考点透析08数列(陈飞林)doc

考点透析8数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面； （ 1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式 2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合 3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大 （文科考查以基础为主，有可能是压轴题 ）一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律， 深化数学思想方法在解题实践中的指导作用， 灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1) 定义法：对于 n≥2的任意自然数 , 验证 an an 1 (an / an 1 ) 为同一常数。

2) 通项公式法：①若=+（ n-1 ） d=+（ n-k ） d ，则 a为等差数列；n②若，则 an为等比数列3) 中项公式法：验证中项公式成立2. 在等差数列 an 中 , 有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当 a1 >0,d<0am0时，满足的项数 m使得 Sm 取最大值 .am 10(2)当 a1 <0,d>0am0取最小值时，满足的项数 m使得am 10在解含绝对值的数列最值问题时 , 注意转化思想的应用3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等三、注意事项1．证明数列 an 是等差或等比数列常用定义，即通过证明an 1 an an an 1 或 an 1an而得anan12．在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解S1 0n1n(ak ak 1 ) ．3．注意 sn 与 an 之间关系的转化如： an =n， an = a1Sn Sn 1 02k 24．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．四．典型考例【问题 1】等差、等比数列的项与和特征问题P49 例13。

P50 例 2P56例 1P59T 6．【注 1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例（四川卷） 数列an的前 n 项和记为 Sn ,a11, an12Sn 1 n1 （Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）等差数列 bn的各项为正，其前n 项和为 Tn ，且 T315 ，又 a1 b1 , a2b2 , a3b3 成等比数列，求 Tn本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力满分12 分解：（Ⅰ）由 an 12Sn1 可得 an2Sn 11 n2，两式相减得an 1an2an , an 13ann 2又 a22S113∴ a2 3a1故 an 是首项为 1，公比为3 得等比数列∴ an3n1（Ⅱ）设bn的公比为d由 T315 得，可得 b1b2b3 15 ，可得 b25故可设 b15d ,b35d又 a11,a23, a395d1 5d952解得 d12, d210由题意可得3∵等差数列bn的各项为正，∴d 0∴ d2∴ Tn3nnn12n22n21.设等差数列 { an} 的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.(Ⅰ )若 a11=0,S14=98,求数列｛ an｝的通项公式；(Ⅱ )若 a1≥6， a11＞ 0，S14≤ 77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式2． ( 上海卷 ) 设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数n ， anSn4096。

1）求数列 { an} 的通项公式？（ 2）设数列 {log 2an } 的前 n 项和为 Tn , 对数列n，从第几项起 Tn509 ？T.解 (1) ∵an + Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.an11当 n≥ 2 时 , an= Sn－Sn－ 1=(409 6－ an) － (4096－ an－1)= an－ 1－ an∴=an=2048(an 122)n－1.1(2) ∵ log2 an=log 2[2048(2n－ 1∴T n=12) ]=12－ n,2( － n +23n).由 Tn<－ 509, 解得 n> 23 4601 , 而 n 是正整数 , 于是 ,n ≥ 46. ∴从第 46 项起 Tn<－ 509.23. (全国卷Ⅰ )设正项等比数列 an的首项 a11 ，前 n 项和为 Sn ，且2210 S30( 2101)S20S100 Ⅰ）求 an的通项；（Ⅱ）求 nSn的前 n 项和 Tn 解：（Ⅰ）由210 S30(2101)S20S100得210 (S30S20 )S20S10 ,即 210 (a21a22a30 )a11a12a20 ,可得 210 q10 (a11a12a20 )a11a12a20 .因为 an0 ，所以 210 q101,解得 q1，因而 ana1 qn 11n, n1,2, .121 的等比数列，故2（Ⅱ）因为 { an } 是首项 a1、公比 q11222 (12 n )1nSn1112n, nSnn2n .212n则数列 { nS }的前 n 项和Tn(12n)(2n ),n222Tn112n 1n).2(1 2n) (2232n2n 12Tn2前两式相减，得1111n22(1 2n)( 2 222 n )2n 111n( n 1)2 (12n )n即Tnn(n1)1n2.412n 122n 12n12【问题2】等差、等比数列的判定问题．P53T 7例 P54T 9[例 ]P54T 9(上海卷 ) 已知有穷数列 { an } 共有 2k 项（整数 k ≥ 2），首项 a1 ＝ 2．设该数列的前 n 项和为 Sn ，且 an1 ＝ (a1)Sn ＋2（ n ＝1， 2，┅， 2k －1），其中常数 a ＞1．21（ 1）求证：数列 {an } 是等比数列；（ 2）若 a＝ 2 2 k1 ，数列 { bn } 满足 bn ＝an ) （ n ＝ 1，log 2 (a1a22，┅， 2 k ），求数列 {bn } 的通项公式；n（ 3）若（ 2）中的数列{bn}满足不等式|b1－3| b2－3|b2k 13＋|b2k－ 3k的值．＋＋┅＋－≤ ，求||2||4222a2=a；(1) [证明 ] 当 n=1 时 ,a2=2a,则a12≤ n≤ －2k1 时 , an+1 =(a－ 1) Sn+2, an=(a－1) Sn－ 1+2,an+1－ an=(a－ 1) an,∴ an1 =a, ∴数列 {a n} 是等比数列 .an解：由 (1) 得 an=2a n1 , ∴a1 a2 an=2 n a12( n 1) =2 n an (n1)nn ( n1)(2)2=22 k1 ,bn=1 [nn( n1)]n11(n=1,2,,2k).n2k12k1313；（ 3）设 bn≤ ,解得 n≤ k+ ,又 n 是正整数 ,于是当 n≤k时 , bn<2322当 n≥ k+1时, bn> .2原式 =(3 － b1)+(3 －b2 )+ +(3 －bk)+(b k+1－ 3)+ +(b2k－ 3)22222=(b k+1 + +b2k )－ (b1+ +bk)12k1) k1k1)kk 2(k(0= [ 22k1k][ 22k1k] =.2k1当k 224－ 23 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,≤ 4,得 k － 8k+4≤0,2k 1∴当 k=2,3,4,5,6,7 时 ,原不等式成立 .4．[例]，已知数列an中 ， Sn是 其 前 n 项 和 ，并 且 Sn14an2( n1,2,), a1 1 ， ⑴ 设 数 列bnan1 2an (n1,2,) ，求证：数列bn是等比数列；⑵设数列cnann , (n1,2,) ，求证：n 项和。

2数列 cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前分析：由于 {b n }和 {c n }中的项都和 {a n }中的项有关， {a n }中又有 S n1=4a n +2，可由 Sn 2 -S n1作切入点探索解题的途径．【注 2】本题立意与 2007年高考题文科20 题结构相似 .解： (1) 由 S n 1 =4a n 2 ， S n 2=4a n 1 +2，两式相减，得S n 2 -S n1 =4(a n 1 -a n )，即 a n2 =4a n 1 -4a n ． (根据b n 的构造，如何把该式表示成b n 1 与 b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a n2 -2a n1=2(a n 1-2a n ) ，又 b n =a n1 -2a n ，所以 b n 1 =2b n①已知 S 2 =4a 1 +2， a 1 =1 ， a1 +a 2=4a 1 +2，解得 a 2=5， b 1 =a 2 -2a1 =3②由①和②得，数列{b n } 是首项为3，公比为2 的等比数列，故b n =3· 2 n 1 ．n 1当 n≥ 2 时， S n =4a n 1 +2=2 (3n-4)+2 ；当 n=1 时， S1 =a 1 =1 也适合上式．综上可知，所求的求和公式为Sn =2 n 1 (3n-4)+2 ．n 项说明： 1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前和。

解决本题的关键在于由条件Sn 1 4an 2得出递推公式2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．【问题 3】函数与数列的综合题P51例 3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.P51例 3（ 2006 湖北卷） 已知二次函数y =f ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为f ' ( x) = 6x - 2 ，数列 {an} 的前n项和为Sn，点 (n, S )( n?N *) 均在函数y = f (x)的图像上Ⅰ）、求数列{ an }的通项公n式；（Ⅱ）、设 bn =1， Tn 是数列 { bn} 的前 n 项和，求使得 Tn < m 对所有 n ? N * 都成立的最小正整an an+ 120数 m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力解：（ Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x － 2,得a=3 , b= －2, 所以f(x) ＝3x2－2x.又因为点 (n, S )(nN ) 均在函数yf ( x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.n当 n≥2 时， a ＝ S － S －＝（ 3n2－2n）－ 31) 22(n1)＝ 6n－ 5.nnn 1（ n当 n＝1 时， a1＝ S1＝ 3×12－ 2＝ 6×1－ 5，所以， an＝ 6n－ 5 （ n N ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn3＝31)＝ 1 (11) ，an an1 (6n 5) 6( n526n5 6n1nbi＝ 1(11 )( 11 )...(11)＝ 11故 T n＝5（ 1－） .i1277136n6n126n1因此，要使 111）

Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式；（Ⅱ）设 bn3， Tn 是数列 {bn} 的前 n项和，求使得 Tnman an 1对所20有 n N 都成立的最小正整数 m本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力Sn3n2, 即 Sn2解：（ I ）依题意得，n3n2n 时， a ansnsn(3n22当 n≥ 212n)3n12( n1)6n5 ;当 n=1 时， a1s13× 12-2 × 1-1-6 × 1-5所以 an6n5(nN ) II ）由（ I ）得 bn31111，anan 1(6 n5) 6(n1)52 6 n56 n1n轾骣骣1骣1 鼢111?11?珑1?-=+-++-故T犏-=b鼢...1n1??珑鼢犏珑桫??1= 12桫7桫5 6n + 1 26n 1臌7 136n -因此，使得 111﹤ m n N成立的 m必须满足 1≤ m26n 120220为 10，即 m≥10, 故满足要求的最小整数 m【问题 4】数列与解析几何数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解 .例 3．在直角坐标平面上有一点列P1 (x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) , Pn ( xn , yn )，对一切正整数n ，点 Pn 位于函数 y3x13的图象上，且Pn 的横坐标构成以5为首项，1为公差的等差数列xn .42x 轴，第 n 条抛物线 cn⑴求点 Pn 的坐标；子⑵设抛物线列c1 ,c2 ,c3 ,,cn ,中的每一条的对称轴都垂直于的顶点为n， 且 过 点 D n (0, n21) ， 记 与 抛 物 线 n相 切 于Dn 的 直 线 的 斜 率 为kn ， 求 ：Pc111.k1k2 k2 k3 kn 1 kn解：（ 1） xn5( 1)n3( n 1)22yn3 xn133n5 , Pn( n3 , 3n5 )44242n312n 5（ 2）cn 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为 Pn .设 cn 的方程为： ya( x) 2,24把 D n (0,n 21) 代入上式，得a1，cn 的方程为： yx2(2n3)xn 21。

kny' |x 02n 3 ，111 (11)kn 1 kn(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 311111111(11)]k1k2k2 k3kn 1 k n[()()2 5 77 92n 1 2n 3111)11=(2n104n6253点评： 本例为数列与解析几何的综合题，难度较大 1）、（2）两问运用几何知识算出 kn .7． 已知抛物线 x24 y ，过原点作斜率1 的直线交抛物线于第一象限内一点P1 ，又过点 P1 作斜率为1 的1 的直线交抛物线于点2直线交抛物线于点P2 ，再过 P2 作斜率为P3，，如此继续，一般地，过点Pn 作14斜率为的直线交抛物线于点Pn 1 ，设点 Pn ( xn , yn ) ．2n{ bn } 的前 n 项和为 Sn（Ⅰ）令 bnx2n1x2 n 1 ，求证：数列 { bn } 是等比数列．并求数列解：（ 1）因为 Pn ( xn , yn ) 、Pn 1 ( xn 1 , yn 1 ) 在抛物线上， 故 xn24 yn , ① xn124 yn 1 ②，又因为直线 Pn Pn 1的斜率为1yn1yn1，①②代入可得2n，即xn1xn21 x2n 1x2n1xn 1xn1bnx2n 1x2 n 1(x2n 1x2 n ) ( x2nx2n 1 )4 xn 1xn2n2n 2111，故 bn 11{bn } 是以 122n 222n 322n 2bn44开始为公比的等比数列；Sn4(113Sn11，34n )44n输入 n【问题5】数列与算法2n=1否8. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn =n +2n-1, 试用程序框图表示数列通项an 的过程 , 并写出数列的前5 项和通项公式 an .是1f (n)f (n1) 2( n1)11f ( n)2( n1)39.根据流程图 ,(1)求 a3 ;(2) 若 an,求 n.34015【问题6】数列创新题10.（安徽卷） 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 =1, Sn= n2 an -n(n -开始1), n = 1,2,鬃?2（Ⅰ）写出 Sn 与 Sn- 1的递推关系式 (n 32)，并求 Sn 关于 n 的表达式；（Ⅱ）设 fn (x) =Snxn + 1 , bn=f n/ ( p)( p ? R) ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

n解：由 Sn = n2 an - n(n - 1) (n 3 2)得： Sn = n2 (Sn - Sn- 1 ) - n(n - 1)，即xn+ 1(n2 - 1)Sn - n2Sn- 1 = n(n - 1)，所以 n + 1 Sn -nSn- 1 = 1 ，对 n 3 2 成立nn -1由 n + 1 Sn -n Sn- 1= 1，nSn- 1 -n - 1 Sn- 2= 1， ，3S2-2 S1 = 1相加得：nn - 1n - 1n - 2n221n + 1 Sn - 2S1 = n- 1，又S1 = a1= 1，所以 Sn =，当 n =1时，也成立n2n + 1（Ⅱ）由 fn ( x) = Sn xn+ 1 n而 Tn = p + 2 p2 + 3p3 + pTn = p2 + 2 p3 + 3 p4 +n=n+ 1+ (n -+ (n -，得 bn = fn/ ( p) = npn 1) pn- 1 + np n ，1) pn + npn + 1 ，(1- P)Tn = p + p2 + p3 ++ pn- 1 + pn - npn+ 1 = p(1- pn ) - np n+ 11-p111.（福建卷） 已知数列 { an} 满足 a1=a, an+1 =1+ a 我们知道当 a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1n时，得到无穷数列：1,2,3,5,;当a1 时,得到有穷数列 :1 , 1,0.23221(nN ) ，求证 a 取数列 {b n}（Ⅰ）求当 a 为何值时 a4=0；（Ⅱ）设数列 {b n} 满足 b1=－ 1, bn+1=bn1中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{ an} ；Ia1a, an111 ,an11 a + 11a2+ 11 a +32时2a2 =1 +=1 +=,a3=1 +=a41= +=故当a0 .=.= -a4a1aa2a+a13a 2 + a13解法二: a41= 0, a3 = - 1. a31, a2112故当2时a4 = 0.=0, 1+= 1+= . a2 = 1+ , a = - .a = -a3a22a33(II )解法一 :b1 = -1,bn + 1=b, bn =1+ 1.a取数列 { bn }中的任一个数不妨设a = bn.bn - 1bn + 1a = bn , a2 = 1+ 1 = 1+ 1 = bn- 1 . a3 = 1+ 1 = 1+ 1 = bn- 2 .a1bna2bn- 1an = 1+11an +1 = 0.= 1+= b1 = - 1.an。