学习知识要点

第5讲空间直角坐标系★知识梳理★1. 右手直角坐标系① 右手直角坐标系的建立规则：X辄 有由、乙轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、 中指；② 已知点的坐标P( x, y, z)作点的方法与步骤(路径法):沿x轴正方向(x > 0时)或负方向(x < 0时)移动I x I个单位，再沿y轴正方向(y > 0 时)或负方向(y < 0时)移动I y I个单位，最后沿x轴正方向(z > 0时)或负方向(z < 0时)移动I z I个单位，即可作出点③ 已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与X辄y轴、z轴垂直于A, B, C，点A, B, C在X辄y辄z轴 的坐标分别是a, b, c，则(a, b, c)就是点P的坐标2、 在X轴上的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c);3、 点P(a, b, c)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b,-c)点P(a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(一a,b,-c)；点P(a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b, c)；点P(a, b, c)关于坐标平面xOy的对称点为(a, b,-c)；点P(a, b, c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,-b, c)；点P(a, b, c)关于坐标平面yOz的对称点为(-a, b, c)；点P (a,b,c)关于原点的对称点(-a，一b，一 c)。

4. 已知空间两点P(x , y , z)Q(x , y , z)，则线段PQ的中点坐标为1 1 1 2 2 2z+z1 2 25. 空间两点间的距离公式已知空间两点P(x，y，z)Q(x，y，z ), 1 1 1 2 2 2则两点的距离为 I PQ \=.,(x - X )2 + (y - y )2 + (z - z )2 , '12 12 12特殊地，点A(x, y, z)到原点O的距离为| AO I= "X2 + y2 + z2 ；5 .以C(X0，y0，z0) 为球心,r 为半径的球面方程为(x 一 X0)2 + (y 一 y0)2 + (z - z0)2 = r2特殊地，以原点为球心,r为半径的球面方程为x2 + y 2 + z2 = r 2★重难点突破★重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间 的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点：在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1 .借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1：点P(a，b, c)到y轴的距离为［解析］借助长方体来思考，以点O, P为长方体对角线的两个顶点，点P(a，b，c)到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为、.'焉C22. 将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题 2 :对于任意实数X，y,z ,求 X：'X2 + y2 + z2 + <(x +1)2 + (y - 2)2+(z -1)2 的最小 值［解析］在空间直角坐标系中，\,：X2 + y2 + z2 + q'(x +1)2 + (y - 2)2 + (z -1)2表示空间点(X, y, z)到点(0,0,0)的距离与到点(-1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点 (-1,2,1)之间的线段长，所以\/尤2 + y2 + z2 + \：(x +1)2 + (y — 2)2 + (z -1)2的最小值为3。

3.利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1) 判断两条相交直线是否垂直(2) 判断空间三点是否共线(3) 得到一些简单的空间轨迹方程★热点考点题型探卅考点1：空间直角坐标系题型1：认识空间直角坐标系［例1 ］(1)在空间直角坐标系中，y = a表示 ( )A.y轴上的点 B.过y轴的平面C.垂直于y轴的平面 D.平行于y轴的直线(2)在空间直角坐标系中，方程y = x表示A .在坐标平面xOy中，1,3象限的平分线 B .平行于z轴的一条直线C.经过z轴的一个平面 D.平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系，可以类比平面直角坐标系，如在平面直角坐标系坐标系中,方程x = 1表示所有横坐标为1的点的集合［解析］(1) y = a表示所有在y轴上的投影是点(0, a，)的点的集合，所以y = a表示经过点(a,0)且垂直于y轴的平面(2 )方程y = X表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1,3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系，可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题如：经过点(”，)且垂直于X轴的平面上的点都可表示为(a, y, z)题型2:空间中点坐标公式与点的对称问题［例2 ］点P(a，b, c)关于z轴的对称点为P1，点P1关于平面xOy的对称点为p，则P的坐 标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系［解析］因点p和P1关于z轴对称，所以点P和P1的竖坐标相同，且在平面xOy的射影关于原点对称，故点P1的坐标为(-a,-b, c),又因点P和P关于平面xOy对称，所以点P坐标为(-a,-b,-c)1 2 2【名师指引】解决空间点的对称问题，一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系，如借助空间想象，在例2中可以直接得出点P为点P(a, b, c)关于原点的对称点，故坐标为 2(-a,-b,-c)【新题导练】1 •已知正四棱柱ABCD - A1 B£D1的顶点坐标分别为A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),4 (0,0,5)，则£的坐标为。

［解析］正四棱柱ABCD - ABC D过点A的三条棱恰好是坐标轴：^1=1 J】,C的坐标为(2,2,5)2 .平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为A(-1,1,3), B(3,2,-3)，对角线的交点为M (1,0,4),则顶点C的坐标为,顶点D的坐标为［解析］由已知得线段AC的中点为M，线段BD的中点也是M，由中点坐标公式易得C(3,-1,5) , D (-1,-2,11)3 .已知M (4,3, -1)，记M到x轴的距离为a , M到y轴的距离为b , M到z轴的距离为C，则()A . a> b> c B . c> b> a C. c> a> b D. b> c> a［解析］借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度a = \：10,b = *17,c = 5，选 C考点2 :空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题［例3 ］如图：已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Qy轴上是否存在一点ZJlB，使得PA ± AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由P【解题思路】转化为距离问题，即证明PA2 + AB 2 = PB 2 \［解析］设 P(0，0，c) B(0, b,0) , 匠对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在0>轴上存在一点B，使得PA /AB恒成立，贝 U PA2 + AB 2 = PB 2［(0 - 1)2 + (0 - 1)2 + (c - 0)2］ + ［(1 - 0)2 + (1 - b)2 + (0 - 0)2］ = (0 - 0)2 + (0 - b)2 + (c - 0)2即3 + (b -1)2 = b2 ,解得：b = 2所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PA ± AB恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。

此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹新题导练】4 .已知A(x,5 - x,2 x -1),B(1,x + 2,2 - x)，当A, B两点间距离取得最小值时，x的值为()8A . 19 B .--147 ,■ ■ 8 5［解析］I AB \=x(x -1)2 + (3 - 2x)2 + (3x - 3)2 =十14x2 -12x +19 =、；14(x - 8)2 + 5当x= 8时，I AB I取得最小值 75 •已知球面(x -1)2 + (y + 2)2 +(z - 3)2 = 9，与点A(-3,2,5),则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是［解析］球心C(1,-2,3), AC = 6，球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9和36 .已知三点A(-1,1,2),B(1,2,-1),C0,O,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由［解析］AB =气：'(-1 -1)2 + (1- 2)2 + (2 +1)2 = \-14 ,AC = \：'(-1-a)2 +(1-0)2 + (2 - 3)2 =((a +1)2 + 2 ,BC = \；'(1-a)2 +(2 - 0)2 +(-1 - 3)2 =<(a-1)2 + 20 ,因为BC > AB，所以，若A, B, C三点共线，有BC = AC + AB或AC = BC + AB ,若BC = AC + AB，整理得：5a2 + 18a +19 = 0，此方程无解；若AC = BC + AB，整理得：5a2 + 18a +19 = 0，此方程也无解。

所以不存在实数a，使A、B、C共线★抢分频道★基础巩固训练1. 将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x轴与y轴，x轴与z轴所成的角 画成()A . 900 B . 1350 C . 450 D . 75解析：选B2. 点P(3,4,5)在 g 平面上的投影点七的坐标是 ()A . (3,0,0) B . (0,4,5) C . (3,0,5) D . (3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B3. 三棱锥 O - ABC 中，O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为()A.1 B . 2 C.3 D. 6［解析］OA,OB,OC两两垂直，V = 1 -1」• 2.3 = 1 O-ABC 3 24 . ( 2007山东济宁模拟)设点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|等于()A . 10 B.印 C .顶 D . 38［解析］A 点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点为B(2,-3,-5),AB = q'(2 - 2)2 + ［-3 - (-3)］2 + ［5 - (-5)］2 = 105 . ( 2007年湛江模拟)点P(1,2,3)关于y轴的对称点为p , P关于平面xOz的对称点为P，则 I PP I =2 1 2［解析］P(-1,2,-3),叩,-2,3)，力御=志6 .正方体不在同一表面上的两顶点P(-1,2,-1),Q(3,-2,3),则正方体的体积是 ［解析］。

P, Q不共面，二PQ为正方体的一条对角线,PQ = 4、.3，正方体的棱长为4 , 体积为64综合提高训练 .空间直角坐标系中，到坐标平面xOy , xOz , yOz的距离分别为2,2,3的点有A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个解析：8 个分别为(3,2,21 (3,2,-21 (3,-2,2』(3,-2,-2』(-3,2,2)、 (-3,2,-2、(-3,-2,2、(-3,-2,-2)8 .( 2007山东昌乐模拟)三角形ABC的三个顶点的坐标为A(1,—2,11), B(4,2,3), C(6,-1,4)，则 AABC 的形状为()A.正三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形［解析］C=%•' 2 x 2 — 2 x + 9 =XI AB 1= t (1 — 4)2 + (-2 — 2)2 + (11- 3)2 =.插(2 )当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时， 探究PQ的最小值；［解析］由已知 A(a, a,0), C(0, a,0), D(0, a, a), B(0,0, a)，(1) 当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(a,a,色)，2 2 2设 Q(0, a, z)，则 pq - ,-'(" a)2 + 竺， 2 2当z - ?时，PQ取到最小值为g a，此时Q为CD的中点。

2) 当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0, a,a)，设AP: AB - k，则2x - a (1 一 k)，yp - a(1 - k)，zp - ak，所以 P 点的坐标为(a(1— k), a(1 - k), ak)，所以pQ = ?3a2(k-2)2 +项，当k =万，即P为AB的中点时，PQ取到最小值aI AC |= (4 - 6)2 + (-2 +1)2 + (11- 4)2 =屑I BC 1=."4 — 6)2 + (2 +1)2 + (3 — 4)2 =［百・•・ AC2 + BC2 = AB29 . (2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系0 - xyz中有一点A(-1,-1,2)，点B是平面xOy内的直线x + y = 1上的动点，则A, B两点的最短距离是()C.3［解析］因为点B在xoy平面内的直线x + y = 1上，故可设点B为(x, -x +1,0),所以 AB = «x +1)2 + (- x + 2)2 + (0 - 2)2所以当1 2时，AB取得最小值业兰，此时点B为(1,1,0) o2 2 2 2 °10 .如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系0 - xyz ,点P在 正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。

1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；。