不定积分sect51不定积分的概念和性质

第五章第五章 不定积分不定积分 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 基本积分表基本积分表 不定积分的性质不定积分的性质 小结小结微微分分学学导数导数微分微分积积分分学学不不定定积积分分定定积积分分:d ”“记记为为，求求导导数数与与求求微微分分统统称称为为 微微分分运运算算xxfxFxfxFxFd)()(d ),()()(d ”“记记为为，）（其其逆逆运运算算称称为为 积积分分运运算算不不定定例例 ),(,cossin xxx ),0(1|ln xxx一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义 若在若在 I 上恒有上恒有 F(x)=f(x)（即（即 dF(x)=f(x)dx），），称称 F(x)为为 f(x)在在 I 上的一个上的一个原函数原函数上的一个上的一个在在是是原函数原函数),(cos sin Ixx,),0(1|ln上上的的一一个个原原函函数数在在是是 xx上上的的一一个个原原函函数数在在也也是是)0 (1 x考虑原函数的表达式：考虑原函数的表达式：上上的的一一个个原原函函数数在在为为上上的的一一个个原原函函数数，则则在在为为设设 )()()()(IxfxGIxfxF)()(xfxG )(xF Ix 0)()(xFxGCxFxG )()(.)()(CxFxG ,|)()(RCCxFIxf 上上的的原原函函数数全全体体为为在在,)()(上上的的任任一一个个原原函函数数在在为为其其中中IxfxF：上上的的原原函函数数具具有有在在一一般般表表达达式式 )(Ixf.)(CxF 任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(.上上的的）在在（或或数数的的一一般般表表达达式式）为为数数（原原函函上上带带有有任任意意常常数数的的原原函函在在称称 )()()(IdxxfxfIxf f(x)在在 I 上的不定积分也可看成是上的不定积分也可看成是 f(x)在在 I 上的上的原函数全体原函数全体。

不定积分（或原函数）的存在性与唯一性：不定积分（或原函数）的存在性与唯一性：1、存在性：、存在性：（1）不是每个函数在定义区间上都有原函数；）不是每个函数在定义区间上都有原函数；（2）在）在 I 上的上的连续函数连续函数一定有原函数一定有原函数（即：（即：一定有一定有不定积分不定积分），），2、唯一性：、唯一性：是是唯唯一一的的；的的作作为为）（原原函函数数族族 )d(1fxxf不不唯唯一一在在的的原原函函数数的的作作为为）（形式上,C)()d(一一般般表表达达式式fxFxxf2例例1 ).d1(d xx求求解解),(,1 Ixx,),(1 一个原函数上上的的在在为为 Ix).,(,Cd xxx),(,1)1(xx又又).),(,C)1(d xxx注注是是：的的检检验验积积分分结结果果正正确确与与否否基基本本方方法法被积函数积分结果的导函数 例例2 2 设曲线通过点（设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2)(xxf 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,2Cx ,C)(2 xxf由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）,1C 所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy xxd2注注 )(xf的的一一个个原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的一一条条 积积分分曲曲线线.求不定积分得到一个求不定积分得到一个积分曲线族积分曲线族 y=F(x)+C.y=F(x)y=F(x)+Cx斜率斜率f(x)例例3)2(d x微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的:)(d ),()(dxFxFxF xxfxfd)(),(=)(xFC ),(d)(dd )1(xfxxfx ;d)(d)(dxxfxxf )(d)()2(xFxxF )()(dxFxF由此可知：由此可知：x.C+C,+C.积分运算和微分运算是互逆的，因此，积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。

二、二、基本积分表基本积分表 将基本导数公式将基本导数公式从右往左从右往左读，（然后稍加整理）读，（然后稍加整理）可以得出可以得出基本积分公式（基本积分表）基本积分公式（基本积分表）基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数);dxx)2(dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(;sinCx ;cotarcCx ;arccosCx xdxsin)7(;cosCx xdx)3(;|lnCx );1(11 Cx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsh)14(;chCx xdxch)15(.shCx xdx2sec )8(;tanCx xdx2csc )9(;cotCx 基基本本积积分分表表 求不定积分的基本思想（仍然）是求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简化繁为简将所求积分化为将所求积分化为基本积分表基本积分表中的积分中的积分2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据根据幂函数的积分公式幂函数的积分公式Cxdxx 11 例例4 4 求求（恒等变形法恒等变形法）dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf三、三、不定积分的（不定积分的（线性线性）性质性质 dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，是常数，)0 k 例例5 5dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2.C 例6例6 dxaxaxaxannnn)(0111)0(na dxaxdxadxxadxxannnn0111xaxaxnaxnannnn0211121 C 例例7 7dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例8 8dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222）（dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例9 9 dxx2cos11 dxx2cos21 dxx2cos121.tan21Cx xdx2sec21例例1010 xdx2cot dxx)1(csc2 dxxdx2csc.cotCxx 例例1111 dxexxx1235 dxexx)2)(23()25(21(例例1212 dxxxxxxx2)3)(3 dxxxxx)33(211214312745 dxedxxx)2()23()25(21.)2()2ln1(23)25()2ln5(ln21Cexx Cxxxx )112111433112711453(2111211431127145*例例 13 13 已知一曲线已知一曲线 y=f(x)在点在点(x,f(x)处的切线斜率为处的切线斜率为 sec2x+sinx，且此曲线与，且此曲线与 y 轴的交点为轴的交点为(0,5)，求此曲线，求此曲线 的方程的方程.解解,sinsec)(2xxxf dxxx sinsec2由由,costanCxx ,5)0(f及及,6 C得得所求曲线方程为所求曲线方程为.6costan xxy的的一一个个原原函函数数。

是是xxxfsinsec)(2 3.基本积分表基本积分表；5.不定积分的（线性）性质；不定积分的（线性）性质；1.原函数的概念：原函数的概念：；)()(xfxF 2.不定积分的概念：不定积分的概念：；CxFdxxf)()(4.求微分与求积分的互逆关系；求微分与求积分的互逆关系；四、小结四、小结6.求不定积分的基本方法：将所求积分转化为求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表基本积分表中的积分中的积分思考题思考题符号函数符号函数 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),(解答：解答：不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(321xCxxCxCxxF则则但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),()(xf结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有原函数的函数都没有原函数.连连续续在在由由0)(xxF )0()0()0(FFF 231CCC .0,0,0,)(xCxxCxCxxF,|Cx 。