大学文科数学

第二章 线性代数2.3 一般线性方程组的求解 上页 下页 返回 结束 1.4 一般线性方程组的求解主要教学内容：线性方程组的一般理论线性方程组的一般理论线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用重点难点：齐次与非齐次线性方程组的解齐次与非齐次线性方程组的解 上页 下页 返回 结束 一.线性方程组的一般理论1.一般线性方程组解的基本定理定理：定理：设A与 分别是n元线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 若 ，则方程组无解 若 ，则方程组有唯一解 若 ，则方程组有无穷多解，且通解含n-r个任意常数（也称参数）m m是非本质的？秩是本质的？是非本质的？秩是本质的？1.4 一般线性方程组的求解矩阵形式：AX=BA)()(ArArnArAr)()(nArAr)()(上页 下页 返回 结束 例例5 5：解线性方程组解：1.4 一般线性方程组的求解3)()(ArAr，原方程组的唯一解：x1=1,x2=2,x3=3 上页 下页 返回 结束 例例6 6：解线性方程组解：1.4 一般线性方程组的求解)()(,3)(,2)(ArArArAr，原方程组无解 上页 下页 返回 结束 例例7 7：解线性方程组解：看149页选取任意常数的习惯方法1.4 一般线性方程组的求解42)()(ArAr原方程组有无穷多个解，含2个任意常数，令x3=c1,x4=c2通解：上页 下页 返回 结束（先看例（先看例2.3.42.3.4）例例8 8：讨论参数a与b取什么值时,方程组 有唯一解,无穷多解或无解解：1.4 一般线性方程组的求解1)若a=0且b=0，则显然,，因此原方程组无解 上页 下页 返回 结束 1.4 一般线性方程组的求解2)若 ,且 则 此时 原方程组也无解 3)若 且 则 32)()(ArAr,故原方程组有无穷多解 令 得原方程组的通解 上页 下页 返回 结束 1.4 一般线性方程组的求解4)若 且 则 此时 方程组有唯一解,其解为 上页 下页 返回 结束 2.齐次线性方程组的基本定理定理定理.n元齐次线性方程组AX=0一定有零解（两种看法：秩；代入）若 ，则方程组只有零解 若 ，则方程组有无穷多个非零解，且通解含n-r个任意常数例例9 9：解齐次线性方程组 1.4 一般线性方程组的求解nAr)(nAr)(上页 下页 返回 结束 解：1.4 一般线性方程组的求解 上页 下页 返回 结束 1.4 一般线性方程组的求解，53)(Ar有2个任意常数，令得原方程组的通解：注：注：通解表达式不唯一（参见152页，第2行改错），但所含任意常数的个数相同，所代表的解集也相同！（变中有不变）上页 下页 返回 结束 1.4 一般线性方程组的求解，53)(Ar有2个任意常数，令得原方程组的通解：注：注：通解表达式不唯一（参见152页，第2行改错），但所含任意常数的个数相同，所代表的解集也相同！（变中有不变）上页 下页 返回 结束 二.线性方程组在几何中的应用讨论三个平面的位置关系讨论三个平面的位置关系:（中学学过：讨论两条直线以至多条直线之间的位置关系）（中学学过：讨论两条直线以至多条直线之间的位置关系）1.4 一般线性方程组的求解 上页 下页 返回 结束（中学学过讨论平面上两条直线以至多条直线的位置关系中学学过讨论平面上两条直线以至多条直线的位置关系 利用“一一对应”）两条直线 的位置关系（删去下面的第3行和第3 列）两条直线交于一点、重合、平行 解线性方程组 有唯一解、有无穷多解、无解 1.4 一般线性方程组的求解 上页 下页 返回 结束 方程组的解方程组的解与与两条直线的位置关系有下列几种有下列几种联系：联系：有唯一解：两条直线交于一点有无穷多解：两条直线重合于一直线（通解含一个任意常数）没有解：两条直线无交点平行启发：通过解线性方程组可以确定 平面上两条直线 之间的位置关系（多条直线？）1.4 一般线性方程组的求解三个平面的位置关系：重合、交于一条直线、交于一点、无公共点（平行或；）-10-50510-10-50510-10-50510-10-50510-10-50510-10-50510-20-1001020-10-50510-20-1001020-202-202-505-20202468100246810-15-10-500246810-15-10-50 在在MATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 ls1.m，可以得到图形：，可以得到图形：上页 下页 返回 结束 讨论三个平面位置关系讨论三个平面位置关系利用“一一对应”:三个平面 的位置关系 解线性方程组1.4 一般线性方程组的求解 上页 下页 返回 结束 方程组的解方程组的解与与三个平面的位置关系有下列几种有下列几种联系：联系：有唯一解：三个平面交于一点有无穷多解：三个平面交于一直线（通解含一个任意常数）三个平面重合（通解含两个任意常数）没有解：三个平面无公共交点（三个平行；两个平行；两两相交）启发：通过解线性方程组可以确定 空间三个平面 之间的位置关系（多个平面？）1.4 一般线性方程组的求解 上页 下页 返回 结束 例例1 1：平面 重合于一个平面 解：由此解得：其中c1，c2为任意常数 1.4 一般线性方程组的求解123:1:2222:3333lxyzlxyzlxyz1)()(ArAr 上页 下页 返回 结束 例例2:2:平面 相交于一条直线解：由此解得：其中c为任意常数 （图有误；意思对）1.4 一般线性方程组的求解123:21:233:344lxyzlxyzlxyz 2)()(ArAr 上页 下页 返回 结束 例例3 3：平面 相交于一个点（1，1，1）解：由此解得：（图有误，意思对）1.4 一般线性方程组的求解123:1:1:1lxyzlxyzlxyz 3)()(ArAr 上页 下页 返回 结束 例例4 4：平面 没有公共交点解：方程组无解 （图有误，意思对）1.4 一般线性方程组的求解123:1:2:3lxyzlxyzlxyz2)(,1)(ArAr 上页 下页 返回 结束 讲解两个平面的相互位置关系（利用前面的例子，只看其中两个平面）上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 本节结束本节结束 谢谢！谢谢！上页 下页 返回 结束 线性方程组解的几何意义线性方程组解的几何意义三元方程组三元方程组例例1 1 求下列线性方程组的解，并用求下列线性方程组的解，并用MATLABMATLAB绘出解的情况。

绘出解的情况35.0223315321321321xxxxxxxxx030208321321321xxxxxxxxx254124575321321321xxxxxxxxx151078533232xxxxx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）解：用解：用MATLABMATLAB的的 rref rref 命令可以解得：命令可以解得：用用MATLABMATLAB绘制平面的简单方法为：绘制平面的简单方法为：方程组（方程组（1 1）有唯一解）有唯一解方程组（方程组（2 2）有无穷组解）有无穷组解方程组（方程组（3 3）和（）和（4 4）无解）无解 ezmesh(ezmesh()单引号内为平面方程单引号内为平面方程 在在MATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 ls1.m，可以得到图形：，可以得到图形：从上图中也可以看出：从上图中也可以看出：方程组（方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解；唯一解；方程组（方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。

方程组（方程组（3）的三个平面没有共同的交点即方程组）的三个平面没有共同的交点即方程组无解方程组（方程组（4）也无解上页 下页 返回 结束 抽象与形象相结合u方程及方程组的几何意义方程及方程组的几何意义u行列式的几何意义行列式的几何意义u平面上线性变换的几何意义平面上线性变换的几何意义u向量组的线性相关性的几何意义向量组的线性相关性的几何意义u二维矩阵特征值的几何意义二维矩阵特征值的几何意义u二次型的正定性及其所对应的二次二次型的正定性及其所对应的二次 曲面曲面 的几何意义的几何意义12,ff x x 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 本节结束本节结束 谢谢！谢谢！。