工科概率统计练习册-解答题(第三版-2015)

概率论与数理统计练习题（1）随机试验 样本空间 随机事件 概率的定义 古典概型3．设是三事件，且，求至少有一个发生的概率． 解：由于，所以．4．设是两事件，且．问：（1）在什么条件下取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下取到最小值，最小值是多少？ 解：由于，所以（1）当时，取最大值0.6；（2）当时，取最小值0.3．5．某工厂有10个车间，每个车间选出2名代表出席职工代表会议，又从这20名代表中任选出10人组成工会委员会．求：（1）第二车间在工会委员会中有代表的概率；（2）每个车间在工会委员会中都有代表的概率 解：令{第二车间在工会委员会中有代表}，{每个车间在工会委员会中都有代表}，则（1）；（2）．．概率论与数理统计练习题（2）条件概率 独立性3． 甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各台机床加工的百分比依次是50%，30%，20%．各机床加工的优质品率依次是80%，85%，90%，将加工的零件放在一起，从中任取1个，求取得优质品的概率． ．解：令{取到的产品是甲机床加工的}，{取到的产品是乙机床加工的}， {取到的产品是丙机床加工的}，{取得优质品}．则．4． 将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，信息被误收作的概率为0.02，而被误收作的概率为0.01．信息与信息传送的频繁程度为2∶1．若接收站收到的信息是，问原发信息是的概率是多少？ 解：令{原发信息是A}，{收到的信息是A}，则 5． 甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率． 解：令{飞机被击落}，{恰有人击中飞机}，，则，，，．从而概率论与数理统计练习题（3）离散型随机变量、连续型随机变量姓名 学号 班级 3． 一汽车沿街行驶，需通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿不依赖于其他信号灯，而且红绿两种信号显示的时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的分布律． 解 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，其可能取值为0，1，2，3，则， ，， ．4． 设随机变量，求：（1）；（2）常数，使；（3）常数，使． 解 (1)．(2)由于，所以，因此．(3)由于 ，所以，即，于是，从而．设随机变量的概率密度为求：（1）常数；（2）的分布函数； 解 (1)；(2)(3)概率论与数理统计练习题（4）二维随机变量、边缘分布与条件分布姓名 学号 班级 3．已知服从参数的（0-1）分布，在及下关于的条件分布律分别为312312312求的分布律． 解 依题意，，， 于是有 ， ， ，，，．所以的分布律为 123014． 设随机变量的概率密度为（1）求常数；（2）求的分布函数；（2）求． 解 (1)由，知．(2) (3)5．已知平面区域由曲线及直线围成，在上服从均匀分布．求（1）的联合密度函数；（2）和的边缘密度函数． 解 由于，故(1)；(2)概率论与数理统计练习题（5）随机变量的独立性、随机变量函数的分布姓名 学号 班级 3． 设随机变量的分布律为，求的分布律. 解 的可能取值为，而，故，，，则的分布律为-1014．一电子仪器由两部件构成，以和分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数为（1）问和是否相互独立？（2）求两部件的寿命均超过100小时的概率． 解 (1)，，即 有 ，故和相互独立．(2)．5．设随机变量与相互独立，其密度函数分别为.求随机变量的分布函数． 解 由于、独立，因此所以即 概率论与数理统计练习题（6）数学期望、方差 姓名 学号 班级 3． 对某目标进行射击，直到击中为止，如果每次命中率为，求射击次数的数学期望和方差． 解 的可能取值为，而，故，，。

4．一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望． 解 由于 所以（元）．概率论与数理统计练习题（7）协方差、相关系数、大数定律与中心极限定理姓名 学号 班级 3． 在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间（以分计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1，求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率． 解 用表示柜台替第位顾客服务的时间，，则4． 某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术，以记手术成功的人数，求． 解 由于，故5． 为了确定事件发生的概率，进行10000次重复独立试验，试分别用切比雪夫不等式和中心极限定理估计：用事件在10000次试验中发生的频率作为概率的近似值，误差小于0.01的概率． 解 以表示次试验中发生的次数，则，用切比雪夫不等式：用中心极限定理：6． 某单位设置一台电话总机，共有200个分机，设每个分机有5%的时间要使用外线通话，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线才能保证每个分机要用外线时可供使用的概率不小于0.9? 解 设为同一时刻使用外线通话的分机数，则。

为需要的外线数，依题意，要确定，使得，而，故，即，取．故该单位需要14根外线才能保证每个分机要用外线时可供使用的概率达到0.9概率论与数理统计练习题（8）样本及其分布姓名 学号 班级 3． 设总体~，从总体中抽取一个容量为的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于的概率． 解 由于，故4． 设为总体的一个样本，为其样本方差，且若样本容量满足，求的最小值． 解 由于 ，故，从而，而，所以，即，取．5．设为总体的一个样本，令，，，，证明：． 证 因为 ，所以，而，且与独立，于是概率论与数理统计练习题（9）点估计、评价估计量的标准姓名 学号 班级 3．计算题（1）设总体具有分布律X1 2 3 P 其中（0<<1）为未知参数．已知取得了样本试求的矩估计值． 解 ，令，解之得的矩估计量 ，而，由此得的矩估计值 ．（2） 设某种元件的使用寿命的概率密度为，其中为未知参数．又是的一组样本观测值，求参数的极大似然估计值． 解 因为，所以，从而，于是，越大似然函数越大，但，因此的极大似然估计值为．（3）设总体～，为总体的一个样本，试证明：，，都是的无偏估计量，并分析哪一个最好 5．证 因为， ，，所以都是的无偏估计量，且，从而最好．．（4） 证明在样本的一切线性组合中，是总体期望值的无偏估计中有效的估计量． 证 设是的无偏估计，则，故，即．设总体方差为，则， 解之得，所以当时，取得极小值，即是的此种类型的无偏估计中有效的估计量．概率论与数理统计练习题（10）区间估计、假设检验姓名 学号 班级 3．计算题（1）岩石密度的测量结果，现抽取12个样品，测得．当未知时，求方差的置信区间（）．（2）若总体与相互独立，已知样本数据；．求取时，的置信区间．（3）设某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分．问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．（4）某项考试要求成绩的标准差为12，现从考试成绩中任意抽取15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否不合要求？。