浙江省五校高三第二次联考理科数学试题及答案

2013学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷注意事项： 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记; 2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A，B互斥，那么．如果事件A，B相互独立，那么．如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 ．球的表面积公式，其中R表示球的半径．球的体积公式，其中R表示球的半径．棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高．棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高．棱台的体积公式，其中分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高．第I卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知是虚数单位，则= A． B． C． D．2．设集合，，则 A． B. C． D．3． 函数的最小正周期为A． B． C． D．4． .则“成等比数列”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．在中，内角的对边分别为且，则 的值为A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，不等式表示的平面区域的面积是A．8 B．4 C． D． （第7题）7．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直 观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为A． B． C． D． （第8题）8．如图， 是边长为2的等边三角形，是边上的动点，于，则的最小值为A． B． C． D． 9．已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点 作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，则直线这10条直线的斜率乘积为A． B． C． D．10．下列四个函数:①;②;③; ④中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为A．① ② ③ B．② ③ ④ C．① ② ④ D．① ③ ④非选择题部分（共100分）（第12题）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．二项式的展开式中的系数为　　▲　　．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为　　▲　　．13．若非零向量，满足，， 则　　▲　　．14．已知函数的最大值为1， 则　　▲　　． 15．对任意，都有，，且在上的值域．则在上的值域为　　▲　　．16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有　　▲　　种． 17．已知：长方体，，为对角线的中点，过的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是　　▲　　．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．19．（本题满分14分）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列的前项和．20．（本题满分15分）（第20题）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，，分别为的中点.（Ⅰ）求证:平面平面;（Ⅱ）求二面角的平面角的大小.21．（本题满分15分）已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数， （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．22．（本题满分14分）已知，函数（为自然对数的底数）． （Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若的最小值为，求的最小值．2013学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B； 2．B； 3．D； 4．； 5．A；6．； 7．C； 8．C； 9．B； 10．D．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．； 12．； 13．2； 14． 0或；15．； 16． 648； 17．．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18. 解：（Ⅰ）设袋中有白球个，则， 即，解得． （Ⅱ）随机变量的分布列如下： 012． 19.解:（Ⅰ）时, 所以 （Ⅱ） 20. 解：（Ⅰ）因为分别为中点,所以,又因为是正方形,,所以,所以平面.因为分别为中点,所以,所以平面.所以平面平面.（Ⅱ）法1.易知,又,故平面分别以为轴和轴,建立空间直角坐标系(如图)不妨设则,所以设是平面的法向量,则所以取,即设是平面的法向量,则所以取设二面角的平面角的大小为所以,二面角的平面角的大小为.法2. 取中点,联结则,又平面,,所以平面,所以平面,所以,.因为,则,所以 平面.又因为,所以所以就是二面角的平面角的补角.不妨设,则,,.所以二面角的平面角的大小为.21. 解：（Ⅰ）,由得,椭圆方程为（Ⅱ）若直线斜率不存在,则=设直线,由得所以 故的最小值为,此时.22. 解:（Ⅰ）时, , 当时, 当时, 所以的单调减区间为单调增区间为. （Ⅱ）由题意可知:恒成立,且等号可取. 即恒成立,且等号可取. 令 由得到,设, 当时,;当时,.在上递减,上递增.所以当时, ,即, 在上,,递减;在上,,递增.所以 设,,在上递减,所以故方程有唯一解,即.综上所述,当时,仅有满足的最小值为,故的最小值为.。