点在三维空间作周期性重复排列是无限的；）晶体内质点在三维空间作周期性重复排列是无限的；（2 2）任何晶体均由晶胞构成的，所谓晶胞是代表晶体性质）任何晶体均由晶胞构成的，所谓晶胞是代表晶体性质的最小体积单位；的最小体积单位；（3 3）晶胞在三维空间的叠加是无限的）晶胞在三维空间的叠加是无限的 晶体结构个性的东西有：晶体结构个性的东西有：（1 1）晶胞的构造单位不同）晶胞的构造单位不同（2 2）晶胞类型不同）晶胞类型不同举例说明 2 2、空间格子、空间格子相当点（等当点）：在晶体内任意找出一个原始的几何点，相当点（等当点）：在晶体内任意找出一个原始的几何点，都可以在三维空间的各个方向上找出无限多的性质相同、周都可以在三维空间的各个方向上找出无限多的性质相同、周围环境也相同的几何点，这些几何点均称为相当点。

围环境也相同的几何点，这些几何点均称为相当点性质相同；环境相同；方位相同；性质相同；环境相同；方位相同；对对NaCl晶体结构，所有晶体结构，所有Na点属于一类等当点，所有点属于一类等当点，所有Cl点点属于另一类等当点等当点位置不限于质点中心，任何位置属于另一类等当点等当点位置不限于质点中心，任何位置能引出一类等同点且构成上图的能引出一类等同点且构成上图的c图形空间格子空间格子：凡是从真实晶体中抽象出来的相当点，：凡是从真实晶体中抽象出来的相当点，在三维空间排列的几何图形，即为空间格子在三维空间排列的几何图形，即为空间格子空间格子的要素空间格子的要素 结点；行列；面网；单位平行六面体结点；行列；面网；单位平行六面体比较空间格子与真实晶体的格子构造比较空间格子与真实晶体的格子构造空间格子的要素与晶体的要素之间的关系空间格子的要素与晶体的要素之间的关系空间格子的类型空间格子的类型 面网面网 平行六面体平行六面体三、晶体的基本性质三、晶体的基本性质1 1、自限性自限性：在一定条件下晶体能自发形成几何多面体的外形在一定条件下晶体能自发形成几何多面体的外形 的特征也叫自范性、自形性）的特征也叫自范性、自形性）2 2、稳定性稳定性：在相同的热力学条件下，晶体与同组成的气体、：在相同的热力学条件下，晶体与同组成的气体、液体及非晶质固体相比较内能最小、最稳定。

液体及非晶质固体相比较内能最小、最稳定3 3、均一性均一性：同一晶体在各个不同部位、相同方向上具有相同：同一晶体在各个不同部位、相同方向上具有相同的物理、化学性质的物理、化学性质4 4、异向性异向性：同一晶体的不同方向上物理性质不同同一晶体的不同方向上物理性质不同5 5、对称性对称性：晶体中的相同部分：晶体中的相同部分(包括晶面、晶棱等包括晶面、晶棱等)以及晶体的性质能够在不同的方向或位置上有规律地以及晶体的性质能够在不同的方向或位置上有规律地重复出现，称为晶体的对称性重复出现，称为晶体的对称性6 6、定熔性定熔性：晶体在熔解时具有一定熔点的性质，称：晶体在熔解时具有一定熔点的性质，称为定熔性为定熔性7 7、面角恒等面角恒等：在相同的温度、压力条件下，成分和：在相同的温度、压力条件下，成分和构造相同的所有晶体，其对应晶面的面角恒等构造相同的所有晶体，其对应晶面的面角恒等四、晶体的形成四、晶体的形成1、晶体的形成方式、晶体的形成方式（1）由液体转变为晶体（从熔体中结晶）由液体转变为晶体（从熔体中结晶；从溶液中结晶；从溶液中结晶）条件：物质从熔体中结晶：是熔体温度下降到该物质的熔点及条件：物质从熔体中结晶：是熔体温度下降到该物质的熔点及熔点温度以下发生的。

熔点温度以下发生的从溶液中结晶：当溶液过饱和时，才从溶液中结晶：当溶液过饱和时，才能析出晶体能析出晶体（2）由气体转变成为晶体）由气体转变成为晶体条件：必须有足够低的蒸汽压，气体物质不经过液体状态直接条件：必须有足够低的蒸汽压，气体物质不经过液体状态直接转变成固体的结晶方式转变成固体的结晶方式3）由固体转变成晶体）由固体转变成晶体（固态的非晶质体转变成晶体（固态的非晶质体转变成晶体；一种；一种晶体转化成为另一种晶体晶体转化成为另一种晶体）举举例例2 2、晶体的形成过程、晶体的形成过程晶核的形成过程晶核的形成过程熔体中晶核的形成的必要条件是熔体的过冷，熔体熔体中晶核的形成的必要条件是熔体的过冷，熔体中出现晶核的过程是系统相变的过程和相变的初步中出现晶核的过程是系统相变的过程和相变的初步结果，而且晶核也只有达到一定的大小（即临界晶结果，而且晶核也只有达到一定的大小（即临界晶核）以后，才能继续生长成晶体，许多达不到临界核）以后，才能继续生长成晶体，许多达不到临界晶核尺寸的小晶核虽然已经形成，但也可能消失晶核尺寸的小晶核虽然已经形成，但也可能消失1 1）介质的过饱和、过冷却与晶核形成）介质的过饱和、过冷却与晶核形成熔体的局部过冷是熔体中成核的先决条件，过冷度可以熔体的局部过冷是熔体中成核的先决条件，过冷度可以用下式表示：用下式表示：T=T0-T过冷度过冷度T与晶核的形成速度与晶核的形成速度J和晶体的结晶线速度和晶体的结晶线速度V有关有关晶核的形成速度晶核的形成速度J定义：指在单位时间内，单位体积中所形成的核的数目。

定义：指在单位时间内，单位体积中所形成的核的数目A.它决定于气相、液相物质的过饱和度和熔体的过冷却程度，它决定于气相、液相物质的过饱和度和熔体的过冷却程度，过饱和度和过冷却度高则成核速度大，反之，成核速度过饱和度和过冷却度高则成核速度大，反之，成核速度J就就小B.成核的速度又与介质的粘度有关，当过饱和度和过冷却成核的速度又与介质的粘度有关，当过饱和度和过冷却度增大时，介质的粘度也增大，阻碍了粒子扩散速度，影度增大时，介质的粘度也增大，阻碍了粒子扩散速度，影响了成核速度所以当介质的过饱和度或过冷却度升到一响了成核速度所以当介质的过饱和度或过冷却度升到一定程度时，晶核形成的速度反而降低定程度时，晶核形成的速度反而降低C.成核速度与介质粘度之间的关系成核速度与介质粘度之间的关系T=80时时成核速度最大成核速度最大T80时，粘度增大，结晶线速度降低时，粘度增大，结晶线速度降低T80时，粘度降低而结晶线速度增大当时，粘度降低而结晶线速度增大当J=0时，这种状态下的固相称为玻璃质时，这种状态下的固相称为玻璃质1 1）介质的过饱和、过冷却与晶核形成）介质的过饱和、过冷却与晶核形成结晶线速度结晶线速度V定义：单位时间内晶面在其法线方向所增长的厚度。

定义：单位时间内晶面在其法线方向所增长的厚度V、J、T三者之间的关系三者之间的关系(图图)这三种典型的关系的共同点是：这三种典型的关系的共同点是：结晶线速度的极大值温度高于成核速度极大值温度，即结晶线速度的极大值温度高于成核速度极大值温度，即TmTn结晶线速度和成核速度出现的温度低于结晶线速度和成核速度出现的温度低于T0温度，如果环境温温度，如果环境温度在度在T0以上，二者均消失（成核作用和结晶作用）以上，二者均消失（成核作用和结晶作用）2）成核能）成核能物质成核时相变过程使整个体系的自由能降低，但物质成核时相变过程使整个体系的自由能降低，但是晶核自身的表面上都具有一定的表面能，这两种是晶核自身的表面上都具有一定的表面能，这两种正负相反的自由能消长的结果称之为成核能正负相反的自由能消长的结果称之为成核能G核生长自由能核生长自由能G=-G1+G2G0时体系时体系最稳定其中其中G1体系降低的自由能与体系降低的自由能与r3（核半径）成正比（核半径）成正比G2核表面上的自由能与核表面上的自由能与r2成正比成正比晶核的形成，一方面由于体系从液相转变为内能更小的晶体相而使体系晶核的形成，一方面由于体系从液相转变为内能更小的晶体相而使体系晶核的形成，一方面由于体系从液相转变为内能更小的晶体相而使体系晶核的形成，一方面由于体系从液相转变为内能更小的晶体相而使体系自由能下降，另一方面又由于增加了液自由能下降，另一方面又由于增加了液自由能下降，另一方面又由于增加了液自由能下降，另一方面又由于增加了液-固界面而使体系自由能升高。

固界面而使体系自由能升高固界面而使体系自由能升高固界面而使体系自由能升高只有当只有当G 0时，成核时，成核过程才能发生，因此，晶过程才能发生，因此，晶核是否能形成，就在于核是否能形成，就在于Gv与与Gs的相对大小的相对大小见图：见图：体系自由能由升高到体系自由能由升高到降低的转变时所对应降低的转变时所对应的晶核半径值的晶核半径值rc称为称为临界半径临界半径晶核的形成晶核的形成穆林（穆林（Mullin19721972）研究）研究G与与r关系如图：关系如图：rrc时，时，G随着随着r的增大也逐渐增大，则核不能的增大也逐渐增大，则核不能继续生长继续生长rrc时，时，G随着随着r的增大趋于降低，晶核微粒有的增大趋于降低，晶核微粒有可能继续生长可能继续生长所以所以rc表示核可能消失或核可能生长的临界晶核大表示核可能消失或核可能生长的临界晶核大小，小，rc叫临界半径它与结晶作用的温度核介质的过叫临界半径它与结晶作用的温度核介质的过饱和程度有关，过饱和度越大饱和程度有关，过饱和度越大rc愈小，愈小，1001000内3）晶核形成类型与实例）晶核形成类型与实例自发形成的晶核（均一成核）自发形成的晶核（均一成核）均一成核：是指在一个体系内，各处的质点成核几均一成核：是指在一个体系内，各处的质点成核几率所需要的能量都相等，均匀地长出晶核的过程。

率所需要的能量都相等，均匀地长出晶核的过程非自发成核（非均一成核）非自发成核（非均一成核）定义：依靠不溶性杂质、局部组分不均匀、溶液中定义：依靠不溶性杂质、局部组分不均匀、溶液中存在相界面而形成晶核的过程存在相界面而形成晶核的过程晶体的长大与科塞尔理论晶体的长大与科塞尔理论晶体长大，实质是饱和溶液中过剩的质点向晶核上晶体长大，实质是饱和溶液中过剩的质点向晶核上粘附并按结晶格子扩大的过程粘附并按结晶格子扩大的过程科塞尔理论科塞尔理论层生长理论：层生长理论：按吸引力最大的地方依次粘附后，先完成一行列，按吸引力最大的地方依次粘附后，先完成一行列，再长相邻的行列，长满一层面网，再长相邻的面网，再长相邻的行列，长满一层面网，再长相邻的面网，这个面网成层平行向外推移，最后被面网密度大的这个面网成层平行向外推移，最后被面网密度大的晶面所包围晶面所包围原理使用的条件：只有晶体与所在的溶液处于完全原理使用的条件：只有晶体与所在的溶液处于完全平衡状态以及温度较低时才能成立平衡状态以及温度较低时才能成立因此，最佳生长位置是三面凹角位，其次是两面凹角因此，最佳生长位置是三面凹角位，其次是两面凹角位，最不容易生长的位置是平坦面。

位，最不容易生长的位置是平坦面最理想的晶体生长方式就是最理想的晶体生长方式就是:先在三面凹角上生长成先在三面凹角上生长成一行，以至于三面凹角消失，再在两面凹角处生长一个质一行，以至于三面凹角消失，再在两面凹角处生长一个质点，以形成三面凹角，再生长一行，重复下去点，以形成三面凹角，再生长一行，重复下去科塞尔理论论述在晶核的光滑表面上生长一层原子面科塞尔理论论述在晶核的光滑表面上生长一层原子面时，质点在界面上进入晶格时，质点在界面上进入晶格座位座位的最佳位置是具有三面的最佳位置是具有三面凹入角的位置凹入角的位置(图图I-2-1中中k)质点在此位置上与晶核结合质点在此位置上与晶核结合成键放出的能量最大因为每一个来自环境相的新质点在成键放出的能量最大因为每一个来自环境相的新质点在环境相与新相界面的晶格上就位时，最可能结合的位置是环境相与新相界面的晶格上就位时，最可能结合的位置是能量上最有利的位置，即结合成键时应该是成键数目最多，能量上最有利的位置，即结合成键时应该是成键数目最多，释放出能量最大的位置释放出能量最大的位置解释一些生长现象解释一些生长现象晶体常生长成为面平、棱直的多面体形态晶体常生长成为面平、棱直的多面体形态在晶体的断面上常常可以看到带状构造在晶体的断面上常常可以看到带状构造(图图I-2-2)。

它表明晶面是平行向外推移生长的它表明晶面是平行向外推移生长的同种矿物不同晶体上对应晶面间的夹角不变同种矿物不同晶体上对应晶面间的夹角不变晶体由小长大，许多晶面向外平行移动的轨迹形成晶体由小长大，许多晶面向外平行移动的轨迹形成以晶体中心为顶点的锥状体称为生长锥或砂钟状构以晶体中心为顶点的锥状体称为生长锥或砂钟状构造造(图图I-2-3、I-2-4、)在薄片中常常能看到在薄片中常常能看到晶体生长的实际情况要比简单层生长理论复杂得多往往一晶体生长的实际情况要比简单层生长理论复杂得多往往一次沉淀在一个晶面上的物质层的厚度可达几万或几十万个分次沉淀在一个晶面上的物质层的厚度可达几万或几十万个分子层同时亦不一定是一层一层地顺序堆积，而是一层尚未子层同时亦不一定是一层一层地顺序堆积，而是一层尚未长完，又有一个新层开始生长这样继续生长下去的结果，长完，又有一个新层开始生长这样继续生长下去的结果，使晶体表面不平坦，成为阶梯状称为晶面阶梯使晶体表面不平坦，成为阶梯状称为晶面阶梯(图图I-2-5)科塞尔理论虽然有其正确的方面，但实际晶体生长过程并非科塞尔理论虽然有其正确的方面，但实际晶体生长过程并非完全按照二维层生长的机制进行的。

因为当晶体的一层面网完全按照二维层生长的机制进行的因为当晶体的一层面网生长完成之后，再在其上开始生长第二层面网时有很大的困生长完成之后，再在其上开始生长第二层面网时有很大的困难，其原因是已长好的面网对溶液中质点的引力较小，不易难，其原因是已长好的面网对溶液中质点的引力较小，不易克服质点的热振动使质点就位因此，在过饱和度或过冷却克服质点的热振动使质点就位因此，在过饱和度或过冷却度较低的情况下，晶的生长就需要用其它的生长机制加以解度较低的情况下，晶的生长就需要用其它的生长机制加以解释螺旋生长理论模型（螺旋生长理论模型（BCF理论模型）理论模型）弗朗克等人弗朗克等人(1949，1951)研究了气相中晶体生长的情况，研究了气相中晶体生长的情况，估计二维层生长所需的过饱和度不小于估计二维层生长所需的过饱和度不小于2550但在实验中但在实验中却难以达到与过饱和度相应的生长速度，且在过饱和度小于却难以达到与过饱和度相应的生长速度，且在过饱和度小于1的气相中晶体亦能生长这种现象并不是层生长理论所能解释的气相中晶体亦能生长这种现象并不是层生长理论所能解释的他们根据实际晶体结构的各种缺陷中最常见的位错现象，的。

他们根据实际晶体结构的各种缺陷中最常见的位错现象，提出了晶体的螺旋生长理论提出了晶体的螺旋生长理论该模型认为晶面上存在螺旋位错露头点可以作为晶体生长的该模型认为晶面上存在螺旋位错露头点可以作为晶体生长的台阶源台阶源，可以对平坦面的生长起着催化作用，这种台阶源永不可以对平坦面的生长起着催化作用，这种台阶源永不消失，因此不需要形成二维核，这样便成功地解释了晶体在很消失，因此不需要形成二维核，这样便成功地解释了晶体在很低过饱和度下仍能生长这一实验现象低过饱和度下仍能生长这一实验现象位错的出现，在晶体的界面上提供了一个永不消失位错的出现，在晶体的界面上提供了一个永不消失的台阶源晶体将围绕螺旋位错露头点旋转生长的台阶源晶体将围绕螺旋位错露头点旋转生长螺旋式的台阶并不随着原子面网一层层生长而消失，螺旋式的台阶并不随着原子面网一层层生长而消失，从而使螺旋式生长持续下去螺旋状生长与层状生从而使螺旋式生长持续下去螺旋状生长与层状生长不同的是台阶并不直线式地等速前进扫过晶面，长不同的是台阶并不直线式地等速前进扫过晶面，而是围绕着螺旋位错的轴线螺旋状前进而是围绕着螺旋位错的轴线螺旋状前进(图图I一一28)随着晶体的不断长大最终表现在晶面上形成能提随着晶体的不断长大最终表现在晶面上形成能提供生长条件信息的各种样式的螺旋纹。

供生长条件信息的各种样式的螺旋纹晶体的生长速度与布拉维法则晶体的生长速度与布拉维法则（1）晶面的生长速度）晶面的生长速度定义：晶面在单位时间内沿着法线方向向外推移的定义：晶面在单位时间内沿着法线方向向外推移的距离结论：晶面生长速度快的面逐渐缩小而消失，生长结论：晶面生长速度快的面逐渐缩小而消失，生长速度慢的晶面保留下来所以由于晶面生长速度的速度慢的晶面保留下来所以由于晶面生长速度的不同而改变了晶体的形态不同而改变了晶体的形态生长速度与面网密度的关系：晶面的面网密度大，生长速度与面网密度的关系：晶面的面网密度大，其生长速度小，反之，面网密度小，生长速度快其生长速度小，反之，面网密度小，生长速度快2 2）布拉维法则）布拉维法则布拉维法则布拉维法则：晶体通常被面网密度大的：晶体通常被面网密度大的晶面所包围晶面所包围不足之处：不足之处：只考虑了晶体的本身，而忽略了只考虑了晶体的本身，而忽略了生长晶体的介质条件生长晶体的介质条件晶面晶面AB的网面上结点的密度最大，网面对外来质点的网面上结点的密度最大，网面对外来质点的引力小，生长速度慢，晶面横向扩展，最终保留的引力小，生长速度慢，晶面横向扩展，最终保留在晶体上；在晶体上；CD晶面次之；晶面次之；BC晶面的网面上结点密晶面的网面上结点密度最小，网面对外来质点引力大，生长速度最快，度最小，网面对外来质点引力大，生长速度最快，横向逐渐缩小以致晶面最终消失；因此，实际晶体横向逐渐缩小以致晶面最终消失；因此，实际晶体上的晶面常是网面上结点密度较大的面。

上的晶面常是网面上结点密度较大的面布拉维法则布拉维法则居里居里吴里夫原理吴里夫原理1885年居里年居里(PCurie)指出，在平衡条件下，发生指出，在平衡条件下，发生液相与固相之间的转变时，晶体调整其形态使总的液相与固相之间的转变时，晶体调整其形态使总的表面能为最小表面能为最小，亦即，亦即晶体生长的平衡形态应具有最晶体生长的平衡形态应具有最小表面能小表面能1901年吴里夫对此原理做了进一步的扩展，指出在年吴里夫对此原理做了进一步的扩展，指出在晶体生长中，就晶体的平衡形态而言，晶体生长中，就晶体的平衡形态而言，各晶面的生各晶面的生长速度与该晶面的比表面能成正比长速度与该晶面的比表面能成正比晶晶体体上上所所有有晶晶面面的的表表面面能能之之和和最最小小的的形形态态最最稳稳定定晶晶体体生长的平衡形态应具有最小表面能）生长的平衡形态应具有最小表面能）优优点点：从从表表面面能能出出发发，考考虑虑了了晶晶体体和和介介质质两两个个方方面面但但是是由由于于实实际际晶晶体体常常都都未未能能达达到到平平衡衡形形态态，从从而而影影响响了了这这一一原理实际应用原理实际应用周期键链周期键链(PBC)理论理论哈特曼哈特曼(PHartman)和珀多克和珀多克(NGPerdok)等等人人(1955)从从晶体结构的几何特点和质点能量晶体结构的几何特点和质点能量两方面两方面来探讨晶面的生长发育。

他们认为在晶体结构中存来探讨晶面的生长发育他们认为在晶体结构中存在着一系列周期性重复的强键链，其重复特征与晶在着一系列周期性重复的强键链，其重复特征与晶体中质点的周期性重复相一致，这样的强键链称为体中质点的周期性重复相一致，这样的强键链称为周期键族周期键族(Periodicbondchain简写为简写为PBC)晶晶体平行键链生长，键力最强的方向生长最快体平行键链生长，键力最强的方向生长最快据此可将晶体生长过程中所能出现的晶面划分为三种类型，据此可将晶体生长过程中所能出现的晶面划分为三种类型，这三种晶面与这三种晶面与PBC的关系的关系如图如图I-2-10所示所示图中箭头指强键图中箭头指强键的方向PBC理论，从理论，从晶体结构、质点能量出发晶体结构、质点能量出发，对晶面的生长发育，对晶面的生长发育做出了解释，但在实际晶体中晶面发育仍发现有一些与上述做出了解释，但在实际晶体中晶面发育仍发现有一些与上述结论不尽一致的实例这说明晶体生长的过程是很复杂的结论不尽一致的实例这说明晶体生长的过程是很复杂的以上三个法则的联系：以上三个法则的联系：面网密度大表面能小面网密度大表面能小PBC键链多键链多F面：或称面：或称平坦面平坦面，有两个以上的，有两个以上的PBC与之平行，网面密与之平行，网面密度最大，质点结合到度最大，质点结合到F面上去时，只形成一个强键，晶面面上去时，只形成一个强键，晶面生长速度慢，易形成晶体的主要晶面。

生长速度慢，易形成晶体的主要晶面S面：或称面：或称阶梯面阶梯面，只有一个，只有一个PBC与之平行，网面密度中与之平行，网面密度中等，质点结合到等，质点结合到S面上去时，形成的强键至少比面上去时，形成的强键至少比F面多一个，面多一个，晶面生长速度中等晶面生长速度中等K面：或称面：或称扭折面扭折面，不平行任何，不平行任何PBC，网面密度小，扭折，网面密度小，扭折处的法线方向与处的法线方向与PBC一致，质点极易从扭折处进入晶格，一致，质点极易从扭折处进入晶格，晶面生长速度快，是易消失的晶面晶面生长速度快，是易消失的晶面因此，晶体上因此，晶体上F面为面为最常见且发育较大的面，最常见且发育较大的面，K面经常缺失或罕见面经常缺失或罕见影响晶体生长的因素影响晶体生长的因素涡流涡流温度及温度下降速度温度及温度下降速度压力压力浓度浓度杂质杂质粘度粘度自由空间自由空间第二节第二节晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性一、对称的概念一、对称的概念1、对称：物体的相同部分呈有规律的分布，经过、对称：物体的相同部分呈有规律的分布，经过一一定的操作出现完全的重复定的操作出现完全的重复2、对称操作：能使对称物体中各相同部分作有规律、对称操作：能使对称物体中各相同部分作有规律重复的变换动作。

重复的变换动作3、对称要素：在进行对称变换时所借助的几何要素、对称要素：在进行对称变换时所借助的几何要素点、线、面等点、线、面等4、对称的特点：对称性、一致性、有限性、对称的特点：对称性、一致性、有限性5、对称操作的种类：依面反映、线线旋转、依点反、对称操作的种类：依面反映、线线旋转、依点反伸、旋转加反伸伸、旋转加反伸二、对称要素二、对称要素1、对称面（、对称面（P）定义定义：是通过晶体中心，将晶体分为两个镜像相同：是通过晶体中心，将晶体分为两个镜像相同部分的假想平面部分的假想平面说明说明：如图如图对称面的找法对称面的找法垂直平分某些晶面的平面；垂直平分某些晶面的平面；包含某些晶棱的平面；包含某些晶棱的平面；通过晶顶并平分两晶棱夹角的平面通过晶顶并平分两晶棱夹角的平面对称面的表示方法及数量对称面的表示方法及数量对称面用对称面用“P”表示，一个晶体可以有对称面，也表示，一个晶体可以有对称面，也可以无对称面，有对称面的晶体其对称面必然通过可以无对称面，有对称面的晶体其对称面必然通过晶体中心，可能出现的对称面的数目分别为：晶体中心，可能出现的对称面的数目分别为：1、2、3、4、5、6、7、9。

如有一个晶体有三个对称面，则表示为如有一个晶体有三个对称面，则表示为3p2、对称轴、对称轴“Ln”定义：通过晶体中心的假想直线，晶体绕此直线旋转时相同定义：通过晶体中心的假想直线，晶体绕此直线旋转时相同的面、棱、角重复出现的面、棱、角重复出现轴次（轴次（n）：是晶体旋转一周（）：是晶体旋转一周（360）时相同的部分出现的）时相同的部分出现的次数，出现几次相同的部分，则就叫几次对称轴次数，出现几次相同的部分，则就叫几次对称轴例如：出现例如：出现3次相同的部分，则叫三次对称轴，次相同的部分，则叫三次对称轴，n=3.基转角（基转角（）：使晶体相同的部分重复出现所需要旋转的角）：使晶体相同的部分重复出现所需要旋转的角度轴次与基转角之间的关系：轴次与基转角之间的关系：n=360/例如：当例如：当n=3时，则时，则=360/3=120对称轴的表示方法与数目对称轴的表示方法与数目表示方法：用表示方法：用“Ln”数目：数目：1、2、3、4、6，其中，一次对称轴无意义，高于，其中，一次对称轴无意义，高于6次次的对称轴不存在，这是由于它们不符合空间格子的规律的对称轴不存在，这是由于它们不符合空间格子的规律。

为什么高于为什么高于6次的对称轴不存在？次的对称轴不存在？这是因为在空间格子中，垂直对称轴一定有符合该对称这是因为在空间格子中，垂直对称轴一定有符合该对称轴要求的面网的网孔存在如下图，只有围绕轴要求的面网的网孔存在如下图，只有围绕L2、L3、L4、L6所形成的面网网孔，才能无间隙地布满整个平面，而围绕所形成的面网网孔，才能无间隙地布满整个平面，而围绕L5和高于六次的对称轴（和高于六次的对称轴（L7、L8）所形成的面网网孔不）所形成的面网网孔不能无间隙地布满整个平面，不符合空间格子构造规律，所以能无间隙地布满整个平面，不符合空间格子构造规律，所以在晶体中不可能存在五次轴在晶体中不可能存在五次轴L5和高于六次的对称轴和高于六次的对称轴垂直对称轴的面网示意图垂直对称轴的面网示意图a a、b b、c c、e e：分别表示分别表示L L2 2、L L3 3、L L4 4、L L6 6的面网的面网d d、f f、g g：分别表示分别表示L L5 5、L L7 7和和L L8 8的面网的面网在晶体中，可以无对称轴，也可以有一种对称轴，或者几种在晶体中，可以无对称轴，也可以有一种对称轴，或者几种对称轴同时存在。

在书写时，对称轴的数目写在对称轴符号对称轴同时存在在书写时，对称轴的数目写在对称轴符号的前面，如的前面，如3L4、4L3等对称轴的找法对称轴的找法通过晶体中心的某二角顶的连线；通过晶体中心的某二角顶的连线；两个平行晶面中心的连线；两个平行晶面中心的连线；二晶棱中点的连线；二晶棱中点的连线；晶体无对称中心时，某一晶面的中心、晶棱的中心、角顶晶体无对称中心时，某一晶面的中心、晶棱的中心、角顶三点之间任意两点的连线三点之间任意两点的连线3、对称中心（、对称中心（C）定义：是晶体中的一个假想的点，通过该点的直线定义：是晶体中的一个假想的点，通过该点的直线之两端等距离的位置有晶体上相同的部分出现之两端等距离的位置有晶体上相同的部分出现判断是否有对称中心的存在判断是否有对称中心的存在将晶面放在水平面上，如有一个与其相等且反向平将晶面放在水平面上，如有一个与其相等且反向平行的晶面存在，则说明有对称中心行的晶面存在，则说明有对称中心对称中心表示方法用对称中心表示方法用“C”表示表示晶体中可以有对称中心也可以无对称中心，有就只晶体中可以有对称中心也可以无对称中心，有就只有一个对称轴及其垂直该轴切面的示意图对称轴及其垂直该轴切面的示意图 对称中心对称中心C C 的图形的图形4、旋转反伸轴、旋转反伸轴Lin定义：是通过晶体中心的一根假想的直线，晶体围定义：是通过晶体中心的一根假想的直线，晶体围绕此直线旋转一定的角度后，再对此直线上的一点绕此直线旋转一定的角度后，再对此直线上的一点反伸，可使相等部分重复即晶体复原。

反伸，可使相等部分重复即晶体复原反伸操作：是围绕一根直线旋转和对此直线上的一反伸操作：是围绕一根直线旋转和对此直线上的一点反伸（倒反）点反伸（倒反）表示方法：旋转反伸轴的符号表示方法：旋转反伸轴的符号“Lin”，i代表反伸，代表反伸，n为轴次N可为可为1、2、3、4、6，相应的基转角为，相应的基转角为360、180、120、90、60旋转反伸轴有旋转反伸轴有Li1、Li2、Li3、Li4、Li6旋转反伸轴的作用旋转反伸轴的作用 旋转反伸轴的图解旋转反伸轴的图解5、旋转反映轴或称为映转轴（、旋转反映轴或称为映转轴（Lsn）定义：为通过晶体中心的一根假想直线，晶体围绕此直线旋定义：为通过晶体中心的一根假想直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，并对垂直此直线的平面反映，可使晶体相等转一定角度后，并对垂直此直线的平面反映，可使晶体相等的部分重合或者说使晶体复原的部分重合或者说使晶体复原旋转反映轴的对称操作为旋转加反映的复合操作旋转反映轴的对称操作为旋转加反映的复合操作旋转反映轴以表示旋转反映轴以表示Lsn，其中，其中S代表反映，代表反映，n代表轴次（或用代表轴次（或用L2nn表示旋转反映轴，表示旋转反映轴，n代表简单对称轴的轴次，代表简单对称轴的轴次，2n为本身为本身的轴次）。

的轴次）4）旋转反映轴有）旋转反映轴有Ls1、Ls2、Ls3、Ls4、Ls6，相应的基转角，相应的基转角为为360、180、120、90、60.旋转反映轴与旋转反伸轴有下列的关系：旋转反映轴与旋转反伸轴有下列的关系：Ls1=P=Li1Ls2=C=Li1Ls3=L3+P=Li6Ls4=Li4Ls6=L3+C=Li3（5）象移面）象移面象移面象移面是一复合的对称要素其辅助对是一复合的对称要素其辅助对称要素有两个：一个是假想的平面和平行此称要素有两个：一个是假想的平面和平行此平面的某一直线方向相应的对称变换为：平面的某一直线方向相应的对称变换为：对于此平面的反映和沿此直线方向平移的联对于此平面的反映和沿此直线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结点间距合，其平移的距离等于该方向行列结点间距的一半根据平移成分的一半根据平移成分的方向和大小，象的方向和大小，象移面一半有下列五种：移面一半有下列五种：=(1/2)a的象移面，符号a象移面 a=(1/2)b的象移面，符号b象移面 b=(1/2)c的象移面，符号c象移面 c=1/2（a+b)或或1/2(b+c)或或1/2(c+a)或或1/2(a+b+c)的象移面的象移面,符号符号n象移面 n=1/4(a+b)或或1/4(b+c)或或1/4(c+a)或或1/4(a+b+c)的象移面，符号的象移面，符号d象移面 d（6）螺旋轴）螺旋轴 螺旋轴螺旋轴是一种复合的对称要素。

其辅助是一种复合的对称要素其辅助几何要素为：一根假想的直线及与之平行的几何要素为：一根假想的直线及与之平行的直线方向相应的对称变换为，围绕此直线直线方向相应的对称变换为，围绕此直线旋转一定的角度和此直线方向平移的联合旋转一定的角度和此直线方向平移的联合螺旋轴的周次螺旋轴的周次n只能等于只能等于1、2、3、4、6，所，所包含的平移变换其平移距离应等于沿螺旋轴包含的平移变换其平移距离应等于沿螺旋轴方向结点间距的方向结点间距的s/n，s为小于为小于n的自然数螺的自然数螺旋轴的国际符号一般为旋轴的国际符号一般为ns旋转轴根据其轴次和平移距离的大小的旋转轴根据其轴次和平移距离的大小的不同可分为不同可分为21；31；32；41；42；43；61；62；63；64；65共共11种螺旋轴种螺旋轴螺旋轴根据其旋转方向可分为左旋、右螺旋轴根据其旋转方向可分为左旋、右旋和中性旋转轴左旋方向是指顺时针旋旋和中性旋转轴左旋方向是指顺时针旋转，右旋是指逆时针旋转，旋转方向左右转，右旋是指逆时针旋转，旋转方向左右旋性质相同时为中性旋转轴旋性质相同时为中性旋转轴各种旋转对称轴如图所示：各种旋转对称轴如图所示：41 42 43 61 6263 64 65 三、对称要素的组合三、对称要素的组合在晶体对称中，对称要素间的组合服从“对称要素对称要素组合定理组合定理”定理一：如有一偶次对称轴定理一：如有一偶次对称轴L Ln n与对称中心共存，则过与对称中心共存，则过C C 且垂且垂直于此直于此L Ln n 的平面，必为一对称面。

的平面，必为一对称面简式：简式：L Ln n（偶）（偶）C C=L Ln n（偶）（偶）PCPC（L Ln n（偶）（偶）P P）逆定理逆定理11：若有一偶次对称轴：若有一偶次对称轴L Ln n 垂直于对称面垂直于对称面P P，二者的交，二者的交点必为对称中心点必为对称中心C C简式：简式：L Ln n（偶）（偶）P P=L Ln n（偶）（偶）PCPC（L Ln n（偶）（偶）P P）逆定理逆定理22：若有一对称面：若有一对称面P P 和对称中心组合，必存在一个和对称中心组合，必存在一个垂直于对称面的偶次对称轴垂直于对称面的偶次对称轴简式：简式：PC PC=L Ln n（偶）（偶）PCPC（L Ln n（偶）（偶）P P）L Ln n与与C C共存导出共存导出P P 的图解的图解 L Ln n与与L L2 2的组合的组合定理二：如有一个二次对称轴定理二：如有一个二次对称轴L2 垂直垂直Ln，则必有，则必有n个个L2 垂直垂直Ln，且任意两相邻，且任意两相邻L2间的夹角间的夹角=3602n简式：简式：LnL2=LnnL2（LnL2）逆定理逆定理：如有两个：如有两个L2 以以角相交，则过两者交点之公共垂角相交，则过两者交点之公共垂线必为一线必为一n 次对称轴且次对称轴且n=3602。

定理三：若有一对称面定理三：若有一对称面定理三：若有一对称面定理三：若有一对称面P P 包含包含包含包含L Ln n，则必有，则必有，则必有，则必有n n个个个个P P 包含包含包含包含L Ln n，且任意两相邻对称面间的夹角且任意两相邻对称面间的夹角且任意两相邻对称面间的夹角且任意两相邻对称面间的夹角=360=3602 2n n简式：简式：简式：简式：L Ln nPLPLn nnPnP（L Ln nP P）逆定理逆定理逆定理逆定理：如有两个：如有两个：如有两个：如有两个P P 以以以以 角相交，则两者交线必为一个角相交，则两者交线必为一个角相交，则两者交线必为一个角相交，则两者交线必为一个n n 次对称轴且轴次次对称轴且轴次次对称轴且轴次次对称轴且轴次n n=360=36022定理四：如有一对称面定理四：如有一对称面定理四：如有一对称面定理四：如有一对称面P P 包含包含包含包含L Li in n(或一或一或一或一L L2 2垂直垂直垂直垂直L Li in n )，当，当，当，当n n为偶数，则有为偶数，则有为偶数，则有为偶数，则有n n2 2个个个个P PL Li in n和和和和n n2 2个个个个L L2 2 L Li in n；n n为奇数，则有为奇数，则有为奇数，则有为奇数，则有n n个个个个P P L Li in n和和和和n n个个个个L L2 2 L Li in n；且且且且P P 的法线与的法线与的法线与的法线与L L2 2 间的夹角间的夹角间的夹角间的夹角 均为均为均为均为3603602 2n n。

简式：简式：简式：简式：L Li in nPP/=L Li in nLL2 2=L Li in nn n2 2L L2 2n n2 2P/P/（n n为偶数）为偶数）为偶数）为偶数）L Li in nPP/=L Li in nLL2 2=L Li in nnLnL2 2nP/nP/（n n为奇数）为奇数）为奇数）为奇数）逆定理逆定理逆定理逆定理:如有一如有一如有一如有一L L2 2 与一与一与一与一P P 斜交，斜交，斜交，斜交，P P 的法线与的法线与的法线与的法线与L L2 2 的交角为的交角为的交角为的交角为，则则则则L L2 2且且且且P P 的直线为的直线为的直线为的直线为L Li in n ，n n=360=3602 2Ln包含包含nP Lin 2L 2 2 P/定理五定理五定理五定理五:若若若若L Ln n与与与与L Lm m 以以以以 角斜交，则围绕角斜交，则围绕角斜交，则围绕角斜交，则围绕L Ln n 必有共点且对必有共点且对必有共点且对必有共点且对称分布的称分布的称分布的称分布的n n个个个个L Lmm，围绕，围绕，围绕，围绕L Lm m 必有共点且对称分布的必有共点且对称分布的必有共点且对称分布的必有共点且对称分布的mm个个个个L Ln n，且任意两相邻的且任意两相邻的且任意两相邻的且任意两相邻的L Ln n 与与与与L Lmm 间交角均为间交角均为间交角均为间交角均为。

简式：简式：简式：简式：L Ln nLLmm =nLnLmmmLmLn n（L Ln n与与与与L Lmm斜交）斜交）斜交）斜交）3 3L L4 4 与与4 4L L3 3 的组合的组合对称型对称型定义：把一个结晶多面体所具有的全部对称要素，以一定的定义：把一个结晶多面体所具有的全部对称要素，以一定的顺序组合排列之，便构成了该结晶多面体的对称型全部顺序组合排列之，便构成了该结晶多面体的对称型全部对称要素的组合称之为对称型，亦叫点群）对称要素的组合称之为对称型，亦叫点群）对称型的写法对称型的写法找出一个晶体的全部对称轴、对称面、对称中心后，先写对找出一个晶体的全部对称轴、对称面、对称中心后，先写对称轴（由高到低的顺序），后写对称面，再写对称中心称轴（由高到低的顺序），后写对称面，再写对称中心例如：立方体的对称型为例如：立方体的对称型为L44L25PC；四方双锥的对称型为四方双锥的对称型为L44L25PC对称型的种类对称型的种类晶体中可能出现的对称要素、种类以及对称要素间的组合规晶体中可能出现的对称要素、种类以及对称要素间的组合规律，证明所有晶体（律，证明所有晶体（3300种）共种）共32种对称型，常见的种对称型，常见的13种。

种第三节第三节晶体的对称分类晶体的对称分类把晶体中是否存在高次轴及数目将晶体分三个晶族把晶体中是否存在高次轴及数目将晶体分三个晶族高级晶族高级晶族高次轴（高次轴（n2）多于一个）多于一个中级晶族中级晶族高次轴只有一个高次轴只有一个低级晶族低级晶族无高次轴无高次轴在每个晶族下又可按旋转轴和倒转轴的轴次和数目把晶体划在每个晶族下又可按旋转轴和倒转轴的轴次和数目把晶体划分成七个晶系分成七个晶系高级晶族高级晶族等轴等轴(立方立方)晶系晶系中级晶族中级晶族六方晶系、四方晶系和三方晶系六方晶系、四方晶系和三方晶系低级晶族低级晶族正交正交(斜方斜方)晶系、单斜晶系和三斜晶系晶系、单斜晶系和三斜晶系可以看出：等轴晶系的晶体对称性最高，而三斜晶系的晶体可以看出：等轴晶系的晶体对称性最高，而三斜晶系的晶体对称性最低对称性最低晶族和晶系晶族和晶系晶族和晶系晶族和晶系在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把32323232个对称型划分出个对称型划分出三个晶族三个晶族三个晶族三个晶族；又根据对称特点划分为；又根据对称特点划分为7 7 7 7个晶系个晶系个晶系个晶系。

晶体高级晶族（高次轴多于一个）中级晶族（高次轴只有一个）六方晶系(有一个L6或Li6)四方晶系（有一个L4或Li4）三方晶系(有唯一的高次轴L3)低级晶族（无高次轴）斜方晶系(L2或P多于一个)单斜晶系(L2或P不多于一个)三斜晶系(无L2，无P)立方晶系第四节第四节晶体定向和结晶符号晶体定向和结晶符号一、晶体定向和整数定律一、晶体定向和整数定律1、晶体定向的定义、晶体定向的定义所谓晶体定向就是在晶体中选定一个三维坐标系具体地说，所谓晶体定向就是在晶体中选定一个三维坐标系具体地说，就是要选择坐标轴（晶轴）和确定各晶轴上单位长之比（轴就是要选择坐标轴（晶轴）和确定各晶轴上单位长之比（轴率）1）晶轴的选择）晶轴的选择选择的晶轴应符合晶体本身固有的对称规律，同时还应尽量选择的晶轴应符合晶体本身固有的对称规律，同时还应尽量照顾到晶体本身的对称特点照顾到晶体本身的对称特点必须选择格子构造中的行列方向作为晶轴必须选择格子构造中的行列方向作为晶轴已经证明，晶体上对称轴、对称面的法线是晶体构造中最主已经证明，晶体上对称轴、对称面的法线是晶体构造中最主要的方向要的方向晶轴的选择原则晶轴的选择原则在晶体外形上说，首先选择对称轴作为晶轴；在缺在晶体外形上说，首先选择对称轴作为晶轴；在缺少对称轴的时候，可以选择对称面的法线作为晶轴；少对称轴的时候，可以选择对称面的法线作为晶轴；如果二者没有或均不足时，则可选择平行主要晶棱如果二者没有或均不足时，则可选择平行主要晶棱方向作为晶轴。

方向作为晶轴在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直或近于垂直，在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直或近于垂直，并使轴率（轴单位）近于相等即尽可能使之趋于：并使轴率（轴单位）近于相等即尽可能使之趋于：=90a=b=c（2）具体选择方法）具体选择方法 优先顺序依次为：对称轴优先顺序依次为：对称轴倒转轴倒转轴对称面法线对称面法线晶棱三轴定向：立方、四方、斜方、单斜、三轴定向：立方、四方、斜方、单斜、三斜五个晶系三斜五个晶系 四轴定向：三方、六方晶系四轴定向：三方、六方晶系三轴定向三轴定向四轴定向的四轴定向的3 3个水平轴个水平轴2、轴单位（单位面）的确定、轴单位（单位面）的确定（1）单位面）单位面轴单位是晶轴上的单位长度轴单位是晶轴上的单位长度由于所选择的晶轴都是晶体格子构造中的行列方向，所以晶由于所选择的晶轴都是晶体格子构造中的行列方向，所以晶轴的轴单位就是该晶轴行列的结点间距轴的轴单位就是该晶轴行列的结点间距X、Y、Z轴上的轴轴上的轴单位分别以单位分别以a0、b0、c0表示，有时直接用表示，有时直接用a、b、c表示对晶体外形研究，不能定出轴单位的实长（结点间距），但对晶体外形研究，不能定出轴单位的实长（结点间距），但通过晶体测量能标出其比率通过晶体测量能标出其比率a a：b b：c c，此比率称为轴率，此比率称为轴率(或轴或轴单位比单位比)。

我们把扩大了若干倍的轴单位组成的平面叫单位面我们把扩大了若干倍的轴单位组成的平面叫单位面2、轴单位（单位面）的确定、轴单位（单位面）的确定（2 2）轴率）轴率轴单位的比值（轴单位的比值（a：b：c）称之为轴率称之为轴率显然由单位面确定的度量单位在数值上是真正轴单显然由单位面确定的度量单位在数值上是真正轴单位的整数倍，因而两者的轴率是完全一样的位的整数倍，因而两者的轴率是完全一样的在实际工作中，我们一般以单位面在各晶轴上所截在实际工作中，我们一般以单位面在各晶轴上所截得的长度作为相应晶轴的单位长度得的长度作为相应晶轴的单位长度3）单位面的选择原则）单位面的选择原则在晶体上确定单位面时，一定要选择哪种发育好的，能与三在晶体上确定单位面时，一定要选择哪种发育好的，能与三个晶轴相交且截距尽可能相等或近于相等的晶面因为这样个晶轴相交且截距尽可能相等或近于相等的晶面因为这样的晶面最可能是真正的单位面的晶面最可能是真正的单位面如果有好几个晶面都与单位面相近，那可先选择一个，然后如果有好几个晶面都与单位面相近，那可先选择一个，然后计算各晶面的符号，如果所得的面号都是简单的整数，则说计算各晶面的符号，如果所得的面号都是简单的整数，则说明单位面选择正确，否则，必须更换。

明单位面选择正确，否则，必须更换一个晶体上真正的单位面只有一个，但有些晶形是简单的晶一个晶体上真正的单位面只有一个，但有些晶形是简单的晶体，单位面也可能不出现，轴单位的比例并不总是能借助单体，单位面也可能不出现，轴单位的比例并不总是能借助单位面来求得位面来求得4）晶体常数：轴角（）晶体常数：轴角（、）和轴单位（）和轴单位（a、b、c）合称）合称为晶体常数为晶体常数3、整数定律、整数定律整数定律的具体内容是：若以平行于三根不共面晶整数定律的具体内容是：若以平行于三根不共面晶棱的直线为坐标轴，则晶体上任意两个晶面在三个棱的直线为坐标轴，则晶体上任意两个晶面在三个坐标轴上截距的比值之比为一简单整数比坐标轴上截距的比值之比为一简单整数比解释解释：晶面是外层面网，晶面与晶轴面是外层面网，晶面与晶轴（轴单位为结点间距）必相交于（轴单位为结点间距）必相交于 结点上，故截距系数比为整数结点上，故截距系数比为整数根据布拉维法则，晶体由面根据布拉维法则，晶体由面网密度大的晶面所包围如网密度大的晶面所包围如图所示，图所示，a a1 1b b1 1面的面网密度面的面网密度大，相应截距系数之比简单大，相应截距系数之比简单。

b b1 1 b b2 2 b b3 3 b b4 4 b bn n Y X Xa a1 1a a2 2Z Z 网面密度与截距系数比的关系网面密度与截距系数比的关系二、结晶符号二、结晶符号1 1、结晶符号、结晶符号结晶符号：表示晶棱、晶面等在晶体上方位的简单结晶符号：表示晶棱、晶面等在晶体上方位的简单的数字符号称为结晶符号的数字符号称为结晶符号晶面符号：一种以数字的形式表达各晶面间相对位晶面符号：一种以数字的形式表达各晶面间相对位置的符号置的符号晶棱符号：用简单数字符号来表达晶棱或其它直线晶棱符号：用简单数字符号来表达晶棱或其它直线在晶体上的方向的结晶符号称为晶棱符号在晶体上的方向的结晶符号称为晶棱符号2 2、晶面符号、晶面符号晶面符号的表示方法有很多，目前国际上通用的是晶面符号的表示方法有很多，目前国际上通用的是米氏符号，英国学者米勒尔于米氏符号，英国学者米勒尔于18391839年创立的年创立的米氏符号的求法米氏符号的求法 顺序取晶面在各晶轴上截距系数的倒数比，然后化顺序取晶面在各晶轴上截距系数的倒数比，然后化简，去掉比号，加一小括号，即为米氏符号简，去掉比号，加一小括号，即为米氏符号。

米氏符号的表示方法米氏符号的表示方法 一般以（一般以（hkl）或）或(hkil)表示，其中表示，其中h、k、i、l分分别为别为X、Y、U、Z轴上的晶面指数轴上的晶面指数举例举例举例举例举例举例：如图晶面如图晶面HKLHKL，在，在X X、Y Y、Z Z轴上的截距分别为轴上的截距分别为2a2a、3b3b、6c 6c，截距系数为，截距系数为2 2、3 3、6。