数学 第一章 解三角形 习题课 正弦定理和余弦定理 新人教B版必修5

第一章习题课正弦定理和余弦定理 学习目标 1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.1 预习导学 挑战自我，点点落实2 课堂讲义 重点难点，个个击破3 当堂检测 当堂训练，体验成功 知识链接 下列结论正确的是 .(1)在ABC中，已知一边的长为6，这条边上的高为4，则ABC的面积为12.(2)在ABCD中，一边的长为a，这边上的高为h，则ABCD的面积为 ah.(3)已知ABC的三边长分别为a，b，c，若2pabc，则SABC(4)设ABC的内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S r(abc).答案(1)(3)(4)预习导引 1.三角形常用面积公式(1)三角形面积公式S.(2)三角形面积公式的推广S casin B.2.三角形内的角的函数关系在ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有(1)sin(AB)，cos(AB)，tan(AB)，(2)sin ，cos .3.余弦定理的推论在ABC中，c2a2b2C为 ，c2a2b2C为 ；c2a2b2C为 .锐角sin Ccos Ctan C直角钝角要点一利用正、余弦定理求值例1在ABC中，若ccos Bbcos C，且cos A ，求sin B的值.解由ccos Bbcos C，结合正弦定理得，sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，易知BC，故bc.因为cos A ，规律方法正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.跟踪演练1在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc.(1)求A的大小；要点二正、余弦定理与三角变换的综合应用例2在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2 cos 2A .(1)求A的度数.解由4sin2 cos 2A 及ABC180，得21cos(BC)2cos2 A1，4(1cos A)4cos2 A5，即4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得cos A .0A180，A60.解由余弦定理，得cos A .cos A，化简并整理，得(bc)2a23bc，所以32()23bc，(2)若a ，bc3，求b和c的值.规律方法本题解题关键是通过三角恒等变换借助于ABC180，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组.跟踪演练2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2c2b2 ac.求2sin2 sin 2B的值.解由已知所以cos B，又B(0，)，则要点三正、余弦定理与平面向量的综合应用例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B，且 21.(1)求ABC的面积；解ac35，a7，c5.由余弦定理b2a2c22accos B32，b4 .cb且B为锐角，C一定是锐角.C .规律方法这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.(2)若a7，求角C.跟踪演练3ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为 .解析 mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，由正弦定理有(ab)(ba)c(ac)，即a2c2b2 ac，再由余弦定理，得cos B ，又0B180，B150.150要点四三角形的面积公式的拓展例4如图，在ABC中，BC5，AC4，cosCAD ，且ADBD，求ABC的面积.解设CDx，则ADBD5x，在CAD中，由余弦定理可知cosCAD解得x1.规律方法在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.跟踪演练4在ABC中，AB ，AC1，B30，求ABC的面积.解由正弦定理得sin C .0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC ；(2)当C120时，A30，SABC 1sin 30 .1.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B b，则A等于()解析由正弦定理，得2sin Asin B sin B，即sin A ，因为ABC为锐角三角形，所以A .D2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为则此人能()A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形解析假设能作出ABC，不妨设高 对应的边分别为a26S，b22S，c10S，cos A0，A为钝角.D3.已知三角形面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A.1 B.2 C.D.4解析设三角形外接圆半径为R，则由R2，A课堂小结1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等).2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.。