钉子板上的多边形--20150120

2014年秋季校级公开课“钉子板上的多边形”教学设计李 斌教学内容：苏教版小学数学五年级上册第108——109页教学目标：1、探索并发现钉子板上围成的多边形面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并会用字母式子表示关系2、经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力，感受数学规律的奇妙及用字母表示关系的简洁性3、获取并积累由简单到复杂的探究问题的方法和经验，能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题教学重难点：重点：发现、得出多边形面积与边上钉子数与内部钉子数之间的规律难点：归纳、类比推导出一般规律教学过程：一、问题引入，揭示课题1、师生谈话数学中有很多关系，今天这节课，我们就来研究一种关系板书：钉子板、多边形）2、引入课题钉子板我们见过，多边形我们也熟悉，今天老师没带钉子板，但是带了它的替代品——点子图出示钉子板上围成的多边形（每相邻两个点的距离是1cm，每个格子表示1cm2钉子板上多边形的面积与钉子数是否有关，有怎样的关系呢？二、分层探索，发现规律（一）引导尝试，初步感知1、出示下图，引导学生观察请大家观察下面的多边形，按要求数一数或算一算，填一填，再想一想。

1）数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；（2）数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；（3）想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系2、学生交流，板书完成下面表格图形编号多边形面积/平方厘米多边形边上的钉子数/枚①24②36③3.57④483、观察数据，比较发现1）引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说2）交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）（3）引导：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？教师确认、说明字母表示的关系式，板书：S=n÷24）引导：这些多边形还有什么共同特点？师生共同确认：图形内部都只有1枚钉子，如果用a表示多边形内部的钉子数，那当a=1时，S=n÷2在上面得出的关系式前补充板书：a=1）4、观察比较，反思质疑1）引导：是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？请选择一个多边形数一数，看看是不是也有这样的关系2）提问：现在的多边形的面积和它边上的钉子数还有上面发现的规律吗？这是为什么？找找看，现在的多边形和和前面的多边形有什么不同？小结：多边形的面积不仅和多边形的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。

刚才我们只是研究了内部钉子数为1的情况二）继续研究，拓展认识1、提出问题，引发思考引导：如果多边形内部都有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？师生共同画几个内部有2枚钉子的多边形现在请大家进一步观察，数一数、比一比，看看有没有规律2、同桌合作，探究规律引导：现在请你们同桌合作，按照下面的办法研究多边形的面积活动要求：（1）数出边上的钉子数，算出它的面积；（2）每人把获得的数据交流，并记录在课本第109页的表格里；（3）观察表格中的数据，讨论交流：你有什么发现？学生操作、填表、比较、思考，教师巡视3、交流引导，发现规律1）出示表格，指名学生交流结果，在表格里呈现2）引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现3）提问：通过数据比较，你有什么发现？小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1板书：a=2 S=n÷2+1）4、引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2a=2 S=n÷2+1追问：现在我们又有什么发现？三、引导猜想，概括规律1、引发学生猜想提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。

你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）怎样想的？2、画图举例，验证猜想让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2擦除上面板书中的“？”）3、拓展延伸，揭示规律1）引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？a=0呢？教师板书学生发现的规律2）引导：要让自己变得聪明，首先要会由“一点”想到“许多点”例如，刚才大家由a=1，想到a=2、a=3、……以及a=0其次，我们还要学会把“许多点”变到“一点”例如，你能用一个式子把所有的规律都表示出来吗？师生共同总结出规律：S=n÷2+a-14、适当介绍，拓展视野我们今天研究的规律是求钉子板上多边形面积的另一种方法你知道吗？我们推导出的就是奥地利数学家皮克的皮克定理有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理四、回顾过程，交流体会提问：回顾这节课的学习过程，我们是怎样探索和发现规律的，你有什么体会？小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。

在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点板书设计：钉子板上的多边形多边形内部的钉子数， 多边形面积 多边形边上的钉子数当a=0时， S = n ÷ 2 － 1当a=1时， S = n ÷ 2当a=2时， S = n ÷ 2 ＋ 1当a=3时， S = n ÷ 2 ＋ 2当a=4时， S = n ÷ 2 ＋ 3…… S = n ÷ 2 ＋ a － 15。