134函数的奇偶性(2)

1.3.4函数的奇偶性(2)【学习目标】1掌握函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性)2能应用函数的基本性质解决一些问题3会运用函数图象理解和研究函数的性质练习 1：下列结论正确的是()BA偶函数的图象一定与 y 轴相交B若奇函数 yf(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0C定义域为 R 的增函数一定是奇函数D图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数练习 2：如果定义在区间3a,5上的函数 f(x)为奇函数，那么 a_.8练习 3：设 f(x) 是定义在(，)上的奇函数，且当x0 时，f(x)x21，则 f(2)_.5练习 4：已知当 x0，)时，f(x)x(1x)若 f(x)为奇函数，则当 x(， 0)时，f(x)_；若 f(x)为偶函数，则当 x(， 0)时，f(x)_.x(1x)x(1x)【问题探究】已知 f(x)是奇函数，在(0，)上是增函数，判断 f(x)在(，0)上的单调性，并加以证明答案：f(x)在(，0)上单调递增证明：设任意的 x1，x2，且0 x1x2，因为 f(x)在0，)上是增函数，所以 f(x1)f(x2)又x2x10，且 f(x)是奇函数，所以 f(x2)f(x1)f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)0，即f( x2)f( x1)所以f(x) 在(，0)上是单调递增题型 1 函数奇偶性与单调性的关系【例 1】 已知 f(x)是偶函数，且在(0，)上是减函数，判断 f(x)在(，0)上是增函数还是减函数，并加以证明解：由偶函数的图象特征，可知：f(x)在(，0)上是增函数用单调性定义证明如下：设任意的 x1x2x20.f(x)在(0，)上是减函数，a0，b0，abb，aa，bf(x)是奇函数增函数增函数减函数减函数f(x)是偶函数增函数减函数减函数增函数f(x1)f(x2)又f(x)是偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)f(x1)x10，则x2x10.由于 f(x)在(，0)上是增函数，f(x2)f(x1)，又f(x)是奇函数，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上也是增函数题型 2 函数奇偶性与单调性的应用【例 2 】 (2014 年广东二模) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在(0，)上是增函数，且 f 0，则不等式 xf(x)0 的解集是()13思维突破：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集函数f(x)的草图如图D13.图 D13答案：C【变式与拓展】2若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(，0)上是减)函数，且 f(2)0，则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是(A(，2)B(2，)C(，2)(2，)D(2,2)D题型 3 抽象函数的奇偶性与单调性【例 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0)上是增函数(1)判断函数 f(x)在(0，)上的单调性；(2)若 f(2a2a1)f(2a22a1)，求实数 a 的取值范围思维突破：这是抽象函数问题欲要脱掉函数符号“f ”，必须应用函数的单调性解：(1)函数 f(x)在(0，)上是减函数证明如下：设任意 0 x1x2，则x2x10，f(x)在(，0)上是增函数，f(x2)f(x1)又f(x)为偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x1)，即 f(x)在(0，)上是减函数又f(x)在(0，)上是减函数，且 f(2a2a1)2a22a1，解得 3a0，即 a0.故实数 a 的取值范围是(0，)本题以抽象函数为载体，综合考查函数的奇偶性与单调性的关系，以及利用函数的单调性解不等式的能力判断出 2a2a10,2a22a10，对本题的解答起到关键作用【变式与拓展】3已知函数 f(x)为奇函数，且在(2,2)上单调递增，且有f(2a)f(12a)0，求 a 的取值范围解：因为函数 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)由 f(2a)f(12a)0，得 f(2a)f(12a)即 f(2a)f(2a1)又因为 f(x)在(2,2)上单调递增，【例 4】 已知当 x0 时，函数 f(x)x22x1.(1)若 f(x)为 R 上的奇函数，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)为 R 上的偶函数，能确定 f(x)的解析式吗？请说明理由解：(1)当 x0 时，f(x)x22x1.设 x0，有 f(x)(x)22(x)1x22x1，因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)，即当 x0 时，f(x)x22x1；当 x0 时，f(0)f(0)f(0)，即 2f(0)0，f(0)0.(2)若 f(x)为 R 上的偶函数，不能确定 f(x)的解析式，因为不知 f(0)的表达式方法规律小结1把函数 f(x)(xR)写成一个偶函数与一个奇函数之和的形式 f(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)2，其中，f(x)f(x)2是偶函数，f(x)f(x)2是奇函数以上代数式说明：任意的函数都可写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式2函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，而且函数的单调性仍将是高考考查的重点，在题型所占比例上有上升趋势若函数 f(x)是定义在(，)上的奇函数，则 f(x)在(，0)与 f(x)在(0，)上的单调性相同；若函数 f(x)是定义在(，)上的偶函数，则 f(x)在(，0)与 f(x)在(0，)上的单调性相反。