(压轴题)高中数学选修二第一单元《数列》检测卷(包解析)

n ú û 一、选择题1．数列{an}中，a =112，a =a a ("m,nÎN* )，则a =（ ） m +n m n 6A．116B．132C．164D．11282．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良 马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还 迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ）A．1125B．1250C． 2250D．25003．设等差数列{an}的前 n 项和为 S , n ÎN* ．若nS >0, S <0 12 13，则数列{a }的最小项 n是（ ）A．第 6 项B．第 7 项C．第 12 项D．第 13 项4．数列{F}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{F }n的前 n 项和为 S ，则下列结论正确的是（ ）nA．S2019=F2021+2B．S2019=F2021-1C．S2019=F2020+2D．S =F -1 2019 20205．已知等比数列{an}的n 项和 S =2 n -a ，则na 21+a22++a2n=（ ）A．(2n-1)2B．13(2n-1)C． 4n-1D．13(4n-1)6．已知数列{an}满足a =1 ， a 1n +1=a +n2n2 +n，则 a =（ ） 10A．259B．145C．3111D．1767．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3 余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，问物几何？”现将 1 到 2020 共 2020 个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a }, 共有（ ）则该数列A．132 项B．133 项C．134 项D．135 项8．设数列{a }满足 a =2, a =6, 且 a n 1 2n +2-2 an +1+a =2 ，若 [x]表示不超过x的最大整 né数，则 êë1024 1024+ +a a1 21024 ù+ =a1024（ ）A．1022 B．1023 C．1024 D．10259．已知数列{a }n的前 n 项和为 S ，且 S =2 a -1n n n，则S6 =(a6)n n 1 2 3 4 5 612} } { }n n +1A．6332B．3116C．12364D．12712810．已知数列{a }是等比数列，S 为其前 n 项和，若 a ＋a ＋a =4，a ＋a ＋a =8，则 S =A．40C．3211．等比数列{a}nB．60D．50的前 n 项和为 S ，若 S : S =3:1 ，则 S : S =n 6 3 9 3（ ）A．4 :1B．6 :1C． 7 :1D．9 :112．已知数列{a }n的首项为 1，第 2 项为 3，前 n 项和为 Sn，当整数n >1时，Sn 1Sn 12( SnS )1恒成立，则 S 等于（ ）15A．210二、填空题B．211 C．224 D．22513．数列{an}满足a +2 a +2 1 22 a +×××+2n-1 3a =n1 7n 2 - n2 2，若对任意 l >0 ，所有的正整数 n 都有l2-kl+2 >an成立，则实数 k 的取值范围是_________．14．已知正项数列{an}中，an +1=19a 2 +2n，若对于一切的 n ÎN*都有a >an n +1成立，则a1的取值范围是________.15．已知正项数列{an}和{bn满足：①a1=1 ， a =3 2；②a +ann +1=2bn，b bn n +1=a2n +1.则数列{a}的通项公式为 na =n___________.16．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a =n__________．17．已知数列{an为等差数列，其前 n 项和为Sn，且S >S >S 6 7 5，给出以下结论：① d <0；②S >011；③S12>0；④数列{S}中的最大项为 S ；⑤ n 11a > a6 7其中正确的有______.（写出所有正确结论的序号）18．数列a 2 -a +2 aa 满足 a = n n -1 na +1n -1(n=2,3,)，a2=1 ， a =3 3，则a =7________.n n q n n ) + 1- =b b Sb S 19．已知数列{an}中，a =1 ， a =a 1 nn -1+3 (n³2,n ÎN *)，数列{b}满足 nb =n1a an n +1， n ÎN * ，则limn ®¥(b+b +×××+b1 2 n)=________.20．已知首项为a1，公比为 q 的等比数列{an}满足q4+a +a +a +1 =0 4 3 2，则首项a1的取值范围是________.参考答案三、解答题21．已知数列{an}是递增的等比数列且a +a =9 ， a a =8 ，设 S 是数列{a1 4 2 3 n n}的前n项和，（1）求 a 和 S ； n nì （2）数列 íîan +1S ×Sn n +1üý的前 项和为 T þ，若不等式l£Tn对任意的 n ÎN * 恒成立，求实数l的最大值.22．已知公比 大于 1 的等比数列 {a}的通项公式；（1）求n{an}满足a +a =10 ， a =4 1 3 2.（2）设 b = n，求数列{bn}的前n 项和 S .n请在①n ×a ；② 2log a -92 n；③(2na +1)(2n +1这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.23．已知等差数列{an}中，a =3 ， a =7 ，数列 {b 2 4}满足nb =a ， b =3b 1 1 n +1 n.（1）求数列（2）求数列{an{bn}通项公式 a ；n}的前n 项和 S .n24．在① S =3551 1 4，② ，③1 2 2S =T3 5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列{an}的公差是等差数列{bn}的公差的两倍，设Sn、Tn分别为数列{a}、{b}的前n项和，且 n na =31， T =32，________，设c =a ×2 n nn，求{cn}的前n 项和 A .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.n25．已知数列{a }n的前 n 项和为 ，且对任意 n ÎNn*， a ， S ， n 2n n成等差数列.（1）求数列{a }n的通项公式；（2）设数列 b 是首项为 1，公比为 q 的正项等比数列.n（i）求数列{b }n的前 n 项和 Tn.( )} n Sn n ï þ î m , n{ }a n { }a n ç ÷2 6 ç ÷6 m , n（ii）若数列{b -2 a } n +1 n为单调递增数列，求 q 的取值范围.26．已知数列{a}满足a =1 ， an 1 n +1=2 a +1 n ÎN * n.（1）求数列{an的通项公式.（2）设b =nnìïb ü，求数列 í ý的前 项和 . a +1n【参考答案】 ***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由 的任意性，令 m =1 ，可得 an +1=12an，即数列1 1是首项为 ，公比为 得等 2 2比数列，即可求出答案. 【详解】由于"m , n ÎN*，有a =a a m +n m n，且a =112令m =1，则an +1=a a =1 n12an，即数列1 1是首项为 ，公比为 得等比数列， 2 2所以 a =a q n 1n -11 æ1 ö= ´2 è2 øn -1=æ1 öç ÷è ønæ1 ö 1 ，故 a = =è2 ø 64故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列，解题的关键是特殊值取法，由 的任意性，令m =1，即可知数列{a}是等比数列，考查学生的分析解题能力与运算能力，属于一般题. n2．A解析：A【分析】由题意可知，良马每日行的距离{an}以及驽马每日行的距离{bn}均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a =103 ，公差 d =13 1 1.x 驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b =97 1，公差d =-0.52.设长安至齐为 里，则a +a +1 2+a +b +b + +b =2 x 9 1 2 9，即2 x =103 ´9 +9 ´8 ´13 9 ´8 ´0.5+97 ´9 - =2250 2 2，解得 x =1125.故选：A.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.3．B解析：B【分析】可利用等差数列的前 n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】由题意S >0, S <0 及 S 12 13 12=6 (a+a1 12)=6(a+a),S =6 7 13132(a+a )=13a1 13 7，得a +a >0, a <0 6 7 7，所以a >0,a > a 6 6 7，且公差 d <0 ，所以 a ，最小.故选 B .7【点睛】等差数列的前 n 项和 S 具有以下性质nS =(2n-1)a，S =n (a+a2 n-1 n 2 n n n +1 4．B解析：B【分析】).利用迭代法可得F =F +F =F +F +F +F + +F +F +1 n +2 n n +1 n n -1 n -2 n -3 2 1，可得Fn +2=S +1n，代入 n =2019即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则F =F +F =F +F +F =F +F +F +F n +2 n n +1 n n -1 n n n -1 n -1 n -2=F +Fn n -1+Fn -2+Fn -1=F +Fn n -1+Fn -2+Fn -3+Fn -2==F +Fn n -1+Fn -2+Fn -3++F +F +12 1，所以F =S +1 n +2 n，令 n =2019 ，可得S =F -1 2019 2021，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出 出F =F +F n +2 n n +1，利用迭代法得} nn a 4 2 n n 1 2 n n a Fn +2=F +Fn n +1=F +Fn n -1+Fn -2+Fn -3+ +F +F +1 2 1，进而得出Fn +2=S +1n.5．D解析：D【分析】由 a 与 S 的关系可求得 n nan2n 1，进而可判断出数列{a2}也为等比数列，确定该数列的n首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式. 【详解】已知等比数列{an的 项和 S =2 -a .n当 n =1当 n ³2时， a =S =2 -a1 1时， a =S -S n n n -1；=(2n-a)-(2n -1-a )=2n -1.由于数列{an}为等比数列，则a =2 -a 满足 a 1n2n 1，所以， 2 -a =20 ，解得 a =1 ，\ a =2 n -1 (nÎN*)，则a2=(2n-1)2=4n-1，\n+1 = =4 ，且 a 2n a2 4n -1n所以，数列{a2}为等比数列，且首项为1 ，公比为 4 ，n1 -4 n 4 n -1因此， a 2 +a 2 ++a = = .1 21 -4 3故选：D.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：=1，（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式a =a +(n-1)d n 1或a =a qn 1n -1进行求解；S , n =1ì1进行求解；（2）前 n 项和法：根据 a =íS -S , n ³2în n -1（3） S 与 a 的关系式法：由 S 与 a 的关系式，类比出 n n n nS与 a n -1 n -1的关系式，然后两式作差，最后检验出 a 是否满足用上面的方法求出的通项；1（4）累加法：当数列{an}中有a -an n-1= f (n)，即第n项与第 n -1 项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{a}中有 nan = f (n)，即第n项与第 n -1 n -1项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{an}中，an=kan -1+b（k、b均为常数，且k ¹1，k ¹0）.一般化方法：设a +m =k (an n -1+m)，得到b =(k-1)m，m =bk -1，可得出数列n ( n c ç n +1 nn ç ÷ n +1 nç ÷ ç÷ ç÷ ç ÷ç ÷ì b ü ía + ý是以 î k -1þk的等比数列，可求出 a ；n②取倒数法：这种方法适用于kaa = n -1 n ³2, n ÎN ma +pn -1*)（k、 m 、 p 为常数，m ¹0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于a =kan n -1+b的式子；⑦ an +1=ba +cnn（b、 为常数且不为零， n ÎN*）型的数列求通项 a ，方法是在等式n的两边同时除以 c n +1，得到一个 6．B解析：B【分析】a =ka +b n +1 n型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.由an +1=a +n2n2 +n转化为æ1 1a -a =2 -èn n +1ö÷ø2，利用叠加法，求得 a =3 - ，即n可求解.【详解】由an +1=a +nn22+n，可得2 æ1 1 öa -a = =2 -n ( n +1) èn n +1 ø，所以a =(a-an n n -1)+(an -1-an -2)+(an -2-an -3)+ +(a-a )+a2 1 1æ 1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö =2 - +2 - +2 - +èn -1 n ø èn -2 n -1 ø èn -3 n -2 øæ1 1 ö +2 - +1è1 2 øæ 1 ö=2 1 - +1 =3 - è n ø2n，所以a =3 -102 14=10 5.故选：B.【点睛】数列的通项公式的常见求法：对于递推关系式可转化为 项公式；a -a = f ( n ) n +1 n的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通对于递推关系式可转化为an +1 = f ( n ) an的数列，并且容易求数列{ f ( n)}前 n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式；对于递推关系式形如an +1= pa +qn的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.7．D解析：D【分析】{ }n a n ( )ú ê ç2 2 3÷ ú ê ç÷ úø û ë è øûê ú ( ) ( )n +1n n +1由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数.【详解】被 3 除余 2 且被 5 除余 3 的数构成首项为 8，公差为 15 的等差数列，记为{an}，则a =8 +15 (n-1)=15n-7，令a =15n -7 £2020 ，解得： n £135 n n215，所以该数列的项数共有 135 项.故选：D【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象 出等差数列.8．B解析：B【分析】由a -2 a +a =2 变形得 a n +2 n +1 n n +2-an +1-(an +1-a )=2，令 b =an nn +1-a ，可得 b 为 n n等差数列，求得{b}通项进而求得 nì1 üa 通项， 结合裂项公式求 í ý前 n 项和，再由最大î þ整数定义即可求解 【详解】由an +2-2an +1+a =2 Þ a n n +2-an +1-(an +1-an)=2 ，设 b =ann +1-an，则bn 1bn2，{b}为等差数列， nb =a -a =4 1 2 1，公差为d =2，故b =2 n +2 n，bn -1=2 n =a -ann -1，an -1-an -2=2 (n-1)，，a -a =2 ´2 ，叠加得 a -a =(n+2)(n-1) 2 1 n 1，化简得a =nn2+n，故1 1 1 1= = - a n n +1 n n +1n，所以éêë1024 1024+ +a a1 2+1024a1024ù é æ 1 1 1 = 1024 ´ 1 - + - +û ë è+1 1 öù é æ 1 öù - = 1024 ´ 1 -1024 1025 1025é 1024 ù= 1024 - =1023ë 1025 û故选：B【点睛】方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求 前 n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法：（1）形如a -an n-1= f (n)的数列，常采用叠加法求解；（2）常见裂项公式有：n1 1 1 1 1 æ1 1 = - ， = ç -n n +k k èn n +kö÷，øç ( )() 6 3 6 3 9 6 12 99 612 9121 1 æ 1 1 = -2 n -1 2 n +1 2 è2n -1 2 n +1 9．A解析：A【分析】ö÷ø利用数列递推关系： n =1时，a =2 a -1 1 1，解得a ； n 21时，a =S -S n n n-1．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】S =2 a -1 n n，\n =1时，a =2 a -1 ，解得 a =1 1 1 1； n 2时，a =S -S n nn -1=2 a -1 -(2 a n n -1-1)，化为：a =2 an n -1．\数列{an}是等比数列，公比为 2．\ a =25 =32 626 -1， S = =63 2 -1．S 63则 6 = ．a 326故选：A．【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属 于中档题．10．B解析：B【解析】由等比数列的性质可知，数列 S ，S −S ，S −S ，S −S 是等比数列，即数列 4,8，S −S ， S −S 是等比数列，因此 S =4＋8＋16＋32=60，选 B．11．C解析：C【分析】利用等比数列前 n 项和的性质 S ， S -Sk 2 k k， S -S3 k2 k，S -S4 k 3 k，成等比数列求解.【详解】因为数列{a}n为等比数列，则 S ， S -S ， S -S3 6 3 9 6成等比数列，设S =m ，则 S =3m ，则 S -S =2 m 3 6 6 3，故S -S S -S6 3 = 9 6 =2 S S -S3 6 3，所以S -S =4 m 9 6，得到S =7 m9，所以SS9 =73.故选：C.【点睛】n ç ÷ 2 2 n -1n 2 n -1n -1( )( )2 ê ú 本题考查等比数列前 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可. 12．D解析：D【分析】利用已知条件转化推出 可．【详解】a -a =2 a =2 n +1 n 1，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即解：结合Sn 1Sn 12( SnS )1可知， S +S -2 S =2 a n +1 n -1 n 1，得到a -a =2 a =2 n +1 n 1，故数列{a}为首项为 1，公差为 2 的等差数列，则 na =1 +2 ( n -1) =2 n -1 n，所以a =2915，所以 S =15( a +a )15 (29 +1) 15 1 15 =2 2=225，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．二、填空题13．【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式 即可求出实数 k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显 然当时当时因此的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的æ 31 ö解析： ç-¥, ÷è ø【分析】记b =2 n -1a ，设 S =a +2a +2 2a +×××+2a= n n n 1 2 3 n1 7n2 - n2 2，ì 根据 b =íîS n =11S -S n ³2 n n -1即可求出 b ，从而得到 a ，再根据题意可得 n nl2-kl+2 >(an)max，分参利用基本不等式即可求出实数 k 的取值范围．【详解】记b =2 a ，设 S =a +2a +2 2a +×××+2a= n n n 1 2 3 n1 7n2 - n2 2，当n =1 时， b =11 7- =-32 2；当 n ³2 时，b =S -S = n n n -11 7 é1 7 ùn 2 - n - n -1 - n -1 =n -4 2 2 ë2 2 û．时 ， ，因为( )( )n n k 0 ，因此 a 的最大值若存在，必为 n n正值．当 n ³5a n -3 a 5 -nn +1 = n +1 -1 = £0 a 2 n -4 a 2 n -4n n，当且仅当 n =5 时取等号．1所以 a 的最大值为 ．故16l2-k l+2 >(a)max=11631，变形得， 16 ，l31l+ ³2l31 31=16 2，当且仅当 l31 31 = 时取等号，所以 k < ．4 2æ 31 ö故答案为： ç-¥, ÷．è ø【点睛】ì本题主要考查 S 与 a 的关系 a =ín n nS n =11S -S n ³2 n n -1应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记b =2 n -1a nn，设S =a +2 a +2 2 2 a +×××+2n-1a= n 1 2 3 n1 7n2 - n2 2，利用通项bn与前ìn 项和 S 的关系 b =ín nS n =11S -S n ³2 n n -1求出通项 b ，再利用数列的单调性进而求出数列中 n的最大值，由基本不等式解出．14．【分析】根据列出关于的不等式求解出的取值范围从而的取值范围可确定 出【详解】因为所以解得满足所以即故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本 题的关键是通过之间的不等关系求解出的取值范围由此可确定出的取值范围解析：(3,6)【分析】根据a >an n +1列出关于an的不等式，求解出an的取值范围，从而a1的取值范围可确定出.【详解】因为an +11= a92n+2 0n n，所以 3 0n，b >0n，b bn n +1=a2n +1，\an +1=b bn n +1，则 n ³2 时， b b + b bn -1 n n n +1=2bn，\ n ³2 时， b + bn -1 n+1\ 数列 b 是等差数列.n=2 bn，即b - b = b - b n +1 n n n -1，又a 2 9a +a =2b ，\b =2 ， b = 2 = 1 2 1 1 21，首项b =12，公差 d =b - b =2 122，\ b = 2 + n(n-1)= (n+1). 2 2\ b =n12(n+1)2，\ a = b b = n +1 n n +112(n+1)(n+2).\ a =n\ a =n1212n (n+1)n (n+1)，其中.a =11适合此式，故答案为：12n (n+1).【点睛】本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的 转化，属于中等题.16．【分析】观察图中点数增加规律是依次增加 5 可得求解【详解】第一图点 数是 1；第二图点数;第三图是；第四图是则第个图点数故答案为：【点睛】本n 111 116 121 126 7题考查由数列的前几项求通项公式数列的前几项求通项公式的思路方法： 解析： 5n -4【分析】观察图中点数增加规律是依次增加 5，可得求解。