大学物理：第二节　磁场的高斯定理与安培环路定理

第二节磁场的高斯定理与安培环路定理一磁场线：形象描述磁场的假想曲线磁场线上每一点切线方向与该点磁感应强度方向一致规定通过某点的垂直磁场方向上单位面积上磁场线数等于该点的大小BSNISNI特点：闭合曲线，互不相交二磁通量：通过磁场中某给定面积的磁场线总数cosssdBdsBdsBds式中是面积元的法线单位矢量与的夹角neBsBneds三磁场的高斯定理描述磁场性质的的基本定理即通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零（磁场是无源场）由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，所以0sdB四安培环路定理通常取电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值反之，取负值安培环路定理：磁感应强度沿任一闭合路径的线积分，等于该闭合路径包围的所有电流的代数和乘以 ，即0niiIldB101I3I2I4IL2. 安培环路定理的验证安培环路定理的验证以无限长载流直导线产生的磁场为例，证明安培环以无限长载流直导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性路定理的正确性a. 取对称环取对称环路包围电流路包围电流b. 取任意环取任意环路包围电流路包围电流c. 取任意环路取任意环路不包围电流不包围电流ILILLI注：回路均在垂直于导线的平面内注：回路均在垂直于导线的平面内Ia. 取对称环路包围电流取对称环路包围电流取环路的绕行方向为逆时针方向取环路的绕行方向为逆时针方向rIB20方向与圆周相切方向与圆周相切0d2LLIB dllrrlL2d 0LB dlI说明：说明：B 沿此圆形环路的沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围环流只与闭合环路所包围的电流的电流 I 有关，而与环路有关，而与环路的大小无关的大小无关。

rBdl0d cos0d2IB dlB llr2. 安培环路定理的验证安培环路定理的验证L00dd22IIB dlrr0LB dlIl dBL 与与 I 成成右手右手螺旋螺旋db. 取任意环路包围电流取任意环路包围电流d cosB dlB ldcosdrl说明：说明： B 的环流值与环路的的环流值与环路的大小、形状无关大小、形状无关rOIrIB200d2LLIB dlL2L1L12LLLB dlB dlB dl说明：说明：当闭合路径当闭合路径 L 不包围电流时，该电流对沿这一不包围电流时，该电流对沿这一闭合路径的闭合路径的 B 环流无贡献环流无贡献Ic. 取任意环路不包围电流取任意环路不包围电流ACO12d cosd cosLLB lB l1200(dd )202LLII12LLBrdBrd根据根据磁场叠加原理磁场叠加原理，当有若干个闭合恒定电流存在，当有若干个闭合恒定电流存在时，沿任一闭合路径时，沿任一闭合路径 L 的合磁场的合磁场 B 的环路积分为：的环路积分为：0LB dlI安培环路定理安培环路定理一般的，对于任意闭合的恒定电流：一般的，对于任意闭合的恒定电流：0LB dlI两点说明两点说明（1）稳恒磁场是非保守场）稳恒磁场是非保守场0LB dlNILN（2）若电流回路为螺旋形，而电流）若电流回路为螺旋形，而电流N次穿过积分环路次穿过积分环路 则则讨论题讨论题1 通以电流 的线圈如图所示，在图中有四条闭合曲线，则其环流分别为III1L3L4L2L4321LLLLldBldBldBldBI0I02I02I02 前提条件：前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路合环路 L，该环路上的磁感强度，该环路上的磁感强度 B 大小处处相等，大小处处相等，B 的方向和环路的绕行方向平行（或垂直），这样利用的方向和环路的绕行方向平行（或垂直），这样利用安培环路定理求磁感强度安培环路定理求磁感强度 B 的问题，就的问题，就转化为求路径转化为求路径的长度的长度，以及，以及求环路所包围的电流代数和求环路所包围的电流代数和的问题，即的问题，即0intdLLB dlBlILlIBdint0五、用安培环路定理求解磁场五、用安培环路定理求解磁场 适用范围：适用范围：电流的分布具有对称性电流的分布具有对称性1. 电流的分布具有无限长轴对称性电流的分布具有无限长轴对称性2. 电流的分布具有无限大面对称性电流的分布具有无限大面对称性3. 各种圆环形均匀密绕螺绕环各种圆环形均匀密绕螺绕环电流的分布具有无限长轴对称性的载流导体电流的分布具有无限长轴对称性的载流导体，包括无，包括无限长载流圆柱体、无限长同轴电缆、无限长均匀密绕限长载流圆柱体、无限长同轴电缆、无限长均匀密绕螺线管。

螺线管III电流的分布具有无限大面对称性的载流导体电流的分布具有无限大面对称性的载流导体，如无限，如无限大均匀载流平面大均匀载流平面各种形状横截面的圆环形均匀密绕螺绕环各种形状横截面的圆环形均匀密绕螺绕环I矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面基本步骤：基本步骤：1. 首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析对称性分析； 2. 根据磁场的对称性和特征，根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路选择适当形状的环路，使使 B 能以标量的形式从积分号内提出；能以标量的形式从积分号内提出；3. 利用利用环路定理环路定理求磁感强度求磁感强度五、用安培环路定理求解磁场五、用安培环路定理求解磁场解：解：1) 对称性分析：螺线对称性分析：螺线管内管内的磁感线是一组平行于的磁感线是一组平行于轴线的直线；且距轴线同远的点其轴线的直线；且距轴线同远的点其 B 的大小相同；的大小相同；外外部磁感强度趋于零部磁感强度趋于零 ，即，即 B = 0PIIB1B2用磁场叠加原理作对称性分析用磁场叠加原理作对称性分析：B例例1 无限长载流直螺线管内的磁场（无限长载流直螺线管内的磁场（n，I）几个典型的例子几个典型的例子LMNNOOPPMB dlB dlB dlB dlB dlB MN结论：结论：无限长载流螺线管无限长载流螺线管内部内部磁场处处相等（均匀磁场处处相等（均匀场），场），外部外部磁场为磁场为零。

零2) 选回路选回路 L+B回路回路 L 方向与所包围的方向与所包围的电流电流 I 成成右螺旋右螺旋LNMOPnIB00nMNIdrLL例例2 求载流螺绕环的磁场分布求载流螺绕环的磁场分布(N,I,R1,R2,d)2) 选回路选回路 L解：解：1) 对称性分析；对称性分析；B 线为与线为与螺绕环共轴的圆周螺绕环共轴的圆周d2LLB dlBlBrNII0int0)(2210RrRrNIBL ),(021RrRrB1R2RI(1)对均匀密绕螺绕环，磁场几乎全部集中于管内，在对均匀密绕螺绕环，磁场几乎全部集中于管内，在环的外部空间，环的外部空间，磁感应强度处处为零磁感应强度处处为零注意：注意：密绕密绕细细螺线管内部磁场与长直载流螺线管内部螺线管内部磁场与长直载流螺线管内部的磁场相同的磁场相同Rr nIIRNB002注意注意(2) 当当 时，螺绕环内时，螺绕环内可视为均匀场可视为均匀场dR 2dR)(2210RrRrNIBRRR21RI例例3 无限长均匀载流圆柱体的磁场无限长均匀载流圆柱体的磁场解解：1) 对称性分析对称性分析 2) 选取回路选取回路Rr IrB022020LrrRB dlIRIRrrB22020LB dlIIBdId.BrIB20202 RIrBRLrRBRIRI20BRorB 的方向与的方向与 I 成右螺旋成右螺旋,0Rr ,Rr 202 RIrBrIB20例例4 无限长载流圆柱面的磁场无限长载流圆柱面的磁场0LB dlI,Rr ,0Rr 0LB dlRI1Lr2LrBRorRI20解：解：0BrIB20例例5 在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度。

的面电流，求平板两侧的磁感应强度dIdIjdB1) 对称性分析：对称性分析：载流平面产生的磁场，其方向与平载流平面产生的磁场，其方向与平面平行，与平面电流成右手螺旋方向面平行，与平面电流成右手螺旋方向解：解：俯视图俯视图jBBLMNNOOPPMB dlB dlB dlB dlB dlMNOPMNlBlj02jB021均匀磁场均匀磁场2) 选回路选回路 L：矩形环路矩形环路思考：思考： 在两无限大的导体平板上均匀流有电流密度为在两无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度的面电流，求平板两侧的磁感应强度jjjj0j0j0对比对比真空中两无限大的均匀带电平行板？真空中两无限大的均匀带电平行板？。