高考数学复习：第八章 ：第七节抛物线回扣主干知识提升学科素养

△+△2019年数学高考教学资料△+△第七节　抛 物 线【考纲下载】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)[来源:][来源:]y2＝－2px(p＞0)[来源:]x2＝2py(p>0)[来源:][来源:]x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋1．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋；若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则|MF|＝y0＋.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)A．y2＝－8x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：选C　由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.2．抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B　因为抛物线y2＝4x，所以2p＝4，而焦点F到准线l的距离为p＝2.3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为(　　)A. B．(1,0) C. D.解析：选C　将抛物线y＝2x2化成标准方程为x2＝y，所以2p＝，＝，而抛物线x2＝y的焦点在y轴的非负半轴上，所以焦点坐标为.4．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c2＝9－4＝5，得F(－，0)，则抛物线方程为y2＝－4x.答案：y2＝－4x5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析：F，则B，∴2p×＝1，解得p＝.∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝.答案： 前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例]　(2013·浙江高考) 已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0,1)． (1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．[解题指导]　(1)由抛物线的顶点、焦点即可判断抛物线的形状、大小，从而可求抛物线方程．(2)直线AB与抛物线相交，可得出A，B两点坐标之间的关系，再由AO、BO与直线l交于M，N两点，可求出|MN|的表达式，用k来表示，利用函数即可求最值．[解]　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.由解得点M的横坐标xM＝＝＝.同理点N的横坐标xN＝.所以|MN|＝|xM－xN|＝＝8＝.令4k－3＝t，t≠0，则k＝.当t>0时，|MN|＝2 >2；当t<0时，|MN|＝2 ≥ .综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是 .[名师点评]　解答本题的关键有以下几点：(1)由顶点O(0,0)，焦点F(0,1)确定抛物线的开口方向及P的值；(2)|MN|的表达式中，注意x1＋x2，x1x2及|x1－x2|的值；(3)注意4k－3＝t的换元，使问题简单．(2014·湖州模拟)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x.(2)∵l1：y＝－x，又直线l2与l1垂直，所以可设l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴交点为M.由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.由韦达定理，y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴l2：x＝y＋8，M(8,0)，故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24.高考数学复习精品高考数学复习精品。