微分中值定理导数应用技术

第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大 值和最小值的求法及其简单应用3. 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形4. 握用洛必达法则求未定式极限的方法5. 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径6. 了解方程近似解的二分法及切线法一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1 •罗尔定理如f X满足：（1） 在a,b连续.（2） 在a,b可导.（3） f a 1= f b 则至少存在一点 —I： a,b使f =0例 设 g x =x x 1 2x 1 3x -1，贝y在区间（-1 , 0）内，方程g/ x =0有2个实根；在（-1 , 1）内g// x =0有2个根例设f x在［0 , 1 ］可导，且f 0Af 1 A0 ,证明存在^三〔0,1 ,使f「厂卄/ = 0证：设 F x = xf x 在［a,b］可导，F 0 = F 1•••存在 0,1 使 F/ =0 即 f f/ =0例 设f x在［0 , 1］可导，且f 01=f 11=0,证明存在 F F7 =0。

解：设Fxi=exfx，且F0i=F1 由罗尔定理存在 使F = 0 即e f尹L’e f/ = 0 ,亦即f v〕亠ft l ： 0例 习题6设Fx二fxegx （复合函数求导）2、 拉格朗日中值定理如f X满足：①在［a,b］连续；②在（a,b）连续，则存在匚ia,b使 f b a 二 f / - a推论：⑴如果在区间I上f/ x三0，则fx二C⑵如果在区间I上f/ x 0 0）,f x在I单增（减）例对任意满足x <1的x,都有arctg 1 —x larcsinx \l+x 2f (x parctgJF\1 +x」arcsi nx211 -x1 x-21 x21 1-01 1 x 1 x 2 12 2 1 -x2 1 x2 2 1 -x2f xi=C.. , JIf 0 二—4- 二 f x :4例设x 0，证明x 讣〔• x * x1 +x求导证明作业：见各章节课后习题未定形：如下的函数极限都是未定形1、0 型:如:x—sin x limJ0 tan x - x型:oo 上 In x 小2、一型： 女口： lim - a 0旳 I毗xa3、0 - 型：女口： lim x- In x a 0x—>-bc—— 114、：：_：：型：如：lim （ ）sin x x5、 00 型:6、 ：：0 型:arctan x如:时如:!im.0(ctgx)7、型:ln x如:它们的计算不能用函数极限的四则运算法则,且它们只表示类型，没有具体意义。

0 r1 、-（ 一）型的洛必达法则 XT a （同理XT旳）0定理：对函数和，如果：(1)lim f (x) = 0x—a—(x⑴lim g(x) = 0x—:a—(x「■)（2）在某个邻域N（a,「J内（x X后）有导数 f'和 g'，且 g'（x）=0 ；（3） lim f （x）存在（或无穷），则成立: ：xa：）g'（x）f（x） 「 f'（x）lim = limxx））g（x）xx：）g'（x）例：1)2)3)sin ax lim x >0 sin bxx — si n x—3xx3-3x + 2匹 X3/*1例: 1)limx 八刁- arcta nx7"x2)limIn x3)■ >0)3、其它类型1)亦02)1 1 0 -0O0 — O0 f 9 0 0 073)y = 00》In y = 0 In 0 (0 ：:型)04) y = 1 , y八 解法同3)例 : 1) lim xn ln x (n「0)XTO2) lim(secx-ta nx)x忖3) lim xxXT04)limx ]0tan x - x2・ x sin x三、泰勒公式一、多项式：P（x）二ao a/x-xo） p（x-Xo）2 4（x-x0）n在点的各阶导数：P（x。

= aP'（X aiP''（x 2a2P(n)(x)= n! an得:1 七(n) / 、an f (x0)n!P(x) =a)f'(x))(x-x)) ^^&-幼22二、泰勒中值定理：如果函数 f （x）在含有x0的某个开区间（a,b）有直到（n 1）阶的导数，则对任x （a,b）有：1、（ N阶泰勒公式）f（x） =f（xo） f'（xo）（x-x^-^U-x22!f妝）/ 、n .（x-x尺（x） n!Rn （x）称为余项f （n出）（匕）（1） Rn（X）= — （X —X°）2 （ ©在 Xo 与 X之间）（n +1）!拉格朗日型余项（2） Rn（x） = o［（x - Xo）n］皮亚诺余项2、当Xo二0得麦克劳林公式:f(x) = f(O) f'(0)x L^X22三、常见函数的泰勒展开1)2X “ Xe =1 x2!2)3)n!+ R(x)nXn!_；xe n 1X (n 1)!1)3 5X丄X 丄/八m4sin x=x (-1)3 5! (2m-1)!2m 4X Rn(x) X Ry = (1 x)a四、函数的性态1、极值1）定义：如在Xo邻域内，恒有f X - f Xo， f X - f Xo ，则称f Xo为函数f X的一个极大（小）值。

可能极值点，f/ x不存在的点与 f x = 0的点驻点）驻点J极值点2）判别方法i、导数变号f〃（x）式 0, ；f（x»0f（x£0极小值极大值例1、 设y = f x满足关系式y〃 - 2y/ • 4y = 0，且f x 0 ,f x0 i=0，贝V f x 在 X0 点处 A_A、取得极大值 B 、取得最小值C、在x0某邻域内单增 D、在x0某邻域内单减例2•已知函数f x对一切x满足xf 〃 X • 3x f / X 2 = 1 - e」如 f/ x0 =0, x0，则 A_A f x0是f x的极小值B f x0是f x的极大值C 、 X0、f X0是曲线的拐点d f x0不是f x的极值，x0、f x0也不是曲线 y=f x的拐点例3• 设函数f X在X =0的某邻域内可导，f / 0 = 0,lim f（X）.二一1，则f 0是f x的极大值x—°sin x 22、函数的最大值与最小值（i）求出a, b 内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值,再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值2）在a, b内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。

4)实际问题据题意可不判别2例1、 在抛物线y = 4 - x上的第一象限部分求一点 P,过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小解：设切点为P x， y，切线方程为2- 4 - x - -2x X - XX 丫 “x2 41 x2 4 “2x三角形面积:1 s(x)=2 2(x 4)2x= ：(x3 8x 16),4， / 1 2S (x) = — (3x4+8-4)x2S/(x) =0 x 二——V32令s〃(x〔3,(唯一)为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在I上f X可导如f 〃 x • 0 ：：： 0则曲线y = f x是凹(凸)的在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点3x - 1例1、 f X二 2 设，试讨论f X的性态X/(x)二2(x-1) (x 2)3xf〃(x)6(x-1)4xf/(x)=O x=1, x=-2, f〃(x)=Q x=1X(-m ,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+OO )y+0-间+0+y---断-0+y单调增极大值单减单增拐单增上凸f(-2)=上凸上凸占八、、下凸(1,27 40)渐近线 如lim f(x)二a 则称y二a为水平渐近线x—如 lim f(x)二-- 则称x = x0为垂直渐近线 XTX。

0渐近线可能没有，或多条2x -1例2、 求y ： 2渐近线 (斜渐近线不讨论)(x — 1)解:x -1Xm(x-1)2 一0••• y = 0为水平渐近线2x -1lim 2 二：：x 1 (x _1)••• x=1垂直渐近线例2、曲线y =xx(x -1)(x 2)的渐近线有4条4 证明不等式（1） 利用中值定理（R, L）;（2） 利用函数单调性；（3） 利用最值；（4） 引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式;（5） 利用函数凹凸性；（6 ）利用泰勒公式例 1、 当 0 a < b，试 b — a |n b b — ab a a即证：1 ln b—l na 1-< <b b -a a证： 设 y = Inx，在 [a,b] 连续， (a,b) 可导， 由拉格朗日中值定理1In b -1n a 二.（b - a）血-叽1 a—b b _a1 In b-l na 1-< < —b b —a a例2、设X A 0，证明」：：ln(1 x) ：： x证：设f (x) =x - In(1 x)f/(x)=1 1f (x)单增，当 x 0 f (x) f (0) = 0x ln(1 x)xf(x)=l n(1 x)例3、证:f/(x)= 1 11 x (1 x)2f (x)单增，当x 0ln(1x)2 > 0 (1 x)f(x) f(0) =02证明x 1In x令 f (x)=x2 1 - Inx(x 0)令f/(x) = 0得1x：2驻点唯一,-f(极小即 x 0 f(x) f j 冷"2 0例4、 当0乞X乞1 p 1证明 21£ < xp • 1 — x p 冬1证：设f X 二 xp 1 — x p 0 空 x 空1f/ x 二px" -p1 -x pj令 f/ x = 0 ,1*= 驻点唯一2f 0 =f 1 =1f U〕=厶=21申2丿2p」当 p > 1，1 >占 f f (x)在 上最大值为1 ,最小值为21半d p22心乞 xp • 1 一二 p < 1例5、 设- e，证明 :r广'ln^ In 卩证明：即证a P十 \ In x设 f x = x小 1 -ln x 小x e , f x 2 :： 0xx ::: e 时••• f x 单减当 1匕.ln.' —ia p即 2 :八’例6、设f X在0, C1上可导，且f/ x单调减，f 0 = 0证明：fa b 乞 fa f b , O—a—b—a b。

证：令 F x i=f x a - f x - f aF/ x = f/ x a - f/ x••• f/ x单调减a—O , x a_x , f/ x a f/ xF，a乞0，即F x单调减fx 0,b】,F b - F0 =0即 fa b—fa fb作业：见课后习题。